1.3.1单调性与最大(小)值 第一课时函数单调性的概念
1.3.1 单调性与最大（小）值 第一课时 函数单调性的概念
问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究他经过测试,得到 了以下一些数据 时间间隔刚记20分6008-91天2天6天一个 忆完钟后钟后小时后后后月后 毕 后 记忆量y1005824235.8|33727.8254211 (百分比) 以上数据表明,记忆量y是时间M 间隔t的函数艾宾浩斯根据这6 些数据描绘出了著名的“艾宾浩物 斯调忘曲线”如图 0 123
问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了以下一些数据： 时间间隔 t 刚记 忆完 毕 20分 钟后 60分 钟后 8-9 小时 后 1天 后 2天 后 6天 后 一个 月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线” ,如图. 1 2 3 t y o 20 40 60 80 100
思考1当时间间隔t逐渐增 大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势?通过这个s0 试验,你打算以后如何对待 40 刚学过的知识? 20 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”° 23 从左至右是逐渐下降的,对此 我们如何用数学观点进行解释?
思考1:当时间间隔 t逐渐增 大你能看出对应的函数值 y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待 刚学过的知识 ? 思考2: “艾宾浩斯遗忘曲线 ” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？ t yo 20 40 60 80 100 1 2 3
知识探究(一) 考察下列两个函数: (1)f(x)=x;(2)f(x)=x2(x≥0) 思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征? 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升, 那么当自变量x从小到大依次取值时,函数值y的 变化情况如何?
知识探究（一） y o x 考察下列两个函数: f x x ( ) = 2 （1） ； (2) f x x x ( ) ( 0) = x y o 思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？
思考3:如图为函数f(x)在定义域 y=f(x) I内某个区间D上的图象,对于该 f(x2) 区间上任意两个自变量x1和x2 当x1<x时,(x与(x)的大小。 关系如何? 思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数, 那么怎样定义“函数(x)在区间D上是增函数”? 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x,x2的值,若当x<x2时,都有f(x)<f(x2), 则称函数f(x)在区间D上是增函数
f x( ) 1 2 x x 1 f x( ) 2 f x( ) 思考3:如图为函数 在定义域 I内某个区间D上的图象，对于该 区间上任意两个自变量x1和x2， 当 时， 与 的大小 关系如何？ x y o x1 x2 y f x = ( ) 1 f x( ) 2 f x( ) 思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数 f x( ) 在区间D上是增函数”？ f x( ) 1 2 x x, 1 x 2 x 1 f x( ) 2 f x( ) f (x) 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 < 时，都有 < , 则称函数 在区间D上是增函数
知识探究(二) 考察下列两个函数: (1)f(x)=-x;(2)f(x)=x2(x≤0) 思考1:这两个函数的图象分别是什么?二者有何 共同特征?
知识探究（二） 考察下列两个函数: f x x ( ) = − 2 （1） ； (2) f x x x ( ) ( 0) = 1 f x( )2 f x( ) y f x = ( ) x y o x o y 思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
思考2:我们把具有上述特点的 y=f(x) 函数称为减函数,那么怎样定 义“函数f(x)在区间D上是减 f(x1)f(x2) 函数”? 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x,x2的值,若当不f(x2), 则称函数f(x)在区间D上是减函数 思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量x1,x2的值,若当x>x2时,都有 f(x)<f(x2),则函数f(x)在区间D上是增函数还是 减函数?
f x( ) 思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 在区间D上是减 函数”？ 2 f x( ) x y o x1 x2 y f x = ( ) 1 f x( ) f x( ) 1 2 x x, 1 x 2 x 1 f x( ) 2 f x( ) f (x) 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 , 则称函数 在区间D上是减函数. f x f x ( ) ( ) 1 2 f x( ) 思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 的值，若当 时，都有 ,则函数 在区间D上是增函数还是 减函数？ 1 2 x x, 1 2 x x
思考4:如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数,则称函数(x)这一区间具有 (严格的)单调性,区间D叫做函数f(x)的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗? 函数f(x)=(x-1)2的单调区间如何?
2 f x x ( ) ( 1) = − f x( ) f x( ) 思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 函数 的单调区间如何？
理论迁移 例1如图是定义在闭区间 [-5,6]上的函数=f(x) 的图象,根据图象说出 y=f(x)的单调区间,以 及在每一单调区间上, 94 函数y=f(x)是增函数还 是减函数
理论迁移 - 5 - 3 1 3 6 o x y y f x = ( ) y f x = ( ) 例1 如图是定义在闭区间 [-5，6]上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以 及在每一单调区间上， 函数 是增函数还 是减函数. y f x = ( )
例2物理学中的玻意耳定律P=(k为正常数) 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强p将增大.试用函数的单调性 证明 例3试确定函数f(x) 在区间(0,+∞) 上的单调性
(0, ) + 1 ( ) x f x x − 例3 试确定函数 = 在区间 上的单调性. ( ) k P k V 例2 物理学中的玻意耳定律 = 为正常数 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 证明