GearED 北师大版九年级(下) 4解直角三角形
北师大版 九年级（下）
GearED 这样的问题怎么解决 问题:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤≤75°现有一个长6m的梯子,问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)? (2)当梯子底端距离墙面24m时,梯子与地面所成的角a等于多少(精 确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?
问题：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精 确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 这样的问题怎么解决
GearED 问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度 问题(1)可以归结为:在R△ABC中,已知∠A=75°,斜 边AB=6,求∠A的对边BC的长 由snA= BC爆 AB BC=AB·snA=6×sn75 由计算器求得sin75°≈0.97 所以BC6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是58m
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，斜 边AB＝6，求∠A的对边BC的长． 问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m AB BC sin A = BC = ABsin A = 6sin 75 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得sin75°≈0.97 由 得 A B α C
GearED 对于问题(2),当梯子底端距离墙面24m时,求梯子与地面所成的 角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=24,斜边AB=6, 求锐角a的度数 由于 AC2.4 cosa 0.4 AB 6 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子与地面 所成的角大约是66° 由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数 由于 0.4 6 2.4 cos = = = AB AC a 利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的． A B C α
探究 在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? 能 BC sin a →BC= AB sin a=6xsin75°=7 AB Ac COS A= →AC=AB.cosA=6×cos75 AB ∠A+∠B=90°→∠B=90°-∠A=90°-75°
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 探究 A B C α 能 sin sin 6 sin 75 BC A BC AB A AB = = = cos cos 6 cos 75 AC A AC AB A AB = = = + = = − = − A B B A 90 90 90 75 6 =75°
探究 在图中的Rt△ABC中, (2)根据AC=24,斜边AB=6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗 B 能 AB2=AC2+BC2→BC=√4B2-AC2=v62-242≈55 2.4 AC COS A→c084、2.4 =0.4→∠A≈66 A+B=90°→B=90°-A=90-66=24
在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ 探究 2 2 2 2 2 2 2 AB AC BC BC AB AC = + = − = − 6 2.4 5.5 2.4 cos cos 0.4 66 6 AC A A A AB = = = A B B A + = = − = − = 90 90 90 66 24 A B C α 能 6 2.4
GearED 解直角三角形 解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程 事实上,在直角三角形的六个元素中, 除直角外,如果再知道两个元素(其 中至少有一个是边),这个三角形就 b 可以确定下来,这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素 B 在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素． A a B b c C 解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 解直角三角形
GearED 人eom 在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系: (1)三边之间的关系-+D=c<(勾股定理) (2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90° b (3)边角之间的关系 B SmA∠A的对边 ∠B的对边b sin B 斜边c 斜边 ∠A的邻边b COS A ∠B的邻边 斜边 coS B= 斜边 cac ∠A的对边 ∠B的对边b tan a tan B ∠A的邻边b ∠B的邻边a
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 c A a A = = 斜边 的对边 sin c B b B = = 斜边 的对边 sin c A b A = = 斜边 的邻边 cos c B a B = = 斜边 的邻边 cos b a A A A = = 的邻边 的对边 tan a b B B B = = 的邻边 的对边 tan （1）三边之间的关系 2 2 2 a + b = c （勾股定理） A a B b c C 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
GearED 例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=√2,BC=√6 解这个直角三角形 解 BO . tan a= AC√2 B ∠A=60° ∠B=90°-∠A=90°-60°=30 AB=2AC=2√2
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ， 解这个直角三角形 AC = 2,BC = 6 解： 3 2 6 tan = = = AC BC A A = 60 B = 90 −A = 90 −60 = 30 AB = 2AC = 2 2 A C B 2 6
GearED 例2如图,在Rt△ABC中,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形 (精确到0.1) 解:∠A=90°∠B=90°-35°=55° b ∴tanB 20 35° b 20 20 B ≈28.6 tanb tan35°0.70 SinB=6 20 20 C 35.1 你还有其他 sinb sin35°0.57 方法求出c吗?
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35° ，b=20，解这个直角三角形 （精确到0.1） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° a b tan B = 28.6 0.70 20 tan 35 20 tan = = B b a c b sin B = 35.1 0.57 20 sin 35 20 sin = = B b c A B a C c b 20 35° 你还有其他 方法求出c吗？