第2课时一元二次方程的解及其估算 学习目标 了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 2经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。 重点:探索一元二次方程的解或近似解 难点:培养学生的估算意识和能力 【预习案】 学生活动:请同学独立完成下列问题 问题1.如图,,个长为l0m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的 底端距墙多少米? 设梯子底端距墙为xm,那么, 根据题意,可得方程为 整理,得 列表 012|34|5678 问题2.一个面积为120m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m,苗圃的长和宽各是多少? 设苗圃的宽为xm,则长为m 根据题意,得 整理,得 列表: 01234567891011 【探究案】 探究点1:探究一元二次方程的解 提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2中一元二次方程的解是多少? (2)如果抛开实际问题,问题1中还有其它解吗?问题2呢? (3)如果抛开实际问题,问题(1)中还有x=6的解;问题2中还有x=12的解 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称 元二次方程的解叫做一元二次方程的根
第 2 课时 一元二次方程的解及其估算 学习目标 1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 2.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 重点：探索一元二次方程的解或近似解； 难点：培养学生的估算意识和能力． 【预习案】 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题 1．如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m，那么梯子的 底端距墙多少米？ 10 8 设梯子底端距墙为 xm，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 问题 2．一个面积为 120m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为 xm，则长为_______m． 根据题意，得_______ _． 整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【探究案】 探究点 1：探究一元二次方程的解. 提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有其它解吗？问题 2 呢？ （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x =-12 的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
回过头来看:x2-36=0有两个根,一个是6,另一个是-6,但6不满足题意;同理,问题2中的x=12 的根也满足题意.因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根,还要考虑这些根是 否确实是实际问题的解 例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根? 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可 解:将上面的这些数代入后,只有2和-3满足方程的等式,所以x=2或x=3是一元二次方程 2x2+10x+12=0的两根 探究点2:用“夹逼法”解生活中的一元二次方程 例2.要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5cm,·这块铁片应该怎样剪? 设长为xcm,则宽为(x-5)cm 列方程x(x-5)=150,即x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题: (1)x可能小于5吗?可能等于10吗?说说你的理由 (2)完成下表 101121314151617 (3)你知道铁片的长x是多少吗? 分析:x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式 的方法去求根,但是我们可以用一种新的方法—“夹逼”方法求出该方程的根 解:(1)x不可能小于5.理由:如果ⅹ<5,则宽(x-5)<0,不合题意 x不可能等于10.理由:如果x=10,则面积x2-5x-150=100,也不可能 (2) 0 l121314|151617 x25×150-100-84|-66-46-24 (3)铁片长x=15cm 【训练案】 、选择题 1.方程x(x-1)=2的两根为() A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=1C.x1=1,x2=2D.x1=1,x2=2 2.已知x=1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则 二、填空题 1.如果x2-81=0,,那么x2-81=0的两个根分别是x1= 2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为 3.方程(x+1)2+√2x(x+1)=0,那么方程的根x 三、综合提高题 1.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值
回过头来看：x 2 -36=0 有两个根，一个是 6，另一个是－6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是 否确实是实际问题的解． 例 1．下面哪些数是方程 2x 2+10x+12=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程 2x2+10x+12=0 的两根． 探究点 2：用“夹逼法”解生活中的一元二次方程. 例 2．要剪一块面积为 150cm2 的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，• 这块铁片应该怎样剪？ 设长为 xcm，则宽为（x-5）cm 列方程 x（x-5）=150，即 x 2 -5x-150=0 请根据列方程回答以下问题： （1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由． （2）完成下表： X 10 11 12 13 14 15 16 17 … x 2 -5x-150 （3）你知道铁片的长 x 是多少吗？ 分析：x 2 -5x-150=0 与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式 的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根． 解：（1）x 不可能小于 5．理由：如果 x<5，则宽（x-5）<0，不合题意． x 不可能等于 10．理由：如果 x=10，则面积 x 2 -5x-150=-100，也不可能． （2） x 10 11 12 13 14 15 16 17 …… x 2 -5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 …… （3）铁片长 x=15cm 【训练案】 一、选择题 1．方程 x（x-1）=2 的两根为（ ）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1= 1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．已知 x=-1 是方程 ax 2+bx+c=0 的根（b≠0），则 a c b b + =（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 1．如果 x 2 -81=0，那么 x 2 -81=0 的两个根分别是 x1=________，x2=__________． 2．已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________． 3．方程（x+1）2+ 2 x（x+1）=0，那么方程的根 x1=______；x2=________． 三、综合提高题 1．如果 x=1 是方程 ax 2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值．
2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数 求证:-1必是该方程的一个根 3.在一次数学课外活动中,小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在()2-2x y,则有y2y+1=0,根据上述变形数学思想(换元法),解决小明给出的问题:在( 0中,求出(x2-1)2+(x2-1)=0的根 4.一块矩形铁片,面积为1m2,长比宽多3m,求铁片的长,小明在做这道题时,·是这样做的: 设铁片的长为x,列出的方程为x(x-3)=1,整理得:x23x-1=0.小明列出方程后,想知道铁片的长 到底是多少,下面是他的探索过程: 第一步 x2-3x-1|-3-3 所以, 第二步: 31323.334 -1-0.96-0.36 所以 (1)请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分: (2)通过以上探索,估计出矩形铁片的整数部分为 十分位为 谷案 三、1.由已知,得a+b=3,原式=(a+b)2=(-3)2=9 2.a+c=b,a-b+c=0,把ⅹ=1代入得 ax2+bx+c=a×(-1)2+b×(-1)+c=a-b+c=0
2．如果关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数， 求证：-1 必是该方程的一个根． 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（ 2 x 1 x − ）2 -2x 2 x 1 x − +1=0， 令 2 x 1 x − =y，则有 y 2 -2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x 2 -1）2+（x 2 -1） =0 中，求出（x 2 -1）2+（x 2 -1）=0 的根． 4．一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时，• 是这样做的： 设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整理得：x 2 -3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长 到底是多少，下面是他的探索过程： 第一步： x 1] 2 3 4 x 2 -3x-1 -3 -3 所以，________<x<__________ 第二步： x 3.1 3.2 3.3 3.4 x 2 -3x- 1 -0.96 -0.36 所以，________<x<__________ （1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分； （2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为______ _，十分位为______． 答案: 一、1．D 2． A 二、1．9，-9 2．-13 3．- 1，1- 2 三、1．由已知，得 a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=9． 2．a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1 代入得 ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0
∴-1必是该方程的一根 3.设y=x2-1,则y2+y=0,y1=0,y2=-1 即当x2-1=0,x1=1,x2=1 当y2=1时,x2-1=1,x2=0, ∴x3=X4=0 ∴x1=1,x2=-1,x3=xX4=0是原方程的根 4.(1)-1,3,3,4,-0.01,0.36,3.3,3.4(2)3,3
∴-1 必是该方程的一根． 3．设 y=x 2 -1，则 y 2+y=0，y1=0，y2=-1， 即当 x 2 -1=0，x1=1，x2=-1； 当 y2=-1 时，x 2 -1=-1，x 2=0， ∴x3=x4=0， ∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0 是原方程的根． 4．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3