1-3-22同步检测 选择题 1.若函数fx)=xx∈R,则函数y=-fx)在其定义域内是() 单调递增的偶函数 B.单调递增的奇函数 C.单调递减的偶函数 D.单调递减的奇函数 2.下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是 fx=x+ B. fr) C.(x)=y/1 D. f()=x 3.已知y=x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,fx)=x2 2x,则fx)上的表达式为() A.y=x(x-2) B.y=x(x+2) C.y=x(x-2) D.y=x(x-2) 4.(2012泉州高一检测)x)是定义在[66]上的偶函数,且 f(3)f(1),则下列各式一定成立的是( A.f0)(2) C.f(-1)f(3) D.f(2)>O) 5.已知奇函数fx)在区间[0,+∞)上是单调递增的,则满足f(2x 1)(3)的x的取值范围是() b,+∞ 6.已知函数f(x)和g(x)均为奇函数,h(x)=qfx)+bg(x)+2在区 间(0,+∞)上有最大值5,那么h(x)在(-∞,0)上的最小值为
1-3-2-2 同步检测 一、选择题 1．若函数 f(x)＝x(x∈R)，则函数 y＝－f(x)在其定义域内是( ) A．单调递增的偶函数 B．单调递增的奇函数 C．单调递减的偶函数 D．单调递减的奇函数 2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ) A．f(x)＝x＋ 1 x B．f(x)＝x 2－ 1 x C．f(x)＝ 1－x 2 D．f(x)＝x 3 3．已知 y＝f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x 2－ 2x，则 f(x)上的表达式为( ) A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2) C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2) 4．(2012·泉州高一检测)f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且 f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是( ) A．f(0)f(2) C．f(－1)f(0) 5．已知奇函数 f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足 f(2x －1)<f( 1 3 )的 x 的取值范围是( ) A．(－∞， 2 3 ) B．[ 1 3 ， 2 3 ) C．( 1 2 ， 2 3 ) D．[ 2 3 ，＋∞) 6．已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2 在区 间(0，＋∞)上有最大值 5，那么 h(x)在(－∞，0)上的最小值为( )
B.-1 C.-3 D.5 7.(曲师大附中2011~2012高一上期末)若函数fx)是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f3)=0,则使得fx)0的x 的取值范围是() A.( 3)∪(3,+∞) C.(3,+∞) D.(-3,3) 8.(胶州三中2011~2012高一模块测试)设奇函数fx)在(0,+∞) 上为增函数,且1)=0,则不等式 f(x)-f(-x) <0的解集为() A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-c,-1)∪(0,1) C.( 1)U(1 D.(-1,0)∪(0,1) y 二、填空题 9函数y=(x)的图象如图所示,则函数(x)的单调递增区间是
A．－5 B．－1 C．－3 D．5 7．(曲师大附中 2011～2012 高一上期末)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且 f(3)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A．(－∞，3)∪(3，＋∞) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(－3,3) 8．(胶州三中 2011～2012 高一模块测试)设奇函数 f(x)在(0，＋∞) 上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x) x <0 的解集为( ) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 二、填空题 9.函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的单调递增区间是 ________．
x 10.(2012大连高一检测)函数(x)=2x2-mx+3在[一2,+∞) 上是增函数,在(-∞,一2]上是减函数,则m= 11.(上海大学附中2011~2012高一期末考试)设函数f(x) (x+1)(x+a) 为奇函数,则 12.偶函数fx)在(0,+∞)上为增函数,若x0,且x|>xl 则f(x1)与fx2)的大小关系是 、解答题 ax2+1 13.设函数fx) 是奇函数(a、b、c∈Z),且f1)=2,(2)3 求a、b、c的值 14.已知函数(x)=x2+(x≠0,常数a∈R) (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由 (2)若函数fx)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围 [分析](1)题需分情况讨论.(2)题用定义证明即可 15.设fx)为定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x;当x2 时,y=f(x)的图象是顶点为P(34)且过点A2,2)的抛物线的一部分
