GearED 义务教育课程标准实验教科书 九年级下册 人民教育出版社
房例5如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里 的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确 到0.01海里)? 解:如图,在Rt△APC中, 65 PC=P4cos(90°-65°) =80×c0s25° ≈80×0.91 72.8 134 在Rt△BPC中,∠B=34° PC SIn B= PB PC72.872.8 B .PB= ≈130.23 sinb sin34°0.559 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130.23海里
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确 到0.01海里）？ 解：如图，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34° PB PC sin B = 130.23 0.559 72.8 sin 34 72.8 sin = = B PC PB 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里． 65° 34° P B C A
化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问题的策略 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用 相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的高度时,只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l,就能算出h= sina,但是,当我们要测量如图所 示的山高h时,问题就不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l 与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而山坡是“曲” 的,怎样解决这样的问题呢?
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用 相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所 示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲” 的，怎样解决这样的问题呢？ h h α α l l
GearED 我们设法“化曲为直,以直代曲”.我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段,划分小 段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的,可以量出这 段坡长1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出这段山坡的高度 h=sina. 在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2…,n然后我们再“积零为整”,把 h1h2…,n相加,于是得到山高h 以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直,以直代曲” 的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在数学中有重要地位,在 今后的学习中,你会更多地了解这方面的内容
我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化 整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小 段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这 段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1=l1 sina1 . 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1 ,h2 ,…,hn ,然后我们再“积零为整”，把 h1 ,h2 ,…,hn相加，于是得到山高h. h α l 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
练习 1.海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向到航 行,在B点测得小岛在北偏东60°方向上,航行12海里到达D点,这时测 得小岛A在北偏到30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有 触礁的危险? 解:由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F,垂足为F,∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30 A 设DF=x,AD=2x 60° 则在Rt△ADF中,根据勾股定理 AF=√AD-DF2=√(2x)-x2=xB D 在Rt△ABF中, 30° tan∠ABF、AF x tan 30 BE 12+x 解得x=6 AF=6x=63≈1041048没有触确危险
1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航 行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有 触礁的危险？ B A D F 解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理 ( ) 2 2 2 2 AF AD DF x x x = − = − = 2 3 在Rt△ABF中， tan AF ABF BF = 3 tan 30 12 x x = + 解得x=6 AF x = = 6 6 3 10.4 10.4 > 8没有触礁危险 练习 30° 60°
beara 人eom 2.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求: (1)坡角和B (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到01m) 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90° AF BF=1:1.5i=15 i=1:3 tan a 6m B F E C a≈33.7° 在Rt△CDE中,∠CED=90° DE tan =1:3 CE B≈18.4°
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） B A D F E C 6m α β i=1:3 i=1:1.5 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° tan 11.5 AF i BF = = = ： 33.7 在Rt△CDE中，∠CED=90° tan 1: 3 DE i CE = = = 18.4
GearED 人eom 归纳 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角 三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形 (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．