131函数的最大、小值
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基础知识讲解 y B y X O y==x y=-2x+1(x≥-1) 思考1:观察以上两个图像,你能找出它们的最高点吗? 思考2:图像的最高点,反映出函数的哪种特征? 以y=x2-2x为例,函数的图像有一个最高点(-1,1), 即对于任意∈R,都有fx)≤1,我们就说/(x) 有最大值为1
x y o A 2 y x x = − − 2 x y o B y x x = − + − 2 1 1 ( ) 思考1：观察以上两个图像，你能找出它们的最高点吗？ 一、基础知识讲解 以y=-x 2 -2x为例，函数的图像有一个最高点（-1，1）， 即对于任意x∈R，都有 ，我们就说f(x) 有 。 f(x) ≤ 1 最大值为1 思考2：图像的最高点，反映出函数的哪种特征？
基础知识讲解 1、最大值: 般地,设函数y=fx)的定义域为,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的x∈,都有fx)≤M (2)存在x∈I,使得fxo)=M。 那么,我们称M是函数y=x)的最大值。 记为:ynm=x0) B 注:两个条件缺一不可。 思考:函数y=2x+1(x>-1)有最大值? J x+1(x>
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足: (1)对于任意的x∈I，都有f(x) ≤M。 (2)存在x0∈I，使得f(x0 )=M。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。 记为： ymax =f(x0 ) 注：两个条件缺一不可。 1、最大值： x y o B y x x = − + − 2 1 1 ( ) 思考：函数y=-2x+1(x>-1)有最大值？ 一、基础知识讲解
、基础知识讲解 -2-,0123 上图是函数f(x)=x2和fx)=x的图象,现观察比 较两个图象,可以发现:函数x)=x2的图象有一个最 低点(0,0),即对于任意x∈R,都有x)≥0,我们 就说/x)有_最小值为0。而函数x)=x的图象没有最 低点,所以/x)=x没有最小值
上图是函数f(x)=x 2 和 f(x)=x 的图象，现观察比 较两个图象，可以发现：函数f(x)=x 2的图象有一个最 低点(0,0)，即对于任意x∈R，都有 ，我们 就说f(x)有 。而函数f(x)=x的图象没有最 低点，所以f(x)=x没有 . f(x) ≥0 最小值为0 最小值 一、基础知识讲解
基础知识讲解 2、最小值: 思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数 y=fx)的最小值的定义吗? 般地,设函数y=x)的定义域为/,如果存在 实数N满足: (1)对于任意的x∈L,都有f(x)>N (2存在x∈I,使得八xo)=N。 那么,我们称N是函数y=x)的最小值。 记为: ymin-=f(x0
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在 实数N满足： 思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x) 的最小值的定义吗? (1)对于任意的x∈I，都有f(x) ≥N。 (2)存在x0∈I，使得f(x0 )=N。 那么，我们称N是函数 y=f(x)的 最小值。 记为： ymin=f(x0 ) 2、最小值： 一、基础知识讲解
注意: 1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(xp=M 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有(x)≤M (fx)≥M
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）． 注意： 1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0 ) = M；
例题分析 例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂,如果烟花距地面的高度 hm与时间ts之间的关系为h(=-49t2+147t+18,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面 的高度是多少(精确到1m)? 解:作出函数h(t)=49t2+147t18的图象 显然,函数图象的顶点就h 是烟花上升的最高点, 顶点的横坐标就是烟花 爆裂的最佳时刻, 0505 纵坐标就是这时距地面 的高度。 0011522334
例1、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度 hm与时间t s之间的关系为h(t)=- 4.9t2+14.7t+18，那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面 的高度是多少（精确到1m）? 二、例题分析 解： 作出函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象 显然，函数图象的顶点就 是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花 爆裂的最佳时刻， 纵坐标就是这时距地面 的高度
由二次函数的知识,函数h(t)=-49t2+147t18有: 当t 14.7 =1.时,函数有最大值 2×(-4.9) h 4×(-4.9)×18-14.72 ≈29 4×(-4.9) 于是,烟花冲出后1.5s是它 爆裂的最佳时刻,距地面的 高度为29m。 20 0011522334
由二次函数的知识，函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 有: 14 7 1 5 2 4 9 . . ( . ) t = − = − 当 时， 函数有最大值： 2 4 4 9 18 14 7 29 4 4 9 ( . ) . ( . ) h − − = − 于是，烟花冲出后1.5s是它 爆裂的最佳时刻，距地面的 高度为29m
二、倒题分析 例,求函数()x21(xe[2】)的最值 解:设x1,x2是[2,6上的任意两个实数,且x1x2, 2 2(x2-x) 则八x)jx2)=_1x(-(x2-1) 由2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0, f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2) f(r) 是[2,6]上的减函数 因此,Jm=f(2) 2-1 ∫(6) 6-15
解： 设x1，x2是 [2，6]上的任意两个实数，且x1<x2， 则 f(x1 )-f(x2 )= 1 2 2 2 x x 1 1 − − − 2 1 1 2 2( ) ( 1)( 1) x x x x − = − − ( ) 2 2 6 1 2 f x x ( ) , x = − 例 、求函数 的最值。 1 2 2 1 1 2 由2 6 0 1 1 0 − − − x x x x x x 得： ，( )( ) , 1 2 − f x f x ( ) ( ) , 0 1 2 即f x f x ( ) ( ) 2 1 f x( ) x = − 是[2,6]上的减函数. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 2 1 6 1 5 max min , , y f y f = = = = = = − − 因此 二、例题分析