正弦、余弦函数的性质 第三课时 ●●●●●●●
第三课时
>正弦、余弦函数的图象与性质 y=sinx y=cosX 象 3丌 丌 l /3r 2 X 定义域 R R 值域 -1,1 性周期性 T=2π T=2π 奇偶性 奇函数 偶函数 质单调性 2kz-z,2z+x增函数12k-,2kz增函数 1x+元,2元+5所减函数2kz2x+刀减函数 2 2 k∈Z k∈z
图 象 y=sinx y=cosx x o y 2 − 2 3 2 2 -1 1 x y 2 − 2 3 2 2 -1 1 − 性 质 定义域 R R 值 域 [-1，1] [-1，1] 周期性 T=2π T=2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 2 2 2 2 [ , ] k k − + 增函数 3 2 2 2 2 [ , ] k k + + 减函数 [ , ] 2 2 k k − 增函数 [ , ] 2 2 k k + 减函数 o ➢正弦、余弦函数的图象与性质 k Z k Z
最大值1最大值1 最值 及对x=2km+m/2 :kOU 应的 最小值-1 最小值-1 性x的值x=2k-m2 x=2k+ k∈Z 对称轴 对称轴 质对 y=k+/2 y=k丌 称 性对称中心 对称中心 (kπ+x/2,0) ●●●
性质 最值 及对 应的x的值对称性 最大值 1 x=2k π + π/2 最大值 1 x=2k π 最小值 － 1 x=2k π － π/2 最小值 － 1 x=2k π + π 对称轴 x=k π + π/2 对称轴 x=k π 对称中心 （kπ，0） 对称中心 （kπ+π/2 ， 0 ） k Z
三、例题分析 例4、求2沙?兀x∈2x2z调递增区间。 3 解:令z=x+,函数ν=sinz的单调递增区间是 -+2k丌,+2k],k∈z +2k兀≤x+≤+2k兀,k∈z 2 232 57 +4k兀≤x≤-+4kx,k∈z, 由x∈I-2x,2元可知,当k=O时 思考:求函数y=sin( x,x∈-2z,2l的单调 递增区间
1 sin( ), 2 3 4 y x x R = + 例 、求 的单调递增区间。 三、例题分析 1 2 3 : sin z x y z = + = 解 令 ,函数 的单调递增区间是 2 2 2 2 [- , ], k k k Z + + 1 2 2 2 2 3 2 - , k x k k Z 由 + + + 5 4 4 3 3 - , , k x k k Z 得 + + 由x k = [- , ] , 2 2 0 可知 当 时， 1 2 3 5 4 4 3 3 sin( ), [- , ] . = + + + y x x R k k k Z 函数 的单调递增 区间是 x −[ , ] 2 2 1 2 2 2 3 5 3 3 sin( ), [ , ] [- , ]. = + − y x x 函数 的单调递增 区间是 1 2 2 3 2 : y x x sin( - ), [- , ] 数 = 单调 递增区间. 思考 求函 的
三、例题分析 思考、求y=sin( 32~),x∈|-2z,2z的单调递增区间 解:y=sin( 元 X)=-sin(-x 23 令t=x ,函数y=-sin的单调递增区间是 23 化十2k丌,如+2z1,k∈Z 3元 2 由z+2kz≤1x-z≤ 3兀 +2k兀,k∈z 5丌 得 +4k兀≤x≤+4k丌,k∈z 由x∈|-2x,2x可知当k=O时,。。 函数原函数在22上的单调递增区间是,当
1 sin( ), [ 2 , 2 ] 3 2 y x x = − − 思考、求 的单调递增区间。 三、例题分析 1 2 3 : t x y t = − = -sin 解 令 ，函数 的单调递增区间是 3 2 2 2 2 [ , ], + + k k k Z 1 3 2 2 2 2 3 2 + − + k x k k Z , 由 5 11 4 4 3 3 + + k x k k Z , , 得 由x k = [- , ] , 2 2 0 可知 当 时， 5 11 2 2 3 3 −[ , ] [ , ] 函数原函数在 上的单调递增区间是 1 1 3 2 2 3 y x x = − = − − sin( ) sin( )
