第2课时利用一元二次方程解决面积问题 学习目标 1、在已有的一元二次方程的学习基础上,能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题,从而进一步体会方 程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流,并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程,提高自己 的数学应用能力。 3、感受数学的严谨性,形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯 【预习案】 知识准备 解方程x2-70x+825=0,并叙述解一元二次方程的解法 【探究案】 探究点:利用一元二次方程解决面积问题 小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方形 盒子 (1)如果要求长方体的底面面积为81cm2,那么剪去的小正方形边长为多少? (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化?折合成的长 方体的体积又会发生什么样的变化? 折合成的长方体 底面积cm2)81644936251694 剪去的正方形 边长(cm) 折合成的长方体 体积(cm3) 问题:1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系? (长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系) 2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系? (长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍) 3、你能否用数量关系表示出这种关系呢?并求出剪去的小正方形的边长。 解:设剪去的正方形边长为xm,依题意得 (10-x)2=81,10-x=±9,x1=1,x2=9
第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题 学习目标： 1、在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方 程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2、积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，提高自己 的数学应用能力。 3、感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯。 【预习案】 知识准备 解方程 2 x x −+= 70 825 0，并叙述解一元二次方程的解法。 【探究案】 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 小明把一张边长为 10cm 的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形 盒子。 （1）如果要求长方体的底面面积为 81cm2，那么剪去的小正方形边长为多少？ （2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长 方体的体积又会发生什么样的变化？ 问题： 1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？ （长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系） 2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？ （长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的 2 倍） 3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。 解：设剪去的正方形边长为 xcm ，依题意得： 2 (10 ) 81 − = x ，10 9 − = x ， 1 x =1， 2 x = 9
因为正方形硬纸板的边长为10cm,所以剪去的正方形边长为lcm。 4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系?求出此时长方体的体积 (长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样;体积为81×1=81cm3) 5、完成表格,与你的同伴一起交流,并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化?折合成的长方体的体积又会 发生什么样的变化? 6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况?以剪去的正方形的边长为自变 量,折合而成的长方体体积为函数,并在直角坐标系中画出相应的点,看看与你的感觉是否一致 例1.如图,△ABC的边BC=8cm,高AM=6cm,长方形DEFG的一边EF落在BC上,顶点D、G分别落在 AB和AC上,如果这长方形面积12cm2,试求这长方形的边长 入 G B E M F C 【训练案】 1如图,宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成,则每个小长方形的面积为 A.400cm2B.500cm2C.600cm2D.4000cm 2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果 要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0 3.如图,面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形,用计算器求得a的长为(保留3个有效 数字) A.270mB.2. C.265m D.260m
因为正方形硬纸板的边长为 10cm ，所以剪去的正方形边长为 1cm 。 4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。 （长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为 3 81 1 81 = cm ） 5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会 发生什么样的变化？ 6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变 量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。 例 1.如图， ABC 的边 BC cm =8 ，高 AM cm = 6 ，长方形 DEFG 的一边 EF 落在 BC 上，顶点 D、G 分别落在 AB 和 AC 上，如果这长方形面积 2 12cm ，试求这长方形的边长。 【训练案】 1.如图，宽为 50cm 的矩形图案由 10 个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为( ) A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2 2. 在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果 要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是( ) A．x 2+130x-1400=0 B．x 2+65x-350=0 C．x 2 -130x-1400=0 D．x 2 -65x-350=0 3.如图，面积为 30m2 的正方形的四个角是面积为 2m2 的小正方形，用计算器求得 a 的长为（保留 3 个有效 数字）( ) A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m M G E F D B C A
三 scm 4.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的 面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为 5、某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比 渠深多0.4m.(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少 (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 6、学校为了美化校园环境,在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长 方形花圃 (1)若请你在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平 方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案 (2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能, 请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的 面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 5、某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深多 2m，渠底比 渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 6、学校为了美化校园环境，在一块长 40 米、宽 20 米的长方形空地上计划新建一块长 9 米、宽 7 米的长 方形花圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多 1 平 方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加 2 平方米？如果能， 请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. 8800c m x x x x 50cm a