142正弦)余弦函数的性质 (第1课时
、复习回顾 1、理解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象 2、能够用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 3、正弦、余弦曲线的关系. y=cosx,x∈Ry y=sinx,x∈R X
一、复习回顾 y = cos x, x∈R y = sin x, x∈R -1 x y 1 3、正弦、余弦曲线的关系. 1、理解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象 2、能够用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
二、基础知识讲解 性质1:定义域,值域 y=cosx,x∈RAy y=sinx,x∈R (1)函数y=sinx的定义域是_R 函数y=cosx的定义域是R (2函数y=sinx的值域是上1,I 函数y=cosx的值域是上1,l
性质1：定义域，值域 1 2 ( ) sin _____ cos _____ ( ) sin _____ cos _____ y x y x y x y x = = = = 函数 的定义域是 函数 的定义域是 函数 的值域是 函数 的值域是 R R [-1,1] [-1,1] 二、基础知识讲解 y = cos x, x∈R y = sin x, x∈R -1 x y 1
二、基础知识讲解 性质2:最大值与最小值 思考:请观察正弦函数的图象,说出当x取何值时, 正弦函数有最值? 正弦曲线 y=sinx,x∈R 22 T 0 T 2兀 4 对于正弦函数y=sinx,x∈R 当x=2kz+2(k∈2)时,函数有最大值,ym=1 当x=2kx+ (k∈Z)时,函数有最小值, mn
思考：请观察正弦函数的图象，说出当x取何值时， 正弦函数有最值? max min y x x R sin , x y x y = = = = = 对于正弦函数 当 时，函数有最大值， 当 时，函数有最小值， 二、基础知识讲解 性质2:最大值与最小值 正弦曲线 x y o 1 -1 -2 - 2 3 4 y x x R = sin , 2 2 k k Z ( ) + 3 2 2 k k Z ( ) + 1 −1
二、基础知识讲解 性质2:最大值与最小值 思考:你能通过正弦函数与余弦函数的关系,猜想出 当x取何值时,余弦函数有最值吗? 余弦曲线 y=cosx,x∈R …2π 2兀 3 对于余弦函数y=c0sx,x∈R 当x=2kx(k∈Z)时,函数有最大值,yn1=1 当x=2kx+(k∈Z)时,函数有最小值,ynmn=-1
思考：你能通过正弦函数与余弦函数的关系，猜想出 当x取何值时，余弦函数有最值吗? -2 - o 2 3 x -1 1 y 余弦曲线 y x x R = cos , max min y x x R cos , x y x y = = = = = 对于余弦函数 当 时，函数有最大值， 当 时，函数有最小值， 2k k Z ( ) 2k k Z + ( ) 1 −1 二、基础知识讲解 性质2:最大值与最小值
三、例题分析 例1、下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取 最大、最小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小 值分别是什么。 (1)y=C0sx+1,x∈R(2)y=-3sin2x,x∈R 解:这两个函数都有最大值、最小值 1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就 是使函数y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合 {x|x=2k,k∈Z} 使函数y=cosx+1,x∈R取得最小值的x的集合, 就是使函数y=c0sx,x∈R取得最小值的x的集 {x|x=(2k+1),k∈Z} 函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2 最小值是1+1-0
例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取 最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小 值分别是什么。 ( ) cos , 1 1 y x x R = + ( ) sin , 2 3 2 y x x R = − 三、例题分析 解：这两个函数都有最大值、最小值. (1)使函数y=cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就 是使函数y=cosx，x ∈R取得最大值的x的集合 { | , } x x k k Z = 2 使函数y=cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合， 就是使函数y=cosx，x ∈R取得最小值的x的集合 { | ( ) , } x x k k Z = + 2 1 函数y=cosx+1，x∈R的最大值是1+1=2； 最小值是-1+1=0
三、例题分析 例1、下列函数有最大、最小值吗?如果有,请写出取 最大、最小值时的自变量x的集合,并说出最大、最小 值分别是什么。 (1)y=c0sx+1,x∈R(2)y=-3sin2x,x∈R 解:(2)令t2x,因为使函数y=-3sint,t∈R取最大值的t的集合是 元 t=-+2k,k∈Z} 由2x=t=-+2k得x +k7,k∈Z 4 所以使函数y=-3sin2x,x∈R取最大值的x的集合是 rlx +k丌,k∈Z} 4 同理,使函数=-3sin2x,x∈R取最小值的x的集合是 {x|x=2+k,k∈Z} 4 函数y=-3sin2x,x∈R取最大值是3,最小值是3
同理，使函数 取最小值的x的集合是 所以使函数 取最大值的x的集合是 解：(2)令t=2x,因为使函数 y t t R = − 3sin , 取最大值的t的集合是 2 2 { | , } t t k k Z = − + 2 2 2 x t k 由 = = − + 4 x k k Z , 得 = − + y x x R = − 3 2 sin , 4 { | , } x x k k Z = − + y x x R = − 3 2 sin , 4 { | , } x x k k Z = + 函数 y x x R = − 3 2 sin , 取最大值是3，最小值是-3。 例1、下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取 最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小 值分别是什么。 ( ) cos , 1 1 y x x R = + ( ) sin , 2 3 2 y x x R = − 三、例题分析
二、基础知识讲解 性质3:周期性 正弦曲线 y=sinx,x∈R T T T T 对任意c∈R,都有sin(x+2x)=sinx 余弦曲线 J=cosx,x∈R D■ 2I 237兀 SssEEEEESSEEEEE 对任意x∈R,都有cos(x+2x)=cosx
正弦曲线 x y o 1 -1 -2 - 2 3 4 y x x R = sin , -2 - o 2 3 x -1 1 y 余弦曲线 y x x R = cos , 二、基础知识讲解 性质3：周期性 对任意x R x x + = , sin( ) sin 都有 2 对任意x R x x + = , cos( ) cos 都有 2
二、基础知识讲解 性质3:周期性 周期函数的定义: 对于函数y=x),如果存在一个常数T≠0,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 f(r+t)=f(r) 那么函数y=fx)就叫做周期函数。 非零常数T叫做这个函数的周期 最小正周期: 如果在周期函数(x)的所有周期中存在一个最小 的正数,那么这个最小的正数就叫做最小正周期
周期函数的定义： 对于函数y=f(x)，如果存在一个常数 T≠0,使得当x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T) = f(x) 那么函数y=f(x)就叫做周期函数。 非零常数T 叫做这个函数的周期. 最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小的正数就叫做最小正周期。 二、基础知识讲解 性质3：周期性
二、基础知识讲解 性质3:周期性 正弦曲线 y=sinx,x∈R T T 3兀 4兀 J 余弦曲线 y=cosx,x∈R 2 T T 3元 所以函数y=sinx,y=c0sx是周期函数, 2kz(k∈Z,k≠0)是它的周期,最小的正周期是2兀
2 0 2 y x y x k k Z k , sin , cos , ( , ) , . = = 所以 函数 是周期函数 是它的周期 最小的正周期是 二、基础知识讲解 性质3：周期性 正弦曲线 x y o 1 -1 -2 - 2 3 4 y x x R = sin , -2 - o 2 3 x -1 1 y 余弦曲线 y x x R = cos