11等腰三角形 第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质 选择题(共8小题) 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠DAB= ∠EAC,则添加的条件不能为() A. BD=Ce B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD 2.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是() A. 80° B.80°或20°C.80°或50°D.20 3.已知实数x,y满足|x-4+yy-8=0则以,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40 BD为∠ABC的平分线,则∠BDC的度数是() A.60°B.70° 5.已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则该三角形的周长是() A.8 C.10或12 D.11或13 6.如图,给出下列四组条件: ①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF ③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F:④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E 其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 7.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分 则这个等腰三角形的底边长为 A.7 B.11 C.7或11 D.7或10 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为 C.60°或150° D.60°或12 二,填空题(共10小题) 9.已知等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是 10.如图,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD= 第10题 第11题 第12题 第13题 11.如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B 12.如图,AB∥CD,AE=AF,CE交AB于点F,∠C=110°,则∠A
1.1 等腰三角形 第 1 课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 一.选择题(共8小题) 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠DAB= ∠EAC,则添加的条件不能为( ) A. BD=CE B. AD=AE C. DA=DE D. BE=CD 2.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是( ) A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20° 3.已知实数x,y满足 ,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ( ) A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°, BD为∠ABC的平分线,则∠BDC的度数是( ) A. 60° B. 70° C. 75° D. 80° 5.已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则该三角形的周长是( ) A. 8 B. 9 C. 10或12 D. 11或13 6.如图,给出下列四组条件: ① AB DE BC EF AC DF = = = , , ;② AB DE B E BC EF = = = , , ; ③ = = = B E BC EF C F , , ;④ AB DE AC DF B E = = = , , . 其中,能使 △ABC DEF ≌△ 的条件共有( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 7.在等腰△ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分, 则这个等腰三角形的底边长为( ) A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或1 0 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为( ) A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120° 二.填空题(共10小题) 9.已知等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是 _________ . 10.如图,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD= _________ . 第10题 第11题 第12题 第13题 11.如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外角∠DAC=130°,则∠B= _________ °. 12.如图,AB∥CD,AE=AF,CE交AB于点F,∠C=110°,则∠A=________°.
13.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD= 14.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC= 小△ 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 15.如图,AB与CD交于点0,OA=0C,OD=OB,∠A=50°,∠B=30°,则∠D的度数为 16.如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A=36°,则∠BDC的度数为 17.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,∠BAD=20°,则∠C= 18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,E,F,P分别是AB,AC,BC边上一点,且BE=BP CP=CF,则∠EP= 三.解答题(共5小题) 19.已知:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,O是底边BC上的中点,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E 求证:AD=AE. 20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上 求证:(1)△ABD≌△ACD (2) BE=CE 21.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点0是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和A B的位置关系,并给出证明
13.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于D,则BD=_________ . 14.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC=_________ °. 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 15.如图,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠A=50°,∠B=30°,则∠D的度数为____ _. 16.如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A=36°,则∠BDC的度数为 _________. 17.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC边的中点,∠BAD=20°,则∠C= _________ . 18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,E,F,P分别是AB,AC,BC边上一点,且BE=BP ,CP=CF,则∠EPF= _________ 度. 三.解答题(共5小题) 19.已知:如图,在等腰△ABC中,AB=AC,O是底边BC上的中点,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E. 求证:AD=AE. 20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD 上. 求证:(1)△ABD≌△ACD; (2)BE=CE. 21.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和A B的位置关系,并给出证明.
22.如图,在△ABC中,D、E分别是AC和AB上的点,BD与CE相交于点0,给出下列四个条件 ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD:④OB=OC (1)上述四个条件中,由哪两个条件可以判定AB=AC?(用序号写出所有的情形) (2)选择(1)小题中的一种情形,说明AB=AC 23.(1)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,分别交AB、A C于点D、E.判断DE=DB+EC是否成立?为什么? (2)如图,若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点,其他条件不变,请猜想 线段D、DB、EC之间有何数量关系?证明你的猜想
22.如图,在△ABC中,D、E分别是AC和AB上的点,BD与CE相交于点O,给出下列四个条件 : ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC. (1)上述四个条件中,由哪两个条件可以判定AB=AC?(用序号写出所有的情形) (2)选择(1)小题中的一种情形,说明AB=AC. 23.(1)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,分别交AB、A C于点D、E.判断DE=DB+EC是否成立?为什么? (2)如图,若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点,其他条件不变,请猜想 线段DE、DB、EC之间有何数量关系?证明你的猜想.
