角形的内切圆的定义: 如图是一块三角形木料,木工师傅要 从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢? 和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆 B 三角形叫圆的外切三角形
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？ A B C 三角形的内切圆的定义： A B C 和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆 三角形叫圆的外切三角形 定 义
圆,使它和已知三角形的A 已知:△ABC(如图) 求作:和△ABC的各边都相切的圆 问题1:作圆的关键是什么? C (确定圆心和半径) 问题2:怎样确定圆心的位置? (作两条角平分线,其交点就是圆心的位置) 问题3:圆心的位置确定后怎样确定圆的半径? (过圆心作三角形一边的垂线,垂线段的长就是圆的半径) 4:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗? (不能)任何一个三角形都只有一个内切
问题１：作圆的关键是什么？ 问题２：怎样确定圆心的位置？ 问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ A B C （确定圆心和半径） （作两条角平分线，其交点就是圆心的位置） （过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径） 例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆 问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗? （不 能） 任何一个三角形都只有一个内切圆 典型例题
已知三角形 A 已知:△ABC(如图) 求作:和△ABC的各边都相切的圆 M 作法:1、作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN,交点为I 2、过点I作ID⊥BC,垂足为D 3、以I为圆心,为半径作⊙I,⊙就是所求的圆 角形内切圆的圆心叫三角形的内心 ①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部 三角形内心的性质
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆. 例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图） 求作：和△ABC的各边都相切的圆 A B C N I M D 作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. 2、过点I作ID⊥BC，垂足为D. 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等 ①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ③三角形的内心一定在三角形的内部 三角形内心的性质
定义:和多边形各边都相切的圆 叫做多边形的内切圆,这个 多边形叫做圆的外切多边形 如上图,四边形DEFG是⊙O的外切四边形, ⊙O是四边形DEFG的内切圆, 我们所学的平行四边形,矩形,菱形,正方 形,等腰梯形中,哪些四边形一定有内切圆? (菱形,正方形一定有内切圆)
定义：和多边形各边都相切的圆 叫做 ，这个 多边形叫做 。 多边形的内切 圆 圆的外切多边形 内切 如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形， ⊙O是四边形DEFG的 圆， D E F G .O 思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？ (菱形，正方形一定有内切圆) 定 义
例2如图,在△ABC中,点O是内心,(1)若 ∠ABC=50°,∠ACB=70°,求∠BOC的度数 解(1)∵点O是△ABC的内心, .∠OBC=∠OBA 2<ABC=25° 同理∠OCB=∠OCA=1 ∠ACB=35° B 2 ∠BOC=180° (∠ABC+∠ACB) =180 60°=120° (2)若∠A=80°,则∠BOC 度 3)若∠BOC=100°,则∠A 度。 试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系? 请说明理由
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50° ， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A B C O （2）若∠A=80 ° ,则∠BOC= 度。 （3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。 ∴ ∠BOC=180 °- 1（∠ABC＋ ∠ACB） 2 = 180 °－60 °=120 ° 同理 ∠OCB= ∠OCA= 1 2 ∠ACB=35 ° 解（1）∵点O是△ABC的内心， ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 1 2 试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由． 典型例题
名称 确定方法 图形 性质 A 心 角形三 (1)OA=OB=OC (三角形边中垂线 (2)外心不一定在 外接圆的的交点 角形的内部 圆心) C (1)到三边的 内心 三角形三条 距离相等; (三角形角平分线的 (2)A、OB Oc分别平分 内切圆的交点 ∠BAC、∠ABC、 圆心) ∠ACB; (3)内心在三 B C角形内部
A B C O 名称 确定方法 图形 性质 A B C O 内 心 （三角形 内切圆的 圆心） 三 角 形 三 边 中 垂 线 的交点 三角形三条 角平分线的 交点 (1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 三角形的内部． （1）到三边的 距离相等； （2）OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、 ∠ACB； （3）内心在三 角形内部． 外 心 (三角形 外接圆的 圆心)
例, 直角三角形的内切圆 已知:如图,是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4 D 求0的半径r 0∴F 3+ 42 B E C
直角三角形的内切圆 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r. 1. 2 3 4 5 = + − r = ● A B C O ┗ ┓ D E F 典型例题
直角三角形的内切圆 已知:如图,是Rt△ABG的内切圆,∠G 是直角,三边长分别是a,b,c A 求⊙0的半径r a+b-c 2 B ◆这个结论可叙述为“直角三角形内切圆的 直径 去斜边
这个结论可叙述为“直角三角形内切圆的 直径等于两直角边的和减去斜边”. 直角三角形的内切圆 已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r. A B C ● ┗ ┓ O D E F . 2 a b c r + − =
三角形的内切圆 已知:如图,△ABC的面积S=4cm2, 周长等于10cm 求内切圆⊙0的半径r ◆△ABc的面积=△A0B的面积 +△B0C的面积+△A0C的面积
三角形的内切圆 已知:如图,△ABC的面积S=4cm2 , 周长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r. ● A B C O ┓ D E F 老师提示: △ABC的面积=△AOB的面积 +△BOC的面积+△AOC的面积
三角形的内切圆 已知:如图,△ABC的面积为S 边长分别为a,b,C 求内切圆⊙0的半径r 2S a++c rla+b+c 这个结论可叙述为:三角形的面积等于 乘积的
三角形的内切圆 已知:如图,△ABC的面积为S,三 边长分别为a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r. . 2 a b c S r + + = ● A B C O ┓ D E F 这个结论可叙述为:三角形的面积等于其周 长与内切圆半径乘积的一半. ( ). 2 1 S = r a + b + c