63三角形的中位线 1.如图,为测量池塘边A,B两点间的距离,小明在池塘的一侧选取一点O, 测得OA,OB的中点分别是点D,E,且DE=14米,则A,B间的距离是() A.18米B.24米C.28米D.30米 2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE =60°,则∠C的度数为 A.50°B.60° C.70°D.80° 3·如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,点D,E分别是直角边BC AC的中点,则DE的长为() B.2 C D.1+ 4.如图,点D,E,F分别是△ABC各边的中点,连接DE,EF,DF若△ABC 的周长为10,则△DEF的周长为 5.如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,△ABD 的周长为16cm,则△DOE的周长是cm B 6.如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点 E
6.3 三角形的中位线 1．如图，为测量池塘边 A，B 两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点 O， 测得 OA，OB 的中点分别是点 D，E，且 DE＝14 米，则 A，B 间的距离是( ) A．18 米 B．24 米 C．28 米 D．30 米 2．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，∠A＝50°，∠ADE ＝60°，则∠C 的度数为( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝1，点 D，E 分别是直角边 BC， AC 的中点，则 DE 的长为( ) A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 3 4．如图，点 D，E，F 分别是△ABC 各边的中点，连接 DE，EF，DF.若△ABC 的周长为 10，则△DEF 的周长为____． 5．如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，△ABD 的周长为 16 cm，则△DOE 的周长是____cm. 6．如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 的中点．
(1)若DE=10cm,则AB=cm (2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系? 证明你的猜想 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点, 依次连接各边中点得到中点四边形EFGH (1)这个中点四边形EFGH的形状是 (2)请证明你的结论 8.如图,四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB, CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE的度数是() A.15° B.20° C.25 D.30° 9.如图,在四边形ABCD中,R,P分别是BC,CD上的点,E,F分别是AP RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的 是() R A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 10.如图,EF是△ABC的中位线,BD平分∠ABC交EF于点D,若DE=2, 则EB=
(1)若 DE＝10 cm，则 AB＝____cm； (2)中线 AD 与中位线 EF 有什么特殊关系？ 证明你的猜想． 7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形． 如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点， 依次连接各边中点得到中点四边形 EFGH. (1)这个中点四边形 EFGH 的形状是___________； (2)请证明你的结论． 8．如图，四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB， CD 的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE 的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图，在四边形 ABCD 中，R，P 分别是 BC，CD 上的点，E，F 分别是 AP， RP 的中点，当点 P 在 CD 上从 C 向 D 移动而点 R 不动时，那么下列结论成立的 是( ) A．线段 EF 的长逐渐增大 B．线段 EF 的长逐渐减小 C．线段 EF 的长不变 D．线段 EF 的长与点 P 的位置有关 10．如图，EF 是△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC 交 EF 于点 D，若 DE＝2， 则 EB＝____．
11.如图,△ABC的周长是1,连接△ABC三边的中点构成第2个三角形,再 连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形,依此类推,第2017个三角形的 周长为 12·如图,EF,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH 是平行四边形 13.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延 长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3 (1)求证:BN=DN (2)求△ABC的周长 14.如图,在口ABCD中,AE=BF,AF,BE相交于点G,CE,DF相交于点 H求证:GH∥BC且GH==BC
