第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 、学习目标 1、了解不等式、不等式的解集的概念,会在数轴上表示出不等式的解集 2、掌握不等式的三条基本性质,并会用它们解一元一次不等式 3、了解一元一次不等式解集的概念,会利用数轴解一元一次不等式组 4、理解一次函数与一元一次不等式的关系,会利用不等式解决有关函数问题。 、知识结构脉络 不等式的基本性质 )七元一次不等式翻因对比已元次方程的解 胃一次函数的关系] 解集」 元一次不等式组} 两步厂一个不等式 寻找公共部分 四、知识点梳理 1、不等式(组)有关概念 不等式:不等式的解:不等式的解集:解不等式:一元一次不等式:其标准形式 为ax一b》0,或ax一K0(a≠0)”一元一次不等式组:不等式组的解集 解不等式组:求出不等式组的解集的过程叫解不等组 解不等式组的步骤:(i)先求出各个不等式的解集(ii)取各个解集的公共部分 (i)利用数轴直观显示,并确定其特殊解。四种基本类型(如下表) 不等式组类型(a>b)解集 数轴显示 语言描述 x>a (I) 同大取大 b a 「xbb(xa 大小小大中间找 x>a (IV) 无解 小大大无处找 x< b 2、不等式的基本性质(如下表) 性质 文字叙述 学语言
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、学习目标 1、了解不等式、不等式的解集的概念，会在数轴上表示出不等式的解集。 2、掌握不等式的三条基本性质，并会用它们解一元一次不等式。 3、了解一元一次不等式解集的概念，会利用数轴解一元一次不等式组 4、理解一次函数与一元一次不等式的关系，会利用不等式解决有关函数问题。 二、知识结构脉络 四、知识点梳理 1、不等式（组）有关概念 不等式：不等式的解：不等式的解集：解不等式：一元一次不等式：其标准形式 为 ax 一 b>0，或 ax 一 bb） 解集 数轴显示 语言描述 （I） x b x a x a 同大取大 （II） x b x a x b 同小取小 （III） x b x a b<x<a 大小小大中间找 （IV） x b x a 无解 小小大大无处找 性质 文字叙述 数学语言
(I) 不等式的两边加(或减)同一个数 或(式子),不等号的方向不变 若a>b则a土c>b土c (II) 不等式的两边乘以(或除以)同 个正数,不等号的方向不变 若a>b且c>0则ac>bc或 (III) 不等式的两边乘以(或除以)同 个负数,不等号的方向改变 若a>b且cb,c>d,则a十c>b十d(同向不等式相加) (2)若a>b,cb一d(异向不等式相减) (3)4 a>b>0, c>d>0, ac>bd (4)若a>b>0,0b(5)若a>b>0,则 (6)若a>b>0,n为正整数,则a>b (7)若a>b>0,n为不小于2 的整数则a>Vb 4、解不等式的步骤:(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5) 未知数的系数化为1。要注意把系数化为1时,如果不等式的两边都乘以(或除 以)同一个正数,不等号的方向不变;如果不等式的两边都乘以(或除以)同 个负数,不等号的方向要改变;解不等式要根据题目的要求和特点合理灵活地选 择解题步骤。 5、一元一次不等式(组)的应用 (1)注意设未知数的方法,找出问题中量与量之间的不等关系,抽象出不等式 (组),求出不等式(组)的解集后,要注意验证解的合理性 (2)正确理解列不等式(组)的关键词。如不少于、不超过、大于、小于、至 少、至多、不足、不空、不满等。其中,不少于就是大于或等于表示为≥, 不超过、至多都是不大于的意思,不大于就是小于或等于,表示为≤,非 负数就是正数和零等 五、思想方法总结 1.应用类比的方法 2.应用数形结合的思想:充分利用数轴的直观性,简捷性,生动形象地理解不等 式和一次函授的有关知识,真正掌握基本技能 3.转化的思想方法:不等与相等之间可以相互转化,有时将不等问题转化为相等 问题来解决,有时又可以将相等问题转化为不等问题来解决。 4.构建的思想方法:列不等式(组)解决实际问题,实际上是应用构建的思想方 法。所谓构建的思想方法是建立起解决实际问题的数学模型,如方程(组)、不 等式(组)等,然后用数学模型解决实际问题,这种思想方法在今后应用广泛 六、易错题分析 例1、若a>b,b,c为实数,则下列正确的是() A ac>bc, b acbc D ac>bC2 例2、关于x的不等式组{无解,则m的取值范围()
3 运算性质 （1） 若 a>b，c>d，则 a 十 c>b 十 d（同向不等式相加） （2） 若 a>b，cb 一 d（异向不等式相减） （3） 若 a>b>0，c>d>0，ac>bd （4） 若 a>b>0，0b>0，则 a b 1 1 （6） 若 a>b>0，n 为正整数，则 n n a b （7）若 a>b>0，n 为不小于 2 的整数则 n n a b 4、解不等式的步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5） 未知数的系数化为 1。要注意把系数化为 1 时，如果不等式的两边都乘以（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变；如果不等式的两边都乘以（或除以）同一 个负数，不等号的方向要改变；解不等式要根据题目的要求和特点合理灵活地选 择解题步骤。 5、一元一次不等式（组）的应用 （1） 注意设未知数的方法，找出问题中量与量之间的不等关系，抽象出不等式 （组），求出不等式（组）的解集后，要注意验证解的合理性。 （2） 正确理解列不等式（组）的关键词。