普通高中课程标准实验教科书 数学 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 ③人水点成社
本书部分数学符号 sIn 7 x的正弦 cos. r x的余弦 tan T x的正切 sIia sinx的平方 向量a AB 向量AB a 向量a的模(或长度) AB I 向量AB的模(或长度) 0 零向量 单位向量 平面直角坐标系中x轴,y轴方向的单位向量 a∥b 向量a与向量b平行(共线) b 向量a与向量b垂直 a-b 向量a与b的和 a 向量a与b的差 A 实数λ与向量a的积 a 向量a与b的数量积
目录 第一章三角函数…………………… 1.1任意角和弧度制 2 1.2任意角的三角函数…………………1 阅读与思考三角学与天文学……………17 13三角函数的诱导公式 23 1.4三角函数的图象与性质……30 探究与发现函数y=Asin(ax+9)及 函数y=Acos(ax+g)的周期……86 探究与发现利用单位圆中的三角函数线研完 正弦函数、余弦函数的性质……………41 信息技术应用利用正切线画函数 y=mx∈(22)的图象-""48 1.5函数y=Asin(ax+9)的图象…………49 阅读与思考振幅、周期、频率、相位…………56 1.6三角画数模型的简单应用60
小结 67 复习参考题69 第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念…74 阅读与思考向量及向量符号的由来…………78 2.2平面向量的线性运算…… 80 2.3平面向量的基本定理及坐标表示…………93 2.4平面向量的数量积……………………………103 2.5平面向量应用举例… 阅读与思考向量的运算(运算律)与图形 性质……………………………114 小结…………………………………16 复习参考题…………………………………118 第三章三角恒等变换………………123 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式……124 信息技术应用利用信息技术制作 三角函数表……………………136 3.2简单的三角恒等变换……………………139 小结………………………………………145 复习参考题………………………………146
B 上弦月 初七、初八 凸月 地球 凸月 大到宇宙天体的运行, 二二十三 小到质点的运动,现实世界 中具有周期性变化的现象无 处不在, 下弦月 D
第一章 三角函数 任意角和弧度制 蛾眉月 ③⑤心 任意角的三角函数 三角函数的诱导公式 三角函数的图象与性质 函数y= A sin(or+q)的图象 三角函数模型的简单应用 A 初 新月 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复 (朔) 周而复始的现象,这种变化规律称为周期性,例如 地球自转引起的昼夜交替文化和公转引起的四季交 替变化;月亮圆缺变化的周期性,即朔一上弦一望 一下弦一朔:潮汐变化的周期性,即海水在月球和 太阳引力作用下发生的周期性涨落现象;物体做匀 速圆周运动时位置变化的周期性;做简谐运动的物 体的位移变化的周期性;交变电流变化的周期性 等等.如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢 我们知道,函数是刻画客观世界变化规律的数 学模型,在数学1中,我们学习了指数函数、对数 蛾眉月 函数等,知道这些函数可以用来刻画现实问题中某 些类型的变化规律,那么,在数学中又如何刻画客 观世界中的周期性变化规律呢?本章要学习的三角 函数就是刻画这种变化规律的数学模型 三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些 特有的性质?在解决具有周期性变化规律的问题中 到底能发挥哪些作用?下面我们就来研究这些问题
11金任项度 111任意角 考 你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准后,分针旋转了多少度? 我们知道,角可以看成平面内一条射线绕着端点从 个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条 射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到 1终止位置OB,形成一个角a,射线OA、OB分别是角a的 1始边和终边 过去我们研究过0°~360°范围的角,但现 图1.1-1 实中还有其他角.例如,体操中有“转体 1720”(即“转体2周”),“转体1080”(即 1“转体3周”)这样的动作名称,而旋转的方向 也有顺时针与逆时针的不同;又如,图1.1-2 是两个齿轮旋转的示意图,被动轮随着主动轮 1的旋转而旋转.而且被动轮与主动轮有相反的 旋转方向.这样,OA绕O旋转所成的角与 O'B绕O旋转所成的角就会有不同的方向.因 被动轮 此,要准确地描述这些现象,不仅要知道角形 成的结果,而且要知道角形成的过程,即必须 图1.1-2 既要知道旋转量,又要知道旋转方向.这就需要对角的概念进行推广 我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫做正角( positive angle),按顺时针方向 旋转形成的角叫做负角( negative angle).如果一条射线没有作任何旋转,我们称它 哪2
