1.3三角函数诱导公式 习题课
、复习回顾 三角函数的诱导公式(a可以是任意角) 公式一: 公式二: sin(a+2kr)=sin a sin(T +a)=sina cos(a+2kT)=cosa cos(T +a)=-cos a tan(a +2kr)=tan a(ke Z) tan(+a)=tan a 公式三: 公式四: sin(-a)=-sin a sin(r-a)=sin a cos(a)=cos a coS(I-a)=-cos a tan(-a)=-tan a tan(I-a)=tan a
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan − = − = − = − － 公式二： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan − = − − = − = − 公式三： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan + + = + = − = － 公式四： 公式一： sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos tan( 2 ) tan ) ( + = + = + = k k k k Z 三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角） 一、复习回顾
、复习回顾 三角函数的诱导公式(a可以是任意角) 元 SIn a= cos a SIn +a= cos a 公式五 2 公 式 元 cos SIna 2元2 六cos|+a sIn a 2 通过诱导公式可用角的三角函数值表示 角±a,k∈Z的三角函数值 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限
sin cos 2 cos sin 2 − = − = sin cos 2 cos sin 2 + = + = − 公 式 五 公 式 六 一、复习回顾 三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角） 奇变偶不变，符号看象限 2 k k Z 通过诱导公式可用角 的三角函数值表示 角 ， 的三角函数值 诱导公式的记忆口诀：
二、典例分析 例、已知:f(0)= C0S(丌-6 十 3丌 cos gsIn 2 C0s(27-6) 元 3丌 C0S(丌+6)sin(+6)-sin(-+6) (1)化简f(0);(2)若 31丌 求f()的值。 cos 6 cos 6 解:f(0)= c0s6(-c06-1)-c0s6c06+c0s6 2 1+cos 1-cos8 sin 6
1 3 1 2 2 3 2 2 31 1 2 3 cos( ) ( ) cos [sin( ) ] cos( ) cos( )sin( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) f f f − = + − − − + + − + = − 例 、已知： 化简 ； 若 求 的值。 二、典例分析 1 cos ( ) cos ( cos ) f − = − − 解： cos cos cos cos + − + 1 1 1 1 cos cos = + + − 2 2 sin =
二、典例分析 例、已知:f() C0s(x-6) 十 cos esin( 3兀6) 2 c0s(2丌-6) J()2 元 3丌 SIn 6 cos(+ sin(+e 题结: (1)化简或变形通常先用诱导公式,将三角函数式的角 度统一后,再用同角三角函数关系式,这可避免公式 交错使用时导致的混乱。 (2)求任意角的三角函数值一般先用公式一将角化为 0°~360°内的角,最后化为锐角进行求值。 (3)对一些特殊角的三角函数值要熟记,做到“见角知 值,见值知角
1 3 1 2 2 3 2 2 31 1 2 3 cos( ) ( ) cos [sin( ) ] cos( ) cos( )sin( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) f f f − = + − − − + + − + = − 例 、已知： 化简 ； 若 求 的值。 二、典例分析 31 31 6 2 3 3 sin( ) sin( ) 解： − = − + 2 2 2 2 8 3 3 3 2 ( ) ( sin ) ( ) f = = = − − 5 3 sin = 3 sin = − 2 2 ( ) sin f = ➢题结： (1)化简或变形通常先用诱导公式，将三角函数式的角 度统一后，再用同角三角函数关系式，这可避免公式 交错使用时导致的混乱。 (2)求任意角的三角函数值一般先用公式一将角化为 0°~360°内的角，最后化为锐角进行求值。 (3)对一些特殊角的三角函数值要熟记，做到“见角知 值，见值知角
、例题分析 思考、化简: sin(nn +a)cos(nn -a)tan (n +a) 2n+1 2n+3 ,n∈z cos 丌-a)sin( 2 2x+a)
三、例题分析 sin( )cos( ) tan( ) , 2 1 2 3 cos( )sin( ) 2 2 n n n n Z n n + − + + + − + 思考、化简：
、例题分析 例2、(1)已知cos(+a)=-),求sin(2mx-a)的值; (2)已知sin(2-a)=,求cos( T a)的值 解:(1)∵c0s(π+a)=-c0a=< cos a 2 a是第一或第四象限角 ①若a是第一象限角, xl sin(2nt-a)=-sin a=-1-cos2a= ②若a是第四象限角, 则sin(2m-a)=-sina=1-c0s≈=3 2
例 2、(1)已知 cos(π＋α)＝－ 1 2，求 sin(2π－α)的值； (2)已知 sin(π 3－α)＝ 1 2，求 cos(π 6＋α)的值． 三、例题分析 解：(1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－ 1 2， ∴cos α＝ 1 2， ∴α 是第一或第四象限角． ②若 α 是第四象限角， 则 sin(2π－α)＝－sin α＝ 1－cos2α＝ 3 2 . ①若 α 是第一象限角， 则 sin(2π－α)＝－sin α＝－ 1－cos2α＝－ 3 2
、例题分析 例2、(1)已知cos(+a)=-),求sin(2mx-a)的值; (2)已知sin-a) 求 T 2 coS( a)的值 解:(2)∵(3-a)+(6+a)=2 ∴C0(67a)=cn 2-(3-)=sin(3-a)=2 >题结:给值求值观察分析各角的内在联系,再 利用诱导公式或同角关系式进行求值。角的变换
解： (2)∵( π 3－α)＋( π 6＋α)＝ π 2， ∴cos(π 6＋α)＝cos[ π 2－( π 3－α)]＝sin(π 3－α)＝ 1 2 . 例 2、(1)已知 cos(π＋α)＝－ 1 2，求 sin(2π－α)的值； (2)已知 sin(π 3－α)＝ 1 2，求 cos(π 6＋α)的值． 三、例题分析 ➢题结：给值求值——观察分析各角的内在联系，再 利用诱导公式或同角关系式进行求值。——角的变换
二、典例分析 体验、已知c0s(75+a)=,其中a为第三象限角, 求c0s(105-a)+sin(a-1050)的值。 解:c0s(1050-a)=cos80-(750+a) c0s(75+a) sin(a-105)=sin(75+a)-180]=-sin(75+a) c0s(75+a)=>0,且a为第三象限角, 22 75°+a为第四象限角,∴sin(75+a) 1+2√2 ∴c0s(105-a)+sin(a-105)=
0 0 0 1 75 3 105 105 cos( ) , cos( ) sin( ) + = − + − 体验、已知 其中 为第三象限角， 求 的值。 二、典例分析 0 0 0 解：cos( ) cos[ ( )] 105 180 75 − = − + 0 + 75 为第四象限角， 0 = − + cos( ) 75 1 3 = − 0 0 0 0 sin( ) sin[( ) ] sin( ) − = + − = − + 105 75 180 75 0 1 75 0 3 cos( ) , + = 且为第三象限角， 0 2 2 75 3 + = − sin( ) , 0 0 1 2 2 105 105 3 cos( ) sin( ) + − + − = −
二、典例分析 例3、已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证: (cos(2A+B+C)=-cos A A+B 3丌+C (2)tan =-tan 4 4 题结: 注意隐含的条件:在三角形ABC中,内角A、B、 C满足A+B+C=兀
3 1 2 , , cos( ) cos A B C ABC A B C A + + = − 例 、已知 为 的三个内角，求证： （） 3 2 4 4 ( )tan tan A B C + + = − 二、典例分析 ➢题结： 注意隐含的条件：在三角形ABC中，内角A、B、 C满足 A+B+C=π