10．(2012·大连高一检测)函数 f(x)＝2x 2－mx＋3 在[－2，＋∞) 上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则 m＝________. 11．(上海大学附中 2011～2012 高一期末考试)设函数 f(x)＝ (x＋1)(x＋a) x 为奇函数，则 a＝________. 12．偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若 x10，且|x1|>|x2|， 则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是______． 三、解答题 13．设函数 f(x)＝ ax2＋1 bx＋c 是奇函数(a、b、c∈Z)，且 f(1)＝2，f(2)2 时，y＝f(x)的图象是顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的一部分．
y 1↓1 T=-r TIIT 4-3-2 5!-4:-3:-2-1:O 1213:4;5 -1----+-1---- 4 T--千-- (1)求函数fx)在(一∞,-2)上的解析式; (2)在图中的直角坐标系中画出函数x)的图象 (3)写出函数f(x)的值域和单调区间 16.已知函数fx)的定义域是0,+∞),当x1时,fx)>0,且 fx y)=fx)+f) (1)求f(1) (2)证明风x)在定义域上是增函数 (3)如果f3)=-1,求满足不等式fx)-)≥2的x的取值范 围. [分析](1)的求解是容易的;对于(2),应利用单调性定义来证明, 其中应注意xy)=(x)+fy)的应用;对于(3),应利用(2)中所得的结 果及∫x-y)=(x)+/y)进行适当配凑,将所给不等式化为fg(x)≥a) 的形式,再利用fx)的单调性来求解
(1)求函数 f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2)在图中的直角坐标系中画出函数 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域和单调区间． 16．已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，当 x>1 时，f(x)>0，且 f(x·y)＝f(x)＋f(y)． (1)求 f(1)； (2)证明 f(x)在定义域上是增函数； (3)如果 f( 1 3 )＝－1，求满足不等式 f(x)－f( 1 x－2 )≥2 的 x 的取值范 围． [分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明， 其中应注意 f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结 果及 f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为 f [g(x)]≥f(a) 的形式，再利用 f(x)的单调性来求解．
详解答案 l答案]D 2答案]D 解析]∵对于A,f(-x)=(-x)+ f(x);对于 D,f-x)=(-x)3=-x3=-f(x), A、D选项都是奇函数.易知(x)=x在(0,1)上递增 3[答案]D 解析]当x0时,-x>0 -x)=x2+2x又fx)是奇函数, fx)=-f(-x) 2x,x≥0 f x)= x)=x(x-2).故选D 4答案]C 5[答案]A [解析]由图象得2x-1<, 选A
详解答案 1[答案] D 2[答案] D [解析] ∵对于 A，f(－x)＝(－x)＋ 1 (－x) ＝－(x＋ 1 x )＝－f(x)；对于 D，f(－x)＝(－x) 3＝－x 3＝－f(x)， ∴A、D 选项都是奇函数．易知 f(x)＝x 3在(0,1)上递增． 3[答案] D [解析] 当 x0， ∴f(－x)＝x 2＋2x.又 f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x 2－2x. ∴f(x)＝ x 2－2x，x≥0， －x 2－2x，x<0. ∴f(x)＝x(|x|－2)．故选 D. 4[答案] C 5[答案] A [解析] 由图象得 2x－1< 1 3 ，∴x< 2 3 ，选 A
6[答案]B [解析]解法一:令F(x)=h(x)-2=q(x)+bg(x), 则F(x)为奇函数 x∈(0,+∞)时,h(x)≤5, x∈(,+∞)时,F(x)=h(x)-2≤3 又x∈(-∞,0时,-x∈(0,+∞), ∴F(-x)≤3分-F(x)≤3 h(x)≥-3+2=-1,选B 7[答案]D [解析]∵x)为偶函数,(3)=0,(-3)=0, 又fx)在(-∞,0上是减函数,故-30,故0x0,故使fx)0成立的x∈
6[答案] B [解析] 解法一：令 F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)， 则 F(x)为奇函数． ∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5， ∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3. 又 x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， ∴F(－x)≤3⇔－F(x)≤3 ⇔F(x)≥－3. ∴h(x)≥－3＋2＝－1，选 B. 7[答案] D [解析] ∵f(x)为偶函数，f(3)＝0，∴f(－3)＝0， 又 f(x)在(－∞，0]上是减函数，故－30，故 03 时，f(x)>0，故使 f(x)<0 成立的 x∈ (－3,3)．