参考答案 、 CBBCDCCD 二、9、50°,50°或80°,20°;10、44:11、65;12、40:13、3:14、69;15、30° 16、72;17、70;18、50 三、19、证明:∵AB=AC ∴OD⊥AB,OE⊥AC, ∴∠ODB=∠OEC=90° ∵O是底边BC上的中点 OB=OC, 在△OBD与△OCE中,∠B=∠C ∴△OBD≌△OCE(AAS) ∴BD=CE Ab=AC AB- BD=AC-CE 即AD=AE 20、证明:(1)D是BC的中点, ∴BD=CD, BD=CD 在△ABD和△ACD中,AB=AC AD=AD(公共边) △ABD≌△ACD(SSS) (2)由(1)知△ABD≌△ACD, ∴∠BAD=∠CAD,即∠BAE=∠CAE AB=AC 在△ABE和△ACE中,∠BAE=∠CAE AE=AE(公共边) ∴△ABE≌△ACE(SAS) BE=CE(全等三角形的对应边相等) (其他正确证法同样给分) (4分) 21、解:OE⊥AB
参考答案 一、CBBCDCCD 二、9、50°,50°或 80°,20°;10、44;11、65;12、40;13、3;14、69;15、30°; 16、72;17、70;18、50 三、19、证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵OD⊥AB,OE⊥AC, ∴∠ODB=∠OEC=90°. ∵O 是底边 BC 上的中点, ∴OB=OC, 在△OBD 与△OCE 中, ∴△OBD≌△OCE(AAS). ∴BD=CE. ∵AB=AC, ∴AB﹣BD=AC﹣CE. 即 AD=AE. 20、证明:(1) ∵D 是 BC 的中点, ∴BD=CD, 在△ABD 和△ACD 中, , ∴△ABD≌△ACD(SSS); …(4 分) (2)由(1)知△ABD≌△ACD, ∴∠BAD=∠CAD,即∠BAE=∠CAE, 在△ABE 和△ACE 中, ∴△ABE≌△ACE (SAS), ∴BE=CE(全等三角形的对应边相等). (其他正确证法同样给分) …(4 分) 21、解:OE⊥AB.
AC=BD 证明:在△BAC和△ABD中,{∠BAC=∠ABD, ∴△BAC≌△ABD(SAS) OBA=∠OAB ∴OA=OB 又∵AE=BE,∴OE⊥AB 答:OE⊥AB 22、(1)答:有①③、①④、②③、②④共4种情形 (2)解:选择①④,证明如下: ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, 又∵∠EBO=∠DCO, ∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB AC=AB ② 理由是:在△BEO和△CDO中 ∠BEO=∠CD0 ∷∠EOB=∠DC, OB=OC ∴△BEO≌△CDO, ∠EBO=∠DCO OB=OC g∴∠OBC=∠OCB ∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 23、解:(1)成立 △ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB ∠1=∠2,∠5=∠4 DE∥BC,∴∠2=∠3,∠4=∠6. ∴∠1=∠3,∠6=∠5 根据在同一个三角形中,等角对等边的性质,可知:BD=DF,EF=CE ∵.DE=DF+EF=BD+CE 故成立 (2)∵BF分∠ABC, ∴∠DBF=∠FBC ∴DF∥BC,∴∠DFB=∠FBC ∠ABF=∠DFB, ∴BD=DF ∵CF平分∠ACG, ∴∠ACF=∠FCG
证明:在△BAC 和△ABD 中, , ∴△BAC≌△ABD(SAS). ∴∠OBA=∠OAB, ∴OA=OB. 又∵AE=BE,∴OE⊥AB. 答:OE⊥AB. 22、(1)答:有①③、①④、②③、②④共 4 种情形. (2)解:选择①④,证明如下: ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, 又∵∠EBO=∠DCO, ∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB, ∴AC=AB. ②④ 理由是:在△BEO 和△CDO 中 ∵ , ∴△BEO≌△CDO, ∴∠EBO=∠DCO, ∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC, 23、解:(1)成立; ∵△ABC 中 BF、CF 平分∠ABC、∠ACB, ∴∠1=∠2,∠5=∠4. ∵DE∥BC,∴∠2=∠3,∠4=∠6. ∴∠1=∠3,∠6=∠5. 根据在同一个三角形中,等角对等边的性质,可知:BD=DF,EF=CE. ∴DE=DF+EF=BD+CE. 故成立. (2)∵BF 分∠ABC, ∴∠DBF=∠FBC. ∵DF∥BC,∴∠DFB=∠FBC. ∴∠ABF=∠DFB, ∴BD=DF. ∵CF 平分∠ACG, ∴∠ACF=∠FCG.
DF∥BC ∠DFC=∠FCG ∴∠ACF=∠DFC ∴CE=EF ∵EF+DE=DF,即DE+EC=BD
∵DF∥BC, ∴∠DFC=∠FCG. ∴∠ACF=∠DFC, ∴CE=EF. ∵EF+DE=DF,即 DE+EC=BD.