三、例题分析 ●● 5x兀 例5、已知函数y=sinx,x∈[ l,求函数的值域 66 解:函数y=sinx在—一, 57,x山上是减函数 在-,上是增函数 26 5丌 丌、1 又∵∴∫(--)=-<∫() 6 当x=-《时,yn 当x= 元 时 mIn max 2 函数的值域为 ●●●●●●●
三、例题分析 5 5 sin , [ , ] 6 6 y x x 例 、已知函数 = − ，求函数的值域 5 6 2 sin [ , ] [ , ] 2 6 y x = − − − 解： 函数 在 上是减函数， 在 上是增函数 5 1 1 6 2 6 2 1 1 2 6 2 min max ( ) ( ) ; f f x y x y − = − = = − = − = = 又 当 时， 当 时， 1 1 2 − 函数的值域为[ , ]
三、例题分析 ●● 例5、已知函数y=sinx,x∈ 5兀丌 求函数的值域 66 1-n 取值范围为102∈[-乙,则实数m的 变式1、已知sinx 变式2、已知函数 元 5元兀 y=cos(-r+ ),x∈[ 求函数的最值及对应的x值 当x=时,y 当x 元 时, 6 mn max ●●●●●●●
三、例题分析 5 5 sin , [ , ] 6 6 y x x 例 、已知函数 = − ，求函数的值域 1 5 cos( ), [ , ] 2 2 4 6 6 y x x x 已知函数 = + − ， 求函数的最值及 变 、 对应的 式 值 1- 5 sin = , [ , ] 2 6 6 1 m x x m 已知 − ，则实数 的 取值范围 变 为 式 、 [0,3] 1 1 6 2 min max , ; , ; 2 x y x y 当 = = = − = 时 当 时
三、例题分析 例7、求函数y=c0s2x+2sinx-2的值域 解:y=c0s2x+sinx-2 =-Sinxt2sinx-1 =-(sinx-1)2 ∴-1≤sinx≤1, ∈|-420 函数的值域为[-4,0
1 1 4 0 4 0 sin [ , ] [ , ] x y − − − ， 函数的值域为 2 2 2 2 2 2 1 1 : cos sin sin sin (sin ) y x x x x x = + − = − + − = − − 解 2 例7、求函数y x x = + cos sin - 2 2的值域 三、例题分析
四、针对性练习 1、y=sin(x+)图象的一条对称轴是(C)。 元 元 元 A、x B、x=0C、y=-D、x= 兀 3、y=2sin( x)-cos(x+x)的最小值等于(O A B、-2 1D、-√5 4、函数y=sin(x+)(0≤Q≤π)是R上的偶函数, 则@的值是()C A0B、 ●●●●●●●
1 3 0 2 6 6 y x sin( ) ( ) A x B x C x D x = + = − = = = − 、 图象的一条对称轴是 、 、 、 、 C 四、针对性练习 3 2 3 6 3 2 1 5 y x x sin( ) cos( ) ( ) A B C D = − − + − − − − 、 的最小值等于 、 、 、 、 C 4、函数 y = sin ( x+φ ) （0≤φ≤π）是R上的偶函数， 则φ的值是（ ） 0 4 2 A B C D 、 、 、 、 C
小结 正孩、余孩函教的图象与性质 y-sInx y=coSX 象 3丌 丌3x2xx 丌 2 定义域 R R 值域 -1,1 性周期性 T=2元 T=2π 奇偶性 奇函数 偶函数 质单调性 1kz-z,kx+石增函数2kxz-z,2kz增函数 2 1kz+x,2kz+3减函数2kx,2kz+7减成函数 2 k∈z ook∈z
图 象 y=sinx y=cosx o x y 2 − 2 3 2 2 -1 1 x y 2 − 2 3 2 2 -1 1 − 性 质 定义域 R R 值 域 [-1，1] [-1，1] 周期性 T=2π T=2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 [2 ,2 ] 2 2 k k − + 增函数 3 [2 ,2 ] 2 2 k k + + 减函数 [2 ,2 ] k k − 增函数 [2 ,2 ] k k + 减函数 o 正弦、余弦函数的图象与性质 k Z k Z 小结