2.4.2平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
复习回顾 l、数量积的定义 a·b=|a‖b|cos6 2、向量的模 3、向量的夹角 ·b cos a‖b 4、向量垂直的判定 ⊥b今→a·b=0
1、数量积的定义 a b = 一、复习回顾 | || | cos a b 2、向量的模 | | a a a = 3、向量的夹角 cos , | || | a b a b a b = 4、向量垂直的判定 a b a b ⊥ = 0
、基础知识讲解 问题:在直角坐标系中,已知两个非零向量a=(x,y) b=(x,y2),如何用向量与的坐标表示ab2 Ⅱ=x1i+y1j,b=x2i+y2j B(x2,2) ∴·b=(x1i+yj·(x2i+y2j) 19J1 Xx l +lyi.j+xv,L.tviy2J i·i=1,j·j=l,讠j=ji=0 a·b=xx2+y1y2 两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积的和
O y x ( ) ( ) 1 1 2 2 , , a x y b x y a b a b = = 在直角坐标系中，已知两个非零向量 ， ，如何用 问题： 向量 与 的坐标表示 ？ B x y ( 2 2 , ) A x y ( 1 1 , ) i j b a 二、基础知识讲解 1 1 2 2 1 1 2 2 • • , ( ) ( ) a x i y j b x i y j a b x i y j x i y j = + = + = + + 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 = + + + x x i x y i j x y i j y y j • • i i j j i j j i • = = = = 1 1 0 , • ，• • 1 2 1 2 = + a b x x y y • 两个向量的数量积等于它们的对应坐标乘积的和
、基础知识讲解 已知非零向量a=(x,y)=(x2),=0 l、数量积的定义 a·b=|a|!b|cos6 ·b=x12+1y2 随堂练习 已知向量a=(1,3),b=(2,5),则 17;(a+b)·(2a-b)=8
1、数量积的定义 a b = | || | cos a b 二、基础知识讲解 已知非零向量a x y b x y a b = = = ( 1 1 2 2 , , )， ( )， 与 1 2 1 2 a b x x y y • = + 随堂练习 1 3 2 5 2 1 ( , ), ( , ), ;( ) ( ) . a b a b a b a b = = = + − = 、已知向量 则 17 8
、基础知识讲解 已知非零向量n=(x,y)b=(x2,y),夹角为 l、数量积的定义 a·b=|a|!b|cos6 a·b=xx2+yy2 2、向量的模 lal=vxi+y a.a特别的,若4(x,y),B(x2,y2),则 ABF=√(x2-x)2+(J2-n)2 随堂练习 2、已知向量AB=(,3),AC=(2,5,则BCH5
1、数量积的定义 a b = | || | cos a b 2、向量的模 | | a a a = 二、基础知识讲解 已知非零向量a x y b x y = = ( 1 1 2 2 , , )， ( )，夹角为 1 2 1 2 a b x x y y • = +2 2 1 1 | | a x y = + 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( , ), ( , ), | | ( ) ( ) A x y B x y AB x x y y = − + − 特别的，若 则 随堂练习 2 ( , ), ( , ), | | ; 、已知向量AB AC BC = = = 1 3 2 5 则 5
、基础知识讲解 已知非零向量a=(x,y)=(x2),=0 l、数量积的定义 a·b=|a|!b|cos6 a·b=xx2+yy2 2、向量的模 a=√x2+y 2 a-a 特别的,若A(x,y),B(x2,y2),则 3、向量的夹角 AB|=√(x2-x1)2+(y2-y) b rx2,y2 coS = cOSU= a‖!b 2 2 +y1 +y2
1、数量积的定义 a b = | || | cos a b 2、向量的模 | | a a a = 3、向量的夹角 cos , | || | a b a b a b = 二、基础知识讲解 已知非零向量a x y b x y a b = = = ( 1 1 2 2 , , )， ( )， 与 1 2 1 2 a b x x y y • = + 2 2 1 1 | | a x y = + 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y + = + + 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ( , ), ( , ), | | ( ) ( ) A x y B x y AB x x y y = − + − 特别的，若 则
基础知识讲解 3、向量的夹角 b x,, viy2 cos ab>= cos 6 ‖b x,2+y2Vx2+y2 随堂练习 3、已知向量a=(,1),2a+b=(4,2),则与 元 夹角为
随堂练习 3 ( , ), ( , ), 1 1 2 4 2 ; 、已知向量a a b a b = + = 则 与 的 夹角为 3、向量的夹角 cos , | || | a b a b a b = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y + = + + 二、基础知识讲解 4
三、例题分析 例1、已知△AOB中,0为原点,A(2,2),B(,1) 且∠ABO是钝角,求孔的取值范围 分析:∠ABO是钝角分BO·BA<0且不共线
三、例题分析 1 AOB ( , ), ( , ) A B 2 2 1 ABO 例 、已知 中，O为原点， 且 是钝角，求 的取值范围 分析: ABO BO BA 是钝角 0且不共线
、基础知识讲解 已知非零向量a=(x,y)=(x2),=0 l、数量积的定义 a·b=|a|!b|cos6 a·b=x1x2+yy2 2、向量的模 a-a aF=√x2+y2 3、向量的夹角 b rx2,y2 cOS cOSU= a‖!b 2 2 +y1 +y2 4、向量垂直的判定 a⊥b冷d·b=0 a⊥b分→x1+x2,=0
1、数量积的定义 a b = | || | cos a b 2、向量的模 | | a a a = 3、向量的夹角 cos , | || | a b a b a b = 4、向量垂直的判定 a b a b ⊥ = 0 二、基础知识讲解 已知非零向量a x y b x y a b = = = ( 1 1 2 2 , , )， ( )， 与 1 2 1 2 a b x x y y • = +2 2 1 1 | | a x y = + 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y + = + + 1 1 2 2 a b x y x y ⊥ + = 0
三、例题分析 例2、已知A(1、2),B(2,3),C(2,5),试 判断AABC的形状,并给出证明。 证明:AB=(2-1,3-2)=(1,1) AC=(-2-1,5-2)=(-3,3) B ∵ABAC=1×(-3)+1×3=0 A AB⊥AC △ABC是直角三角形 注:两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角● 线垂直等
例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。 证明: ∴ΔABC是直角三角形 注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。 A B C 如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。 O x y AB = − − = (2 1 3 2 1 1 , , ) ( ) AC = − − − = − ( 2 1 5 2 3 3 , , ) ( ) AB AC = − + = 1 3 1 3 0 ( ) ⊥ AB AC 三、例题分析