[点评]此类问题画示意图解答尤其简便,自己试画图解决 8[答案]D [解析]奇函数fx)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0, fx)-f(-x)2/(x) 由函数的图象得解集为(-1,0)∪(O,1) 9答案](-∞,1)、(1,+∞) 10答案]-8 11答案]-1 解析](x)=(x+1)x+a)为奇函数 eg(x)=(x+1)x+a)为偶函数, 故g(-1)=g(1),:a=-1 12答案](x)>八(x2) 「解析]∵x0, 又x|>|x2|,x2>0 1>x2>0 f(x)在(0,+∞)上为增函数,-x1)>(x), 又∵x)为偶函数,/(x1)(x) 此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然 13解析]由条件知f-x)+f(x)=0, ax2+1ax2+1 0 bx+c
[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决． 8[答案] D [解析] 奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0， f(x)－f(－x) x ＝ 2f(x) x f(x2) [解析] ∵x10， 又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0， ∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)． 此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然． 13[解析] 由条件知 f(－x)＋f(x)＝0， ∴ ax2＋1 bx＋c ＋ ax2＋1 c－bx ＝0
∴c=0又f1)=2,:a+1=2b, 4a+1 4a+1 2b-3 a+1 解得:-14 只需使a4 xx2(x1+x2)16
∴c＝0 又 f(1)＝2，∴a＋1＝2b， ∵f(2)4， ∴只需使 a4， ∴x1x2(x1＋x2)>16
故a的取值范围是( 15[解析](当x2时,设fx)=a(x-3)2+4 f(x)的图象过点A(2,2), 2)=a(2-3)2+4=2,:a=-2 x)=-2x-3)2+4 设x∈( 2),则-x2 (-x)=-2(-x-3)+4 又因为fx在R上为偶函数,:f-x)=f(x), 即fx)=-2(x+3)2+4,x∈(-∞,-2) (2图象如图所示 y 5 3 4-3-2-10 x 2 (3)由图象观察知fx)的值域为by≤4}
故 a 的取值范围是(－∞，16]． 15[解析] (1)当 x>2 时，设 f(x)＝a(x－3)2＋4. ∵f(x)的图象过点 A(2,2)， ∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2， ∴f(x)＝－2(x－3)2＋4. 设 x∈(－∞，－2)，则－x>2， ∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4. 又因为 f(x)在 R 上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4， 即 f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)． (2)图象如图所示． (3)由图象观察知 f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(-∞,-3和[0,3 单调减区间为[-30和3,+∞) l6解析](1)令x=y=1,得1)=211),故f1)=0 (2明:令y=,得八1)=fx)+()=0,故)=-x).任取 ∈(0,+∞) 且 则风x2)-x)=x2)+几)=f 由于1,故f)>0,从而fx2)(x) x)在(0,+∞)上是增函数 (3)于3)=-1,而f3)=-(3),故(3)=1 在fxy)=x)+fy)中,令x=y=3,得 f9)=f3)+f(3)=2 又-()=f(x-2),故所给不等式可化为 fx)+f(x-2)≥9),即∫x(x-2)≥f9) >0 x-2>0 解得x≥1+√10 (x-2)≥9 x的取值范围是[1+√10,+∞). [总结评述]本题中的函数是抽象函数,涉及了函数在某点处的
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]． 单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)． 16[解析] (1)令 x＝y＝1，得 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0. (2)证明：令 y＝ 1 x ，得 f(1)＝f(x)＋f( 1 x )＝0，故 f( 1 x )＝－f(x)．任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x11，故 f( x2 x1 )>0，从而 f(x2)>f(x1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (3)由于 f( 1 3 )＝－1，而 f( 1 3 )＝－f(3)，故 f(3)＝1. 在 f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令 x＝y＝3，得 f(9)＝f(3)＋f(3)＝2. 又－f( 1 x－2 )＝f(x－2)，故所给不等式可化为 f(x)＋f(x－2)≥f(9)，即 f [x(x－2)]≥f(9)． ∴ x>0， x－2>0， x(x－2)≥9. 解得 x≥1＋ 10. ∴x 的取值范围是[1＋ 10，＋∞)． [总结评述] 本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的