11．如图，△ABC 的周长是 1，连接△ABC 三边的中点构成第 2 个三角形，再 连接第 2 个三角形三边中点构成第 3 个三角形，依此类推，第 2017 个三角形的 周长为________． 12．如图，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 13．如图，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，延 长 BN 交 AC 于点 D，已知 AB＝10，BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN； (2)求△ABC 的周长． 14．如图，在▱ABCD 中，AE＝BF，AF，BE 相交于点 G，CE，DF 相交于点 H.求证：GH∥BC 且 GH＝ 1 2 BC
15.如图,在口ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE相交于 点G求证:GF=GC 方法技能 1.三角形有三条中位线,每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系, 位置关系可证明两直线平行,数量关系可证明线段相等或倍分关系 2.三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形,每个小三角形的 周长都等于原三角形周长的一半 3.当题目中有中点时,特别是有两个中点且都在一个三角形中,可直接利用三 角形中位线定理 易错提示: 对三角形中位线的意义理解不透彻而出错 答案 1.C 2345 6.(1)20 (2)解:AD与EF互相平分.证明:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中 点,∴DE∥AB,DE=AB,AF=AB,∴DE=AF,∴四边形AFDE是平行四
15．如图，在▱ABCD 中，E 是 CD 的中点，F 是 AE 的中点，FC 与 BE 相交于 点 G.求证：GF＝GC. 方法技能： 1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系， 位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系． 2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的 周长都等于原三角形周长的一半． 3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三 角形中位线定理． 易错提示： 对三角形中位线的意义理解不透彻而出错 答案： 1. C 2. C 3. A 4. 5 5. 8 6. (1) 20 (2) 解：AD 与 EF 互相平分．证明：∵D，E，F 分别为 BC，AC，AB 的中 点，∴DE∥AB，DE＝ 1 2 AB，AF＝ 1 2 AB，∴DE＝AF，∴四边形 AFDE 是平行四
边形,∴AD与EF互相平分 7.(1)平行四边形 (2)解:连接AC,由三角形中位线性质得,EF∥AC且EF=AC,GH∥AC 且GH=,AC,∴E練GH,四边形EFGH是平行四边形 8.D l1. 12.解:连接BD,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH是△ABD的中位线 ∴EH=2BD,EH∥BD,同理可证FG=BD,FG∥BD,∴班絞FG,∴四边 形EFGH是平行四边形 13.解:(1)∵AN平分∠BAD,∴∠1=∠2,BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND =90°,又∵AN=AN,∴△ABN≌△ADN(ASA),∴BN=DN(2)∵△ABN≌△ ADN,∴AD=AB=10,∵DN=BN,点M是BC的中点,∴MN是△BDC的 中位线,∴CD=2MN=6,∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6 +10=41 14.解:连接EF,证四边形ABEF,EFCD分别为平行四边形,从而得G是BE 的中点,H是EC的中点,∴GH是△EBC的中位线,∴GH∥BC且GH==BC 15.解:取BE的中点H,连接FH,CH,∵F是AE的中点,H是BE的中点, ∴FH是△ABE的中位线,HH∥AB且HH=AB.在口ABCD中,AB∥DC,AB =DC,∴FH∥EC,又∵点E是DC的中点,∴EC=DC=AB,∴FH=EC, ∴四边形EFHC是平行四边形,∴GF=GC
边形，∴AD 与 EF 互相平分 7. (1) 平行四边形 (2) 解：连接 AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC 且 EF＝ 1 2 AC，GH∥AC 且 GH＝ 1 2 AC，∴EF 綊 GH，∴四边形 EFGH 是平行四边形 8. D 9. C 10. 2 11. 1 2 2016 12. 解：连接 BD，∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH＝ 1 2 BD，EH∥BD，同理可证 FG＝ 1 2 BD，FG∥BD，∴EH 綊 FG，∴四边 形 EFGH 是平行四边形 13. 解：(1)∵AN 平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND ＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN (2)∵△ABN≌△ ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点 M 是 BC 的中点，∴MN 是△BDC 的 中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6 ＋10＝41 14. 解：连接 EF，证四边形 ABEF，EFCD 分别为平行四边形，从而得 G 是 BE 的中点，H 是 EC 的中点，∴GH 是△EBC 的中位线，∴GH∥BC 且 GH＝ 1 2 BC 15. 解：取 BE 的中点 H，连接 FH，CH，∵F 是 AE 的中点，H 是 BE 的中点， ∴FH 是△ABE 的中位线，∴FH∥AB 且 FH＝ 1 2 AB.在▱ABCD 中，AB∥DC，AB ＝DC，∴FH∥EC，又∵点 E 是 DC 的中点，∴EC＝ 1 2 DC＝ 1 2 AB，∴FH＝EC， ∴四边形 EFHC 是平行四边形，∴GF＝GC