第一草三用函数 第一章 形成了一个零角( zero angle).这样,零角的始边与终边重合.如 果a0是零角,那么a=0 0为了简单 图1131)中的角是一个正角,它等于730;图1132)中,正起见,在不引起 角a=210°·负角P=-150,y=-6°正常情况下,如果以零时为“商a” 起始位置,那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角 可以简记成“a”, =217 手表快了1.25 小时,只 需将分针旋持一3870°(或 4509)就可以将它校准 图1.13 这样,我们就把角的概念推广到了任意角( any angle), 包括正角、负角和零角 你能说说在直角坐 标系内讨论角的好 便,我们使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负毕?,的到 轴重合.那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第 几象限角( quadrant angle).例如,图1.1-4中的30°角、 120°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在 坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限 120° 图1.1-4 究 将角按照上述方法放在直角坐标系中 后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应,反之, 对于直角坐标系内任意一条射线OB(如图1.1-5),以它 392 为终边的角是香堆一?如果不唯一,那么终边相网的角0x 有什么关系? 图1.1-5 3
CHAPTER 通高中深程标准实验教科书数学4必修 不难发现,在图1.1-5中,如果-32°的终边是OB,那么328°,-392°…角的终边 都是OB,并且与-32角终边相同的这些角都可以表示成一32的角与k个(k∈Z)周角的 和,如 328=-32+360°(这里k=), 392°--32-360°(这里k 设S=B=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392角都是S的元素,—32角也是 S的元素(此时k-_).因此,所有与-32°角终边相同的角,连同-32“角在内,都是集 合S的元素;反过来,集合S的任一元素显然与一32°角终边相同 一般地,我们有: 所有与角a终边相同的角,连同角a在内,可构成一个 在直角坐标系中,角的 集合 终边绕原点旋特360°后回到 S={8B=a+k·360°,k∈Z}, 原来的位置。因此,在直角 坐标系中讨论角可以很好地 即任一与角a终边相同的角,都可以表示成角a与整数个周表观角的“周而复始”的变 角的和 化规律 例了 在0°~3600范围内,找出与-950°12角终边相 同的角,并判定它是第几象限角 解:-95012′=129°482-3×360°, 所以在0°~360°范围内,与-95012角终边相同的角是12948,它是第二象限角 例2写出终边在y轴上的角的集合 解:在0~360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即 90°,270°角(图1,1-6).因此,所有与90°角终边相同的角构 成集合 S1={BB=90°+k·360°,k∈Z}, 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={BB=270°+k·360°,k∈Z), 图 1.1-6 于是,终边在y轴上的角的集合 S=S, US ={B=90°+2·180°,k∈Z} U{BP=90°+180°+2k·180°,k∈Z {BB=90°+2·180°,k∈Z U{B|B=90°+(2k+1)180°,k∈Z} ={|=90°+n·180°,n∈Z 00°-360是指0"≤a<360° 4量冒
第一章三函数 第一章 例3写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S 中适合不等式一360≤<720°的元素写出来 解:如图1.1-7,在直角坐标系中画出直线y=x,可以 发现它与x轴的夹角是45,在0~360°范围内,终边在直线 y=x上的角有两个:45°,225°.因此,终边在直线y=x上 的角的集合 S={BB=45°+k·360°,k∈公}U(BB=225°+k·360°, k∈Z}={BB=45°+k·180°,k∈Z} 图L.1-7 S中适合-360≤<720°的元素是 45°-2×180°=-315°, 45-1×180°--135°, 45°+0×180°-45°, 45°+1×180°—22 45°+2×180°-405° 45°+3×180°=585° 练习 1.(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个 问题 2.(口答)今天是星期三,那么7k(k∈Z天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期 几?100天后的那一天是星期几? )3.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出 它们是第几象限角: )(1)420 (2)-75°; (3)855 (4)-510° 4.在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角: (1)-54°18′;(2)39°8′; (3)-1190°30 5.写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤<360°的元素P写 出来 ()130318:(2)-225 圈冒5