1-3-2-1同步检测 选择题 1.下列命题中错误的是() ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点; ③偶函数的图象与y轴一定相交; ④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数 A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 为偶函数,其图象与y轴不相交,故③错 2.如果奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则(x)在(一∞,0) A.减函数 B.增函数 C.既可能是减函数也可能是增函数 D.不一定具有单调性 3.若fx)=ax2+bx+c(c≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+ A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数又非偶函数 4.(2011~2012沧一中月考试题)函数f(x)是R上的偶函数,且 在0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是()
1-3-2-1 同步检测 一、选择题 1．下列命题中错误的是( ) ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数； ②奇函数的图象一定过原点； ③偶函数的图象与 y 轴一定相交； ④图象关于 y 轴对称的函数一定为偶函数． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 为偶函数，其图象与 y 轴不相交，故③错． 2．如果奇函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则 f(x)在(－∞，0) 上( ) A．减函数 B．增函数 C．既可能是减函数也可能是增函数 D．不一定具有单调性 3．若 f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则 g(x)＝ax3＋bx2＋ cx( ) A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数又非偶函数 4．(2011～2012 沧一中月考试题)函数 f(x)是 R 上的偶函数，且 在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是( )
A.f-2>f(0)>f(1) B.f(-2)>f(1)>f(0) C.f(1)>f(0)>(-2) D.f(1)>f(一2)>f(0) 5.设fx)在[_2,-1上为减函数,最小值为3,且f(x)为偶函 数,则fx)在[12]上() A.为减函数,最大值为3 B.为减函数,最小值为-3 C.为增函数,最大值为-3 D.为增函数,最小值为3 6.若函数fx)=(x+1)x+a)为偶函数,则a=() B D.不存在 7.已知(x)=x+ax5+bx-5,且f-3)=5,则(3)=( A.-15 B.15 C.10 10 8.(09辽宁文)已知偶函数风x)在区间[0,+∞)单调递增,则满 足(2x-1)的x取值范围是() B3,3 2 、填空题 9.(2012全国高考数学安徽卷)函数fx)=(x+a)x-4)为偶函数, 则实数a= 10.(2012连云港高一检测)函数x)=1-x的奇偶性是
A．f(－2)>f(0)>f(1) B．f(－2)>f(1)>f(0) C．f(1)>f(0)>f(－2) D．f(1)>f(－2)>f(0) 5．设 f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函 数，则 f(x)在[1,2]上( ) A．为减函数，最大值为 3 B．为减函数，最小值为－3 C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为 3 6．若函数 f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则 a＝( ) A．1 B．－1 C．0 D．不存在 7．已知 f(x)＝x 7＋ax5＋bx－5，且 f(－3)＝5，则 f(3)＝( ) A．－15 B．15 C．10 D．－10 8．(09·辽宁文)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满 足 f(2x－1)<f 1 3 的 x 取值范围是( ) A. 1 3 ， 2 3 B. 1 3 ， 2 3 C. 1 2 ， 2 3 D. 1 2 ， 2 3 二、填空题 9．(2012·全国高考数学安徽卷)函数 f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数， 则实数 a＝________. 10．(2012·连云港高一检测)函数 f(x)＝ x 4－x 3 1－x 的奇偶性是
11.函数(x)在R上为奇函数,且当x∈(-∞,0时,f(x)=x(x 1),则当x∈(0,+∞)时,f(x)= 12.偶函数y=fx)的图象与x轴有三个交点,则方程fx)=0的 所有根之和为 解答题 13.判断下列函数的奇偶性 (1)(x)=x2+ x是有理数 (2) 1x是无理数 (3)(x)=2x+11-2x-1 x(x-2)x≥0 (4)fx) x(x+2)x<0 14.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且fx)+g(x)=x2+x-2, 求fx),g(x)的表达式 ax+b 15.函数fx)=1+3 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 求函数fx)的解析式 16.fx)是奇函数,当x≥0时,(x)的图象是经过点(3,-6),顶 点为(1,2)的抛物线的一部分,求x)的解析式,并画出其图象 详解答案 l答案]D [解析]fx)=为奇函数,其图象不过原点,故②错;y=
________． 11．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且当 x∈(－∞，0]时，f(x)＝x(x －1)，则当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________. 12．偶函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝0 的 所有根之和为________． 三、解答题 13．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x 2＋ 1 x 2 . (2)f(x)＝ 1 x是有理数 －1 x是无理数 . (3)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|. (4)f(x)＝ x(x－2) x≥0 －x(x＋2) x<0 . 14．已知 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x 2＋x－2， 求 f(x)，g(x)的表达式． 15．函数 f(x)＝ ax＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f 1 2 ＝ 2 5 ， 求函数 f(x)的解析式． 16．f(x)是奇函数，当 x≥0 时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶 点为(1,2)的抛物线的一部分，求 f(x)的解析式，并画出其图象． 详解答案 1[答案] D [解析] f(x)＝ 1 x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝
x-1x≥1 -x-1x≤-1 2答案]B 3[答案]A [解析]∵-x)=f(x), ∷a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c对x∈R恒成立 ∴b=0 g(x)=ax+cx g(-x)=-g(x) 4答案]B 解析]:-2)=f(2),且(x)在0,+∞)上是增函数,2>1>0, 八(2)>f(1)>f(0),·f-2)f(1)>f(0) 5[答案]D 解析∵(x)在[-2,-1上为减函数,最大值为3,f-1)=3, 又∵(x)为偶函数,fx)在12]上为增函数,且最小值为f1)=f 1)=3 6[答案]B [解析]解法1:(x)=x2+(a+1x+a为偶函数, a+1=0 解法2:f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数
