GearED 3垂径定理
3 垂径定理
GearED 赵州桥的半径是多少? 问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为374m拱高弧的中点到弦的距离)为72m,你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你 能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥的半径是多少？
动 实践探究 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折 重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么 结论? 可以发现:圆是轴对称图形,任何一条 直径所在直线都是它的对称轴
实践探究 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？ 可以发现：圆是轴对称图形，任何一条 直径所在直线都是它的对称轴．
以考活动二 如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E (1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么? (1)圆是轴对称图形.直径CD所 在的直线是它的对称轴 (2)线段:AE=BE 弧:弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合, 点A与点B重合,AE与BE重合,弧C、弧4D分别与弧BC、弧BD重合.D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 活 动 二 （1）圆是轴对称图形．直径CD所 在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合， 点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD重合． 弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
GearED AE=BE,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC 即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB及弧ACB 由此,我们得到下面的定理: E 垂直于弦的直径平分弦,并且平 A 分弦所对的两条弧 我们还可以得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对 的两条弧 这个定理也叫垂径定理,利用这 个定理,你能平分一条弧吗?
· O A B C D E 我们还可以得到结论： 由此，我们得到下面的定理： 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧． 这个定理也叫垂径定理，利用这 个定理，你能平分一条弧吗？ AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
GearED 解决求赵州桥拱半径的问题: 如图,用弧AB表示主桥拱,设弧AB所在圆的圆心为O,半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C根据官 的结论可知,D是弦AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高 在图中AB=374m,CD=7.2m, 4D=1AB=1 374=18.7,(m), OD=0C-CDER-72 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 0A2=AD2+OD2 D 即R2=18.72+(R-7.2)2 B R 解得R≈27.9 因此,赵州桥的主桥拱半径约为279m
解得R≈27.9. O D A B C R 解决求赵州桥拱半径的问题： 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R－7.2）2 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m. OA2=AD2+OD2 37.4 18.7, 2 1 2 1 AD = AB = = AB=37.4 m，CD=7.2 m， OD=OC－CD=R－7.2 在图中 如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面 的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高． AB （m）
活动三 练习 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到弦AB的距离为 3cm,求⊙O的半径 解::OE⊥AB E B .AE=-AB=-×8=4 在Rt△AOE中, A0=0E2+AEZ AO=√OE2+AE2=√32+42=5cm 答:⊙O的半径为5cm
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为 3 cm，求⊙O的半径． O · A E B 练 习 解： OE AB ⊥ 2 2 2 AO OE AE = +2 2 2 2 AO OE AE = + = 3 +4 =5cm 答：⊙O的半径为5 cm. 活 动 三 1 1 8 4 2 2 = = = AE AB 在Rt△AOE中
GearED 2.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦, OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证:四边形ADOE是正方 形 证明:OE⊥ACOD⊥ABAB⊥AC ∴∠OEA=90°∠EAD=90°∠ODA=90° ∴四边形ADOE为矩形,AE=-AC,AD=-AB C 2 又∵AC=AB, ∴AE=AD E ∴四边形ADOE为正方形 B
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方 形． · O A B C D E 证明： OE AC OD AB AB AC ⊥ ⊥ ⊥ = = = OEA EAD ODA 90 90 90 ∴四边形ADOE为矩形， 又 ∵AC=AB， 1 1 2 2 AE AC AD AB = = ， ∴ AE=AD. ∴ 四边形ADOE为正方形