试卷代号：1087 座位号☐ 中央广播电视大学2013一2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 数学分析专题研究 试题 2014年1月 题号 二 三 四 总 分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.已知/)-会-12nn,则)-(） A.sinz B.cosx C.e" D.Inx 2,八，ino3rdr=() A.1 B.-1 C.0 D.oo 3.设1ima,=a,limb,=b,且a>b,则存在自然数N,当n>N时，有() A.a >bn B.b>a C.a.=b D.bn≥an 4.已知fx)在点a可导，则imn[a+名)-fa)]=( A.f'(a) B.2f(a) C.(a) D.f受) 5.若函数y=f(x)在（一0，+0）上严格单调增加，则f(x)在（一o,+o)上(） A.有上界 B.无上界 C,连续 D.有反函数 465
试卷代号 :1087 座位号 中央广播电视大学 2013-2014 学年度第一学期"开放本科"期末考试(半开卷) 数学分析专题研究 试题 E 四厅5tl || 一、单项选择题(每小题 分，共 20 分) 1.已知 f(x) = ~ (_1)n- 1 /0 1 n I X2n- 1 ， f(x)=( ) l' ~， (2n- 1)! A. sinx B. cosx C. eI D.lnx 2'[1 coω =( ) A. 1 B. C.O D. ∞ 2014 3. lima limbn =b a>b 则存在自然数 n>N 时，有( ) A. an > bn C. an =bn B. bn > an D. 二三 αn 4. 己知 f(x) 在点 可导，则 limn[f(a 主) - f( α) ] = ( ) A. I'( C. ~f'(a) n B.2f'( α) D. I'( 亏) 5. 若函数 = f(x) 在(一∞，+∞)上严格单调增加，则 f(x) 在(一∞，+∞)上( ) A. 有上界 B. 无上界 C. 连续 D. 有反函数 465
得 分 评卷人 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.关系R是等价关系当且仅当关系R是反身的、 7.lima=a当且仅当Ve>0,存在自然数N, 8.函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程是 9.e=cos+ 10.已知F(t)=ft),则f()dt= 得 分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）】 ,求椭圆曲线专+芳1所围成区域的面积3 12.对于x≠0，x≠1有 f(x)+f(1)=1+x. 求f(x). 得分 评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.证明：方程x一2sinx=a(a>0)至少有一正实根. 14.证明：函数f(x)=xsinx不是周期函数. 466
|得分|评卷人| |I I 二、填空题{每小题 分，共 20 分) 6. 关系 是等价关系当且仅当关系 是反身的、 7. lima. =α 当且仅当 Vε>0 ，存在自然数 n •+'" 8. 函数 f(x) =x 在点 (1，1)的切线方程是 9. eill =cos8 + 10 已知 F' (t) = 川。ff( 川= 三、计算题{每小题 15 分，共 30 分) 1.求椭圆曲线毛+主 =1 所围成区域的面积 s. a- 0- 12. 对于 f(x)+ f( 主二.!)=1 +x. f(x). |得分|评卷人| |I I 四、证明题(每小题 15 分，共 30 分} 13. 证明:方程 x-2sinx=a(a>0) 至少有一正实根. 14. 证明:函数 f(x)=xsinx 不是周期函数. 466
试卷代号：1087 中央广播电视大学2013一2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 数学分析专题研究试题答案及评分标准 (供参考) 2014年1月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 二、填空题（每小题4分，共20分） 6.对称的且传递的 7.当n>N时，有|a.-al<e 8.y=2x-1 9.isine 10.F(t)+C 三、计算题（每小题15分，共30分） 11.解：设所求面积为S,由于图形关于x轴对称，关于y轴对称，故面积是第1象限面积的 4倍 (5分) s=4小合a-7d 设x=asint,.dx=acostdt,(10分)于是有 s=42∫e:osd 2aco2d(sin =xab. (15分) 12.解：以之二代换x,由方程得 f)+f1已)-红. (1) (5分) 以己三代换x,得 467
试卷代号 :1087 中央广播电视大学 2013-2014 学年度第一学期"开放本科"期末考试(半开卷) 数学分析专题研究 试题答案及评分标准 (供参考) 一、单项选择题(每小题 分，共 20 分) 1. A 2. C 二、填空题(每小题 分，共 20 分) 6. 对称的且传递的 7. n>N 时，有 lan-al<e 8. y=2x-1 9. isin8 10. F(t) +c 三、计算题(每小题 15 分，共 30 分) 3. A 2014 4. B 5. D 1.解:设所求面积为 ，由于图形关于工轴对称，关于 轴对称，故面积是第 象限面积的 5=4 日♂言2dx =asint ,dx = acostdt , (1 分〉于是有 5=4 a2 cos2 tdt a Jo =叫丁川叫t)dt = 础。+卡in2t) 1: = 7rab 12. 解:以王二 代换 由方程得 Z , r/ 1 2x • l f( 一一一)十 f( 了一一) ==一一一- X l-X X Ti一代换工，得 l-X (1) (5 分) (1 分) (5 分) 467
2)+f)-= (2) (10分) 由方程，1)式和(2)式消去f()),得 f(x)=-x2-1 2x(x-1) (15分) 四、证明题（每小题15分，共30分） 13.证明：设 f(x)=x-2sinz-a, 则f(x)是[0，a+3]上的连续函数. (5分)且 f(0)=-a,f(a+3)=a+3-2sin(a+3)-a≥3-2=1， (10分) 即f(0)·f(a+3)0,使得Hx∈[0，T],有{f(x)川 ≤M. (5分) x1∈(-o,+∞)，存在整数k,xo∈[0，T],使得 x1=x。+kT. (8分) 从而有lf(x,)引=|fx。+kT)|=|f(xa)|≤M. (10分) 选取工，=2十受，从而有 f()=Isin=I. (12分) 当k++o时，f(x)→+o,与|f(x.)|≤M矛盾. (15分) 468
f( 二三)十 f(x) (2) x-L r/ 1 由方程、(1)式和 (2) 式消去 f( 一一)、f( 了一一) ，得 f(z)=z3 _ ~2 2x(x-1) . 四、证明题(每小题 15 分，共 30 分} 13. 证明:设 f(x) =x - 2sinx - a , X l-X f(x) [0 a+3] 上的连续函数. (5 分)且 f(O) =-a , f(a+3) =a+3-2sin(α +3) -a 3-2=1 f(O). f(a+3) O 使得 Vxε [0 T] f(x) I M. VXjε(一∞，+时，存在整数是 [0 T] 使得 Xj =xo +kT. 从而有 f(xj) 1= I f(xo + kT) 1= I f(xo) IζM. 选取 Xk =2 十号，从而有 f( 工是) =Xksinxk =Xk. →+∞时 f(Xk) →+∞，与 f(Xk) IζM 矛盾. 468 (5 分) (8 分) (10 分) (1 分) (1 分)