新课引入
x y o x y o x y o 一、新课引入
1.3.2函数的奇偶性 第1课时
请观察下面两个函数图像,并思考: (1)这两个函数图像有什么共同特征吗? (2)计算3),f3);f(-2),f(2);f-1),f1 函数的图象关于y轴对称y=k 这两个点的坐标 (/有什么关系? 当自变量任取两个互为相反数的值时 对应的函数值相等,f(-x)=(x)
函数的图象关于y轴对称 (x,f(x)) (-x,f(-x)) 这两个点的坐标 有什么关系? 请观察下面两个函数图像,并思考: (1)这两个函数图像有什么共同特征吗? (2)计算f(-3),f(3);f(-2),f(2);f(-1),f(1) 当自变量任取两个互为相反数的值时, 对应的函数值相等,f(-x)=f(x)。 y=x2 y=|x|
三、基础知识讲解 1、偶函数的定义: 一般地,如果对于函数∫(x)的定义域内任意一个 x,都有八(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 思考:定义中“任意一个x,都有f(x)=/(x)成立” 说明了什么? 练习1、判断下面两个函数是否是偶函数?并说明理由 (1)f(x)=5x2+3,x∈[3,3; (2)f(x)=5x2+3,x∈[-3,2 说明f-x)与f(x)都有意义,即-x、x必须同时 属于定义域,因此偶函数的定义域关于原点对 称
一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x) 就叫做偶函数。 思考:定义中“任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) 成立” 说明了什么? 说明 f(-x) 与 f(x) 都有意义,即 -x、x 必须同时 属于定义域,因此偶函数的定义域关于原点对 称。 二、基础知识讲解 1、偶函数的定义: 练习1、判断下面两个函数是否是偶函数?并说明理由 (1)f(x)=5x 2+3,x∈[-3,3]; (2)f(x)=5x 2+3,x∈[-3,2];
三、基础知识讲解 图象关于原点对称 3-2 f(- (y’f(x) 2 (,f( 思考:那么关于原点对称的点的坐标之间有什么关 系呢? 当自变量任取两个互为相反数的值时, 对应的函数值互为相反数
图象关于原点对称 思考:那么关于原点对称的点的坐标之间有什么关 系呢? 当自变量任取两个互为相反数的值时, 对应的函数值互为相反数。 (x,f(x)) (-x,f(-x)) 二、基础知识讲解
三、基础知识讲解 2、奇函数的定义: 般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x,都有八-)=x),那么函数fx)就叫做奇函数 由此可见,定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的前提条件。 说明f-x)与fx)都有意义,即、x必须同时属 于定义域,因此奇函数的定义域关于原点对称的
一般地,如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x) 就叫做奇函数。 思考:定义中“任意一个 x,都有f(-x)= - f(x) 成立”说明了什么? 说明 f(-x) 与 f(x) 都有意义,即 -x、x 必须同时属 于定义域,因此奇函数的定义域关于原点对称的。 2、奇函数的定义: 由此可见,定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的前提条件。 二、基础知识讲解
三、基础知识讲解 3、函数奇偶性定义中应注意: (1)函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的, 是函数的整体性质,要与单调性区别开来。 (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 前提条件。 (3)图象的特征: 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于y轴对称
(1) 函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的, 是函数的整体性质,要与单调性区别开来。 (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的 前提条件。 (3)图象的特征: 奇函数的图像关于原点对称; 偶函数的图像关于y轴对称。 3、函数奇偶性定义中应注意: 二、基础知识讲解
判断下列函数的奇偶性 偶函数 非奇非偶函 偶函数 y 5 (2) 非奇非偶函数 数奇函数 =0 是奇函数也是偶函数 5 函数按奇偶性可分为四类
(1) (2) (3) (4) 偶 函 数 非 奇 非 偶 函 数 奇 函 数 非 奇 非 偶 函 数 判断下列函数的奇偶性 o o o o x x x x y y y y 5 y=5 0 y x 偶 函 数 y 0 x y=0 是 奇 函 数 也 是 偶 函 (5) (6) 数 函数按奇偶性可分为四类
三、倒题分析 例1、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数 求证:fx)=0 证明:∵/(x)既是奇函数又是偶函教 八(-x)=f(x),且f-x)=f(x) f(x)=-f(x) 这样的函数有多 ∴2八x)=0,即f(x)=0 少个呢? ∫f(x)只是解析式的特征,若改变函数的定义域, 如f(x)=0,x∈[-,]和f(x)=0,x∈{-2,-1,0,,2,} 显然是不同的函数,但它们都既是奇函数又是 偶函数,所以这样的函数有无数多个
例1、已知函数 f(x) 既是奇函数又是偶函数。 证明:∵f(x) 既是奇函数又是偶函数 ∴f(-x)=f(x),且 f(-x)= -f(x) ∴f(x)= - f(x) ∴2 f(x)=0,即 f(x)=0. 这样的函数有多 少个呢? 求证:f(x)=0 三、例题分析 0 1 1 0 2 1 0 1 2 ( ) ( ) , [ , ] ( ) , { , , , , ,} f x f x x f x x = − = − − 只是解析式的特征,若改变函数的定义域, 如 和 显然是不同的函数,但它们都既是奇函数又是 偶函数,所以这样的函数有无数多个
三、倒题分析 例2、判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x; (2)f(x)=x+ (3)∫(x)=2-|xl;(4)f(x)=√1-x2+√x2-1 解:()∫(x)=x的定义域为R,关于原点对称, 且f(-x)=(-x)=x=f(x) f(x)=x4是偶函数
例2、判断下列函数的奇偶性: 4 2 2 1 1 2 3 2 4 1 1 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) | |; ( ) ( ) f x x f x x x f x x f x x x = = + = − = − + − 三、例题分析 4 解:( ) ( ) 1 f x x = 的定义域为 , 4 = f x x ( ) 是偶函数。 关于原点对称, ( ) 4 且f x x ( ) − = − 4 = = x f x( )