比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型,同时也是令许多学生 头疼的一种题型,特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中,往往令人眼花 瞭乱无从下手. 等积式的证明有没有技巧呢?其实只要我们冷静分析,我们将会发现许多 等积式的证明也是有规律可循的
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生 头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人眼花 瞭乱无从下手. 等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多 等积式的证明也是有规律可循的
类型一:找线段对应的三角形,利用相似证明 如图,□ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F求证 DC CF AE AD D C△毛知 F 4 E B
类型一：找线段对应的三角形，利用相似证明 如图，□ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证： DC CF AE AD = . E D A B C F
如图,□ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F求证: DC CF AE AD 证明:四边形ABCD是平行四边形 AB∥CD,∠A=∠C F ∠CDF=∠E ∴△DCF∽△EAD E B DC CF AE AD
如图，□ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证： DC CF AE AD = . E D A B C F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，∠A＝∠C ∴∠CDF＝∠E ∴△DCF∽△EAD ∴ DC CF AE AD =
如图,△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长 线于D,交AB于E,求证:AM=MDME AM. ha D 证明: ∠D=∠B=90°-∠C ∠BAC=90°, ∠1=∠D M为BC的中点 又:∠2=∠2 E MAE MB △EAM∽△ADM ∠B=∠1 am. MD=ME: AM M∵∠BAC=90°,DM⊥BC∴AM=MDME
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长 线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME. E D B C A M 证明： ∵∠BAC＝90° ， M为BC的中点 ∴MA＝MB ∴∠B＝∠1 ∵∠BAC＝90° ，DM⊥BC ∴∠D＝∠B＝90°－∠C ∴∠1＝∠D 又∵∠2＝∠2 ∴△EAM∽△ADM ∴AM∶MD＝ME∶AM ∴AM2＝MD·ME 2 1
方法总结 证明线段比例式或等积式时,通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中 ,再证明所属的两个三角形相似
方法总结 证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个三角形中 ，再证明所属的两个三角形相似
类型二:利用等线段代换 如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作 CFIIAB, 延长BP交C于E,交CFF求证:BP2=PEPF E B
类型二：利用等线段代换 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF. P E D B C A F
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB, 延长BF交AC于E,交CF于F求证:BP=PEPF 证明:连接PC ∵AB=AC,AD是中线 ∠4=∠F ∴AD垂直平分BC 而∠CPE是△CPE和 F.. BP= CP △FPC的公共角 E ∠1=∠2 △CPE∽△FPC °AB=AC . Pe. PC=PC: PF B PC2= PE PF D ∠1+∠3=∠2+∠4 ∠3=∠4 BPZ= PE PF "CF∥AB ∠3=∠F
如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB， 延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF. P E D B C A F 证明：连接PC ∵AB＝AC，AD是中线 ∴AD垂直平分BC ∴BP＝CP ∴∠1＝∠2 ∵AB＝AC ∴∠1+∠3＝∠2＋∠4 ∴∠3＝∠4 ∵CF∥AB ∴∠3＝∠F ∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和 △FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF 3 4 1 2
方法总结 运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时,如果相关的线段不在 某两个三角形中,则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换, 再按类型一的方法证明
方法总结 运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明
类型三:找中间比利用等积式代换 如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AD⊥BC于D,E为直角边AC的 中点,过D、E作直线交AB的延长线于F求证:ABAF=ACDF
类型三：找中间比利用等积式代换 如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 ° ，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF. F E D B C A 3 2 1