223向量数乘握 及基几何义
一、复习回顾 1、向量加法 平行四边形法则 三角形法则C BI 起点相 首尾相接 a a+b b b b B 2、向量减法三角形法则 B 指连同 b 被终起 BA=a-b减点点 b
1、向量加法 a A b B C a b + a a A b B b O C 首 a b + 尾 相 接 起 点 相 同 b a b B a A BA a b = − O 同 起 点 连 终 点 指 被 减 平行四边形法则 2、向量减法三角形法则 一、复习回顾 三角形法则
课前练习 1、已知a=(AB+CD)-(CB+AD,b是任一非零向量, 则在下列结论中,正确的是(C) (1)a//b;(2)a+b=;(3)a+b=b;(4)|a+b|a|+|b|; (5)a+ba|+|b|; A.①②B.①③ C.①③⑤D.③④⑤ 2、已知一点0到平行四边形ABCD的3个顶点 ,B,C的向量分别为a,b,c,则向量OD等于(B) A、a+b+cB、a-b+c C、a+b-cD、a-b-c
2 3 + + − + + − − − , , , , , ( ) o ABCD A B C a b c OD A a b c B a b c C a b c D a b c 、已知一点 到平行四边形 的 个顶点 的向量分别为 则向量 等于 、 、 、 、 B 课前练习 1 2 3 4 5 = + − + + = + = + + + = + 1 ( ) ( ), ( ) / / ;( ) ;( ) ;( ) | | | | | |; ( ) | | | | | |; a AB CD CB AD b a b a b a a b b a b a b a b a b 、已知 是任一非零向量， 则在下列结论中，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③⑤ D. ③④⑤ C
二、实际背景 物体作匀速直线运动,一秒钟的位移对 应向量a那么在同方向上3秒的位移对应的向量 用3表示,试画出该向量,看看它们有何关系? Ba
3 3 a a 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对 应向量 ，那么在同方向上 秒的位移对应的向量 用 表示，试画出该向量，看看它们有何关系？ a 3a 二、实际背景
、基础知识讲解 思考:已知非零向量a,试作出a++和 (-a)+(-a)+(-a),你能说明它们的几何意义吗? 一 记作3a A OC=0A+AB+BC=a+ata 记作-3a M Q PN=P0+0M+MN=(-0+(a+(a
( ) ( ) ( ) a a a a aaa + + − + − + − 已知非零向量 ，试作出 和 ，你能说明它们的几何 思考： 意义吗？ 三、基础知识讲解 a O A B C N M Q P −a OC OA AB BC a a a = + + = + + PN PQ QM MN a a a = + + = − + − + − （ ）（ ）（ ） 记作 -3a 记作 3a a a a −a −a
、基础知识讲解 1、向量数乘的定义: 般地,我们规定实数与向量c积是一个向量 这种运算叫做向量的数乘,记作,宿的长度和方 向规定如下: OnaNia; (2当4>0时,A的方向与的方向相同; 当随练 课本P90练习2
一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方 向规定如下： a a ( ) | | | || |; 1 a a = 2 0 0 ( ) a a a a 当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。 特别的，当 = 0时，a = 0. 1、向量数乘的定义： ➢随练 课本P.90 练习2 三、基础知识讲解
、基础知识讲解 思考:根据定义,求作向量3(2a)和(6a)(a≠0),并进行 比较,看看它们有何关系? 3(2a) OA B 6a 3(2a)=6
a 3 2( ) a 3 2 6 ( ) a a = 根据定义, ( ) ( )( ) , 求作向量3 2 6 0 a a a 和 并进行 比较，看看它们 思考： 有何关系？ 6a O A B C D M N 三、基础知识讲解
、基础知识讲解 思考:已知a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并进行 比较,看看它们有何关系? D b 2a+2b a+b B 2b 2(d+b)=2d+2b
a b a b + 2 2 a b + 2b 2 2 2 ( ) a b a b + = + 已知a b a b a b , , ( ) , 求作向量2 2 2 + + 和 并进行 比较，看看它们 思考： 有何关系？ O A B C D 三、基础知识讲解
、基础知识讲解 2、向量数乘运算律:设,为实数,那么 ()(a)=()a;(2)(x+)a=Aa+u; (3)(a+b)=Aa+b 特别的,(-4)a=-(a)=4(-a),(a-b)=m-b 3、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 算。对于任意向量a,b,以及任意实数,1 2,恒有 (A1a士2a)=12a
3、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运 算。对于任意向量 ，以及任意实数λ，μ 1， μ2，恒有 设 λ，μ 为实数，那么 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ; ( )( ) ; ( ) ( ) . a a a a a a b a b = + = + + = + 特别的，( ) ( ) ( ) , ( ) . − = − = − − = − a a a a b a b 2、向量数乘运算律： 三、基础知识讲解 a b, 1 2 1 2 ( ) . a a a a =
、例题分析 例1、计算: (1)(-3)×4a;(2)3(a+b)-2(-b)-a (3)(2a+3b-c)-(3-2b+c) 解:()原式=(-3×4)a=-12a (2)原式=3a+3b-2a+2b-a=5b (3)原式=2a+3b-c-3+2b-c=-a+5b-2c 练习:(1)2(2a+6b-3c)-3(-3+4b-2c);13a (2)3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,求x x=-30+4b
1 1 3 4 2 3 2 3 2 3 3 2 ( )( ) ; ( ) ( ) ( ) ; ( )( ) ( ). a a b a b a a b c a b c − + − − − + − − − + 例 、计算： 三、例题分析 练习：( ) ) ( ); 1 2 2 6 3 3 3 4 2 （ a b c a b c + − − − + − （2 3 2 2 4 0 ）( ) ( ) ( ) , . x a x a x a b x + + − − − + = 求 解： ( ) ( ) 1 3 4 12 原式 = − = − a a ( ) 2 3 3 2 2 5 原式 = + − + − = a b a b a b ( ) 3 2 3 3 2 5 2 原式 = + − − + − = − + − a b c a b c a b c 13a = − + x a b 3 4