如不少于、不超过、大于、小于、至 少、至多、不足、不空、不满等。其中，不少于就是大于或等于表示为 ， 不超过、至多都是不大于的意思，不大于就是小于或等于，表示为 ，非 负数就是正数和零等。 五、思想方法总结 1.应用类比的方法： 2.应用数形结合的思想：充分利用数轴的直观性，简捷性，生动形象地理解不等 式和一次函授的有关知识，真正掌握基本技能。 3.转化的思想方法：不等与相等之间可以相互转化，有时将不等问题转化为相等 问题来解决，有时又可以将相等问题转化为不等问题来解决。 4.构建的思想方法：列不等式（组）解决实际问题，实际上是应用构建的思想方 法。所谓构建的思想方法是建立起解决实际问题的数学模型，如方程（组）、不 等式（组）等，然后用数学模型解决实际问题，这种思想方法在今后应用广泛。 六、易错题分析 例 1、若 a>b，b，c 为实数，则下列正确的是（） A ac>bc， B acbc2 D ac2 bc2 例 2、关于 x 的不等式组 x m x m 无解，则 m 的取值范围（ ） （I） 不等式的两边加（或减）同一个数 或（式子），不等号的方向不变 若 a>b 则 a 土 c>b 土 c （II） 不等式的两边乘以（或除以）同一 个正数，不等号的方向不变 若 a>b 且 c>0 则 ac>bc 或 c b c a （III） 不等式的两边乘以（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变 若 a>b 且 c<0 则 ac<bc 或 c b c a
Am>3Bm≥3Cm≤3Dm3-x的解集是( A B、x>2 C、x>1 x< 图 例2:不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是() (A) (D) 例3:如图1,小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板.三人的体重一共为150千克,爸 爸坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另 端,这时爸爸那端仍然着地.那么小明的体重应小于() A.49千克B.50千克C.24千克D.25千克
A m>3 B m 3 C m 3 D m<3 例 3、x 取何值时，x 的一半与 x 的 3 倍的差至少是 4？ 正解：由题意得 3 4 2 1 x − x 即 4 2 5 − x 系数化为 1，得 5 8 x − 故当 5 8 x − 时，x 的一半与 x 的 3 倍的差至少是 4。 例 4、（1）解不等式 2−5x 8−2x （2）解不等式 ( 1) 6 1 3 1− − x + x x 并把解集在数轴上表示出来 例 5、一辆公共汽车上有（5a 一 4）名乘客，在某一车站有（9 一 2a）名乘客下 车，车上原来有多少名乘客？ 错解：由题意得 − − 9 2 1 5 4 1 a a 解得 1 a 4 取整数得 a=1,2,3,4 把 a 的值分别代入 5a 一 4，得 5a 一 4=1，6，11，16。 答：车上原来有 1 人，6 人，11 人，或 16 人。 剖析：错解忽视了 5a − 4 9− 2a 这一条件 正解：由题意得 − − − − 9 2 0 5 4 0 5 4 9 2 a a a a 化简得 2 9 5 4 7 13 a a a 所以 2 9 7 13 a a 取整数得 a=2，3，4 当 a=2 时，5a 一 4=6，当 a=3 时，5a 一 4=11，当 a=4 时，5a 一 4=16。 答：原来车上有乘客 6 人，11 人，或 16 人。 七、典型考点扫描 考点一：用不等式表示数量关系： 例 1、用不等式表示下列数量关系： （1） x 与 3 的和是非负数 （2） a 与 b 的差是非正数 考点二：考查不等式（组）基础知识 例 2：不等式 2x 3− x 的解集是（ ） A、 x 2 B、 x 2 C、 x 1 D、 x 1 例 2:不等式 2x +1 ≥3 的解集在数轴上表示正确的是( ) 例 3：如图 1，小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板．三人的体重一共为 150 千克，爸 爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一 端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于（ ） Ａ． 49 千克 Ｂ． 50 千克Ｃ． 24 千克 Ｄ． 25 千克 图 1
x-3 例4关于x的不等式组 2 只有4个整数解,则a的取值范围( 2x+2 B-5 14 14 考点三、求不等式中字母的值 例4:如果关于的不等式(a+1)x>a+1解集为x0B.a-1D.ay2? 分析:方法一:可将函数或方程转化为不等式,即有 x+2>x+4求得自变量x的范图为x<-1 方法二:可作出两个函数的图象如图,所示:两直线相交 于点(一1,3)依推上面的图象比下面的图象函数值大, 求得自变量的范围。 考点四、考查利用不等式(组)解实际应用问题 例7、(2006深圳市)初三的几位同学拍了一张合影作留念, y1=-x+2 已知冲一张底片需要0.80元,洗一张相片需要0.35元.在 每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下,平均每人分摊的钱不足0.5元, 那么参加合影的同学人数() A.至多6人 B.至少6人 C.至多5人 D.至少5人 例8:甲,乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超 市一次降价20%,在哪家超市购买此种商品更合算() A.甲 B乙 C.同样 D.与商品价格无关 例9:学校计划购买40支钢笔,若干本笔记本(笔记本数超过钢笔数)甲、乙两 家文具店的标价都是钢笔10元/支,笔记本2元/支,甲店的优惠方式是钢笔打 9折,笔记本打8折,乙店的优惠方式是每买5支送1本笔记本,钢笔不打折, 购买的笔记本打7.5折,试问购买笔记本在什么范围内到甲店更合算? 例10:“中国荷藕之乡”扬州市宝应县有着丰富的荷藕资源,某荷藕加工企业己 收购荷藕60吨,根据市场信息,如果对荷藕进行粗加工,每天可加工8吨,每 吨可获利1000元,如果进行精加工,每天可加工0.5吨,每吨可获利5000元