x－1 x≥1 －x－1 x≤－1 2[答案] B 3[答案] A [解析] ∵f(－x)＝f(x)， ∴a(－x) 2－bx＋c＝ax2＋bx＋c 对 x∈R 恒成立． ∴b＝0. ∴g(x)＝ax3＋cx. ∴g(－x)＝－g(x)． 4[答案] B [解析] ∵f(－2)＝f(2)，且 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2>1>0， ∴f(2)>f(1)>f(0)．∴f(－2)>f(1)>f(0)． 5[答案] D [解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为 3，∴f(－1)＝3， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为 f(1)＝f(－ 1)＝3. 6[答案] B [解析] 解法 1：f(x)＝x 2＋(a＋1)x＋a 为偶函数， ∴a＋1＝0，∴a＝－1. 解法 2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数
∴对任意x∈R,有f-x)=fx)恒成立, f(-1)=f(1) 即0=2(1+a),∴a= 7[答案]A 解析]解法1:f-3)=(-3)+a(-3)+(-3)b-5=-(37+ a35+3b-5)-10=-f(3)-10=5 3)=-15 解法2:设g(x)=x7+axs+bx,则g(x)为奇函数, f(-3)=g(-3)-5=-8(3)-5=5 g(3)=-10,f3)=g(3)-5=-15 8[答案]A 解析]由题意得2x-13→-32x-1 →≈2x<→x 选A. 答案]4 [解析]由函数f(x)为偶函数得(a)=f-a即(a+aa-4)=(-a +a)(-a-4所以a=4或a=0,而a=0时fx)=x2-4x不是偶函数, 因此a=4 [考点定位]本题考查函数奇偶性的应用.若已知一个函数为偶 函数,则应有其定义域关于原点对称 10答案]非奇非偶
∴对任意 x∈R，有 f(－x)＝f(x)恒成立， ∴f(－1)＝f(1)， 即 0＝2(1＋a)，∴a＝－1. 7[答案] A [解析] 解法 1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋ a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5， ∴f(3)＝－15. 解法 2：设 g(x)＝x 7＋ax5＋bx，则 g(x)为奇函数， ∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5， ∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15. 8[答案] A [解析] 由题意得|2x－1|<1 3 ⇒－ 1 3 <2x－1< 1 3 ⇒ 2 3 <2x< 4 3 ⇒ 1 3 <x< 2 3 ，∴选 A. 9[答案] 4 [解析] 由函数 f(x)为偶函数得 f(a)＝f(－a)即(a＋a)(a－4)＝(－a ＋a)(－a－4)所以 a＝4 或 a＝0，而 a＝0 时 f(x)＝x 2－4x 不是偶函数， 因此 a＝4. [考点定位] 本题考查函数奇偶性的应用．若已知一个函数为偶 函数，则应有其定义域关于原点对称 10[答案] 非奇非偶
11答案]-x(x+1) 12[答案]0 [解析]由于偶函数图象关于y轴对称,且与x轴有三个交点, 因此一定过原点且另两个互为相反数,故其和为0 13[解析](1)偶函数.-x)=(-x)2+一=x2+立边=fx) f(x)为偶函数 (2)为偶函数.x∈Q时,-x∈Q, (-x)=1=f(x) 同理,x为无理数时,-x也为无理数 -x)=-1=fx),:fx)为偶函数 (3)奇函数.f-x)=|-2x+11-1-2x-1 2x-1-|2x+11=-f(x) x)为奇函数 (4画出其图象如图,可见x)为奇函数 14解析]f-x)+g(-x)=x2-x-2,由fx)是偶函数,g(x)是奇
11[答案] －x(x＋1) 12[答案] 0 [解析] 由于偶函数图象关于 y 轴对称，且与 x 轴有三个交点， 因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为 0. 13[解析] (1)偶函数．∵f(－x)＝(－x) 2＋ 1 (－x) 2 ＝x 2＋ 1 x 2＝f(x)，∴ f(x)为偶函数． (2)为偶函数．∵x∈Q 时，－x∈Q， ∴f(－x)＝1＝f(x)． 同理，x 为无理数时，－x 也为无理数． ∴f(－x)＝－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)奇函数．∵f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1| ＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (4)画出其图象如图，可见 f(x)为奇函数． 14[解析] f(－x)＋g(－x)＝x 2－x－2，由 f(x)是偶函数，g(x)是奇
函数得,fx)-g(x)=x2-x-2 又风x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得 fx)=x2-2,g(x)=x 15[解析]因为fx是奇函数且定义域为(-1,1), 所以f0)=0,即b=0 又行=3,所以2 所以a=1,所以几x)= 1+x2 16解析]设x≥0时,f(x)=a(x-1)2+2, )点,:a(3-1)2+ 即fx)=-2(x-1)2+2 当x<0时 f(-x)=-2(-x-1)2+2=-2(x+1)2+2, f(x)为奇函数,-x)=-fx), x)=2(x+1)2-2, 2(x-1)2+2(x 即(x) 2(x+1)2-2(x<0) 其图象如图所示
函数得，f(x)－g(x)＝x 2－x－2 又 f(x)＋g(x)＝x 2＋x－2，两式联立得： f(x)＝x 2－2，g(x)＝x. 15[解析] 因为 f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)， 所以 f(0)＝0，即 b＝0. 又 f 1 2 ＝ 2 5 ，所以 1 2 a 1＋ 1 2 2 ＝ 2 5 ， 所以 a＝1，所以 f(x)＝ x 1＋x 2 . 16[解析] 设 x≥0 时，f(x)＝a(x－1)2＋2， ∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2. 即 f(x)＝－2(x－1)2＋2. 当 x0， f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2， ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2(x＋1)2－2， 即 f(x)＝ －2(x－1) 2＋2 (x≥0) 2(x＋1) 2－2 (x<0) ， 其图象如图所示．
