2.3.23平面向量的坐标表示 及坐标运算
2.3.2-3 平面向量的坐标表示 及坐标运算
、知识回顾 1、平面向量基本定理 如果e2,是同一平面内的两个不共线的向量,那么 对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 λ、λ2,可使a=1e1+2e2 我们把不共线向量e、e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底
1 2 1 2 e e a 如果 、是同一平面内的两个 线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 不共 我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底 1 e 2 e 1、平面向量基本定理 1 1 2 2 a e e = + 一、知识回顾
、知识回顾 2、两向量的夹角 0°≤≤180°)B 已知两个非零向量a和b如图: 作OA=a,OB=b 同一起点BA 则∠AOB=b叫做向量a与b的夹角。O 注:(1)0=0时,与向。=180时,与硕向 (2)0=90时,则a与垂直,记作a⊥b 3、正交基:两个互相垂直的非零向量所构成的基底 4、平面向量的正交分解 把一个向量在正交基下分解为两个互相垂直的向量, 叫作把向量正交分解
已知两个非零向量a b 和 ，如图： 注：( )1 0 180 ＝ 时，a b a b 与 同向。 ＝ 时，与 反向． ( ) . 2 90 ＝ 时，则a b a b 与 垂直，记作 ⊥ 2、两向量的夹角 作OA a OB b = = ， ， 叫做向量 a b 与 的夹角。 O a A b B ( 0 180 ) 则 = AOB 同一起点 把一个向量在正交基下分解为两个互相垂直的向量， 叫作把向量正交分解 4、平面向量的正交分解 3、正交基：两个互相垂直的非零向量所构成的基底 一、知识回顾
课前练习 1、已知向量e,e2不共线,实数x、p满足(3x-4y)l +(2x-3y)2=6e1+3e2,则xy的值等于(A) A、3B,3C、0D、2 2、已知a,b不共线,且c=a+12b(,42∈R), 若b与c共线,则A1=0
1、已知向量 不共线，实数x、y满足(3x-4y) +(2x-3y) =6 +3 ，则 x-y 的值等于( ) A、3 B、-3 C、0 D、2 1 2 e e, 1 e 2 e 1 e 2 e 1 2 1 2 1 2 = + = a b c a b R , ( ) b c 、已知 不共线，且 ， ， 若 与 共线，则 A 0 课前练习
二、例题分析 例1:已知平面内两个互相垂直的单位向量j。 求作:(1响量3+4j;(2)向量-2i+3j。 (-2,3)\3 y43 OC=3i+41 O o i OD=-2i+3 2 Oi1
: ) 1 3 4 2 2 3 1 ( ) ( i j i j i j + + 已知平面内两个互相垂直的单位向量 、 。 求作 向量 ； 向量 例 ： － 。 i j -2i 3 j 3i 4 j D C O O (-2,3) (3,4) OC i j = + 3 4 OD i j =－2 3 + O 4 y 3 -2 i 1 x j i j -i j 二、例题分析
、基础知识讲解 1、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系内 (1)取基底: 分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量ij作为基底 (2)实数对: (x,y) 任作一向量(a1,由平面向量基 本定理,有且只有一对实数x,y, 使得a=x+y,我们把(x,y) 叫做向量的坐标,记作a=(x,y) 其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标
( , ) x y x y 任作一向量 ，由平面向量基 本定理，有且只有一对实数 ， ， 使得 ，我们把 叫做向量 的坐标，记作 x y o j i 1、平面向量的坐标表示： x y i j 分别取与 轴、 轴 的两个单位向量 、 作为基底 (1)取基底： (2)实数对： OAOA 在平面直角坐标系内 A (x, y) y j xi a y j xi OA x y = ( , ) 方向相同 OA xi y j = + a a xi y j = + a a x y = ( , ) 其中x y x y 、 分别叫做 在 轴、 轴上的坐标 三、基础知识讲解 a
