+(= 3.2简单的 角恒等变换 www.yoyocci.com
3.2简单的三 角恒等变换 （2）
、例题分析 例:求函数(x)=sin2x+√3cos2的周期、最值 解:∫(x)=sin2x+√3cos2x 2 sin (2x 3 函数(x)的周期为z,最大值为2,最小值为-2
例1：求函数f x x x ( ) sin2 3 cos2 = + 的周期、最值 解： f x x x ( ) sin2 3 cos = + 2 2sin( ) 2 3 x = + 一、例题分析 函数f x( ) 2 -2 的周期为，最大值为 ，最小值为
例题分析 变式:已知函数f(x)=(sinx+c0sx)2+2cos2x (1)求f(x)的递减区间;(2)求f(x)的最大值和最小值 分析:考虑式子中是关于cox和sinx的二次式,故可 考虑降幂升角,容易得 f(r)=sin 2x cos 2x+2 =√2sin(2x+ 元—4 )+2 结合三角函数的图像和性质可求得结果
2 2 2 1 2 ( ) (sin cos ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) f x x x x f x f x 已知函数 = + + 求 的递减区间； 求 的最大值 变式： 和最小值 分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得 f x x x ( ) sin cos = + + 2 2 2 2 2 2 4 sin( ) x = + + 结合三角函数的图像和性质可求得结果 一、例题分析
二、例题分析 例2、已知a=(5√3c0x,cosx),b=(sinx,2cosx), 函数f(x)=mb+b (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当≤x≤时,求函数f(x)的值域
2 5 3 2 1 2 6 2 ( cos ,cos ) (sin , cos ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 2 ) a x x b x x f x a b b f x x f x = = = + 已知 ， ， 函数 求函数 的最小正周期； 当 时， 例 、 求函数 的值域。 二、例题分析
例2、已知a=(5√3c0sx,c0sx),b=(sinx,2cosx 函数f(x)=ab+b (1)求函数f(x)的最小正周期; 解:(1)∫(x)=a·b+b 5 3 sin x cosx+2cos2x+sin2x+4cos2x 53 sin 2x +-(1+cos 2x)+1 2 √3 5(sin 2x +-cos 2x)+ 2 =5sin(2x+-)+ 62 所以函数f(x)最小正周期是T=
5 3 5 2 1 2 1 2 2 3 1 7 5 2 2 2 2 2 sin ( cos ) ( sin cos ) x x x x = + + + = + + 2 2 2 2 5 3 2 4 ( ) sin cos cos sin cos f x a b b x x x x x = + = + + + 解:(1) 7 5 2 6 2 sin( ) x = + + 所以函数f x T ( )的最小正周期是 = 2 5 3 2 1 ( cos ,cos ) (sin , cos ) ( ) ( ) ( 2 ) a x x b x x f x a b b f x = = = + 例 、已知 ， ， 函数 求函数 的最小正周期；
例2、已知a=(5√3cosx,cosx),b=(sinx,2cosx) 函数f(x)=ab+b (2)当≤x≤时,求函数f(x)的值域。 解:(2)当≤x≤时,2x+∈(7z 元 626 ∴sin(2x+ 化)∈(-,故f(x)et 函数f(x)的值域为 思考:(1)f(x)的图象是由y=sin的图象经过怎样 的变换得到的? (2)对称轴如何求?(3)求(x)的单调区间
2 6 2 ( ) x 解： 当 时， 7 2 6 2 6 x ( , ) + 17 1 2 故f x( ) ( , ) 1 2 1 6 2 sin( ) ( , ) x + − ， 17 1 2 函数f x( ) ( , ) 的值域为 。 思考：（1）f(x)的图象是由y=sinx的图象经过怎样 的变换得到的？ （2）对称轴如何求？ （3）求f(x)的单调区间. 2 5 3 2 2 6 2 ( cos ,cos ) (sin , cos ) ( ) ( ) 2 ( ) a x x b x x f x a b b x f x = = = + 已知 ， ， 函数 例 当 时，求函数 、 的值域
例题分析 例3、如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为60°的 扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=a,求当α取何值时,矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积 分析:在求当a取何值时,矩形ABCD C 的面积S最大,可分二步进行 (1)找出S与之间的函数关系; OcA B P (2)由得出的函数关系求S的最大值
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的 扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？ 并求出这个最大面积. 分析：在求当α取何值时，矩形ABCD 的面积S最大，可分二步进行 (1)找出S与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值。 一、例题分析 Q C O A B P D α
例题分析 例3、如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为60°的 扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=a,求当α取何值时,矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积 解:在Rt△OBC中,OB=c0Sa,BC=sina C 在ROAD中,D14=tan6°= OA 于是O4=DA4=BC= sin o(N B P 3 √3 ∴.AB=OB-04=c0sa SIn ac
解：在Rt OBC OB BC 中, cos , sin = = 3 3 3 3 3 3 于是OA DA BC = = = sin 例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的 扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？ 并求出这个最大面积. 一、例题分析 , tan60 3 DA Rt OAD OA 在 中 = = 3 3 = − = − AB OB OA cos sin Q C O A B P D α
例题分析 例3、如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为60°的 扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=a,求当α取何值时,矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积 设矩形ABCD的面积为S,则 C S=AB·BC=(cosa sin a sin a √3 3 sIn a cos a sIn a OcA B P smn∠a (-cos 2a)=-sin 2a += 2a 6 6 丌、√3 (osin 2a+cos 2a) sin(2a+-)→ 6
设矩形ABCD S 的面积为 ，则 1 3 3 2 2 2 6 6 = + − sin cos 例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的 扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？ 并求出这个最大面积. 一、例题分析 Q C O A B P D 3 2 α 3 = − sin cos sin 3 3 S AB BC = = − (cos sin )sin 1 3 2 1 2 2 6 = − − sin ( cos ) 1 3 1 3 2 2 3 2 2 6 = + − ( sin cos ) 1 3 2 3 6 6 sin( ) = + −
例题分析 例3、如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为60°的 扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=a,求当α取何值时,矩形ABCD的面积最大? 并求出这个最大面积 由0<a<,得x<2oz5 C 36 66 所以当2a+ 元元 ,即a= 时 A B P 最大 因此,当a=z时,矩形ABCD面积最大,最大面积为3 6
3 6 6 , , , . ABCD 因此 当 = 时 矩形 的面积最大 最大面积为 例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的 扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。 ∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？ 并求出这个最大面积. 一、例题分析 Q C O A B P D α 5 0 2 3 6 6 6 , , 由 + 得 2 6 2 6 1 3 3 3 6 6 , S . + = = 最大 =−= 所以当 即 时