例 4 关于 x 的不等式组 + + − + x a x x x 3 2 2 3 2 15 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围（ ） A 3 14 − 5 a − B 3 14 − 5 a − C 3 14 − 5 a − D 3 14 − 5 a − 考点三、求不等式中字母的值 例 4：如果关于的不等式（a+1）x＞a+1 解集为 x＜1，则 a 的取值范围是（ ） A. a＞0 B.a＜0 C. a＞-1 D.a＜-1 例 5：关于 x 的不等式 3x-2a≤-2 的解集如图 2,则 a 的值是______. 考点四、考查一元一次不等式与一次函数 例 6、己知 y1 = −x + 2, y2 = x + 4 当 x 取何值时 1 2 y y ？ 分析：方法一：可将函数或方程转化为不等式，即有 − x+2 x+4 求得自变量 x 的范图为 x<一 1。 方法二：可作出两个函数的图象如图，所示：两直线相交 于点（—1，3）依推上面的图象比下面的图象函数值大， 求得自变量的范围。 考点四、考查利用不等式（组）解实际应用问题 例 7、(2006 深圳市)初三的几位同学拍了一张合影作留念， 已知冲一张底片需要 0.80 元，洗一张相片需要 0.35 元．在 每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足 0.5 元， 那么参加合影的同学人数（ ） Ａ．至多６人 Ｂ．至少６人 Ｃ．至多５人 Ｄ．至少５人 例 8:甲,乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价 10%,乙超 市一次降价 20%,在哪家超市购买此种商品更合算( ) A. 甲 B 乙 C.同样 D.与商品价格无关 例 9:学校计划购买 40 支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）甲、乙两 家文具店的标价都是钢笔 10 元/支，笔记本 2 元/支，甲店的优惠方式是钢笔打 9 折，笔记本打 8 折，乙店的优惠方式是每买 5 支送 1 本笔记本，钢笔不打折， 购买的笔记本打 7.5 折，试问购买笔记本在什么范围内到甲店更合算？ 例 10:“中国荷藕之乡”扬州市宝应县有着丰富的荷藕资源，某荷藕加工企业己 收购荷藕 60 吨，根据市场信息，如果对荷藕进行粗加工，每天可加工 8 吨，每 吨可获利 1000 元，如果进行精加工，每天可加工 0.5 吨，每吨可获利 5000 元
由于受设备条件的限制,两种加工方式不能同时进行。 (1)设精加工的吨数为x吨,则粗加工的吨数为 吨,加工这批荷藕需要 天,可获利元(用含x的代数式表示) (2)为了保鲜的需要,该企业必须在一个月(30天)内将这批荷藕全部加工完 毕。精加工的吨数在什么范围内,该企业加工这批荷藕的获利不低于80000元? 元一次不等式组解应用题的一般步骤为 列不等式组解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤相类似,所 不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系 即可 1.审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中的不等关系,要抓住 题中的关键词语,如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过” 2.设:设出适当的未知数; 3.列:根据题中的不等关系列出不等式组; 4.解:解出所列不等式组的解集 5.答:写出答案,从不等式组的解集中找出符合题意的答
由于受设备条件的限制，两种加工方式不能同时进行。 （1）设精加工的吨数为 x 吨，则粗加工的吨数为 吨，加工这批荷藕需要 天，可获利 元（用含 x 的代数式表示） （2）为了保鲜的需要，该企业必须在一个月（30 天）内将这批荷藕全部加工完 毕。精加工的吨数在什么范围内，该企业加工这批荷藕的获利不低于 80000 元？ 一元一次不等式组解应用题的一般步骤为： 列不等式组解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤相类似,所 不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系 即可。 1.审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住 题中的关键词语，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过” 等； 2.设：设出适当的未知数； 3.列：根据题中的不等关系列出不等式组； 4.解：解出所列不等式组的解集； 5.答：写出答案，从不等式组的解集中找出符合题意的答