、基础知识讲解 1、平面向量的坐标表示: 思考:(1)a=(x,y),则a的终点 坐标一定就是点(x,y)? (2)如何理解a=(x,y)? 判断正误: (x,y) 若a=(3,4),则下列说法正确的是:0 (1)d的终点坐标为3,4);错 (2)必是以O为起点,A(3,4)为终点的向量错 (3)与以O为起点,4(3,4)为终点的向量相等对
x y o j i 1、平面向量的坐标表示： A (x, y) y j xi a y j xi 三、基础知识讲解 (1) ( , ) , ( , ) (2) ( , ) a x y a x y a x y = = 则 的终点 坐标一定就是点 ？ 思 如何理解 ？ 考： (3,4), (1) (3,4); (2) (3,4) (3) (3,4) a a a O A a O A 若 = 则下列说法正确的是： 的终点坐标为 必是以 为起点， 为终点的向量 与以 为起点， 判断正 为终点的向量相 ： 等 误 对 错 错
、基础知识讲解 1、平面向量的坐标表示: 如图:O4=a=xi+yj 则4的坐标(x,y)就是d的坐标 A(,y) 向量←一对应点4的坐标(x)j 注:i=(0),j=(O,),0=(0,0) 设a=(x,y1),b=(x,y2) =b V1=y 练习:设a=(3,4,b=(x-y,2y),若a=b,则x=5,y=2
x y o (x, y) i j 如图：OA a = a 则A x y a 的坐标( , )就是 的坐标 a b = 一一对应 点A的坐标(x,y) 1 1 2 2 设a x y b x y = = ( , ), ( , ) = + xi y j 注：i j = = = (1 0 0 1 0 0 0 ，)， ( ，)， ( ，) A 1 2 1 2 x x y y = = 练习:设a b x y y a b x y = = = = = ( , ), ( - , ) __, __ . 3 4 2 ,若 ,则 5 2 a x y = ( , ） 向量a 1、平面向量的坐标表示： 三、基础知识讲解
二、例题分析 例2、如图,分别用基底i,漆示向量abc,d 并求出它们的坐标。 解:如图可知 =A41+AA2=2i+3j b =(2,3) A 同理 b=-2i+3j=(-2,3); O C=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3)
2 如图，分别用基底i j a b c d ，表示向量 ，，， ， 并求出它 例 、 们的坐标。 解：如图可知 1 2 a AA AA i j = + = + 2 3 = a ( , ) 2 3 同理 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 ( , ); ( , ); ( , ). b i j c i j d i j = − + = − = − − = − − = − = − A A1 A2 O x y b a c d 二、例题分析
三、基础知识讲解 2、平面向量的坐标运算: 思考:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出向量 a+b,a-b,Aa的坐标吗? 两个向量和(差 解:a+b=xi+P)+i+D的坐标等于这两 向量相 =x2+v1J++y2J 的和(差) (x+x2)i+(y1+y2)j 甲:a+b=(x1+x2,y1+y2)实数与向量的积 同理可得:a-b(x1-x2,y1-y2)的坐标等于这个 实数乘原来的向 an=(xi+y1D=xi+4方量的相应坐标 即:a=(x1,y1)
1 1 2 2 ( , ) ( , ) , a x y b x y a b a b a = + − 思考 已知 ＝ ， ，你能得出向量 ， 的坐标吗？ ： 解：a b + 1 1 2 2 = + + + （x i y j x i y j ）（ ） 1 2 1 2 = + + + （x x i y y j ） （ ） 1 1 2 2 = + + + x i y j x i y j 1 2 1 2 a b x x y y + + + ＝( , ) 同理可得： 1 1 1 1 a x i y j x i y j = + = + （ ） ， 即： 1 2 1 2 a b x x y y − ＝( - , - ) 三、基础知识讲解 1 1 即： a x y = ( , ) 两个向量和（差） 的坐标等于这两 个向量相应坐标 的和（差） 实数与向量的积 的坐标等于这个 实数乘原来的向 量的相应坐标． 2、平面向量的坐标运算：