经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-4 坐标系与参数方程 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 ocIn. com 琴号平 人人点A社 docaTa 版
目录 电子课本下载地址:www.docin.com/sxzyxz 引言………………………1 第一讲坐标系… …………………2 平面直角坐标系…… 2 极坐标系 8 三简单曲线的极坐标方程…… ,,,, 12 四柱坐标系与球坐标系简介…… 第二讲参数方程………………………21 曲线的参数方程… ,,,,来,,,,,,,,,,, 21 圆锥曲线的参数方程…………………27 直线的参数方程 …35 四渐开线与摆线 40 学习总结报告……
本专题是高中数学课程选修系列4中的第4个专题,包括“坐标系”“参数方程”两 个部分的内容 坐标法思想是17世纪的数学家笛卡儿、费马提出的.坐标法思想为牛顿、菜布尼茨 创立微积分奠定了基础,它是近代数学发展的开端,已成为现代数学最重要的基本思想之 坐标系是联系几何与代数的桥梁,是数形结合的有力工具,利用它可以使数与形相互 转化 同学们已学过数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识.在此基础上,本 专题将进一步介绍极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等,展示不同坐标系在刻画几何图 形或描述自然现象中的作用,拓广坐标系的知识;通过介绍简单曲线的极坐标方程等知 识,使同学们更全面地理解坐标法思想 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的 另一种表示形式.本专题通过实例展示了在建立曲线方程过程中,引进参数的意义和作 用.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便.根据曲线的特点,选取适当曲线 方程的表示形式,体现了解决问题中数学方法的灵活性 作为参数方程的应用实例,本专题介绍了渐开线与摆线,为同学们提供欣赏各种曲线 (如心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、平摆线、渐开线等)的机会,从中体会参数对研究 这些曲线的作用 使用信息技术研究本专题的内容,例如用计算机软件认识参数意义,观察渐开线与平 摆线的生成过程等,可以使同学们更直观、有效地认识各种曲线的生成过程、性质和实际 应用 本专题力求通过实际问题,深入浅出地帮助同学们理解数学概念;通过“思考”“探 究”“信息技术应用”等,启发和引导同学们的数学思维,养成主动探索,积极思考的好 习惯. 祝愿同学们通过本专题的学习,不仅对数学产生更大的兴趣,学到更多的数学知识, 提高自己利用数学知识解决实际问题的能力,形成对数学更加全面的了解,而且逐步认识 到数学的科学价值、应用价值和文化价值 通1
第一讲 4坐标系 我们知道,通过直角坐标系,平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了 联系,从而实现了数与形的结合.根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方 程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系,这就是研究几何问题的坐标法 由于现实问题的复杂性,有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便.为便于 用代数方法研究几何图形,需要建立不同的坐标系.在建立某些几何图形的方程时,用极 坐标系、柱坐标系和球坐标系会更加方便 下面我们先回顾直角坐标系中解决实际问题的过程 平面直角坐标系 豆丁 1.平面直角坐标系 某信息中心接到位于正东、正 西、正北方向三个观测点的报告:正 阅 观测点 西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正 ·东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知 各观测点到中心的距高都是1020m.试确定 巨响发生的位置,(假定声音传播的速度为 阅 观测点 观测点 340m/s,各观测点均在同一平面上.) 信息中心 00o。0o000。0D0。00000。00000000D00。0000。D 2
第一讲坐标系 第 如图1-1,将三个观测点记为A,B,C.由于B,C同 时听到由点P发出的响声,因此PB|=PC|,说明点P 在线段BC的垂直平分线l上;由于A听到响声的时间比 B信息收心A B,C晚4s,因此|PA|-|PB|=4×340=1360<AB 说明点P在以点A,B为焦点的双曲线r上.所以,点P 就是直线l与双曲线r的交点 下面利用问题的几何特征,通过建立适当的直角坐标 图1-1 系,具体确定点P的位置. 。。0。00。。0。099。000。0。自。。。 怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题? 。00e0000。00D0。0。00。060000D非0。00垂。00。00。。。0垂 由于点P是直线l与双曲线r的交点,因此,直角坐标系的选取应尽量使直线l和双 曲线P的方程简单,以便于解方程组求点P的坐标 如图1-2,以信息中心为原点O,直线BA为x轴, 建立直角坐标系.由已知,点A,B,C的坐标分别为 A(1020,0),B(-1020,0),C(0,1020), 于是,直线l的方程为 y-. 设双曲线P的方程是 sfv\ ao -/cb 由已知得a=680,c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402, 图1-2 于是,双曲线T的方程为 68025×3402 将y=-x代入上述方程,解得x=±680√5,y=千6805 由已知,响声应在双曲线厂的左半支,因此点P的坐标为(-6805,6805).从而 PO|=680√10(m) 因此,巨响在信息中心的西偏北45°方向,距离680√10m处 考 我们以信息中心为基点,用角和距离刻画了点P的位置.这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系?你认为哪种方法更方便? ·························0······4··············
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数方程 上述问题的解决充分体现了坐标法思想. 例1已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2, BE,CF分别为边AC,AB上的中线,建立适当的平面直 角坐标系探究BE与CF的位置关系 解:如图1-3,以△ABC的顶点A为原点O,边AB 所在的直线为x轴,建立直角坐标系.由已知,点A,B, F的坐标分别为 O(A) 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为 由b2+c2=5a2,可得到|AC|2+|AB|2=5BC|2,即 x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]. 整理得 x2+2y2+2c2-5 因为 O巴丁 B·CF= (=x)-2 dati. com 因此,BE与CF互相垂直 探宽 你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐 标系下解决问题的过程,你认为建立直角坐标系时应注意些什么? 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 在三角函数图象的学习中,我们研究过下面一些问题: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? 如图1-4,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标y不变,将横坐标 缩为原来的2,那么正弦曲线y=sinx就变成曲线y=sin2x 4■
第一讲坐标系 第一 VEsNa 图 0 D.。 从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持纵坐标y不: 变,将横坐标x缩为原来的。”的实质是什么? 000000000000000。000000。0。鲁0000D00000D00000。 实际上,“保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原来的”是一个坐标的压缩变 换,即 设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,保持纵坐标y不变,将横坐标x缩为原 来的,得到点P(x,y),那么 cin coo 我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换 (2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 如图1-5,在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变,将纵坐标 伸长为原来的3倍,那么正弦曲线y=sinx就变成曲线y=3sinx 图1-5 5
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数万程 从平面直角坐标系中的点的对应关系出发,你认为“保持横坐标x不 变,将纵坐标y伸长为原来的3倍”的实质是什么? 实际上,“保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为原来的3倍”是一个坐标的伸长变 换,即 设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,保持横坐标x不变,将纵坐标y伸长为 原来的3倍,得到点P(x,y),那么 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换 (3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 实际上,这是上述(1)(2)的“合成”:如图1-6,先保持纵坐标y不变,将横坐标 x缩为原来的;在此基础上再将纵坐标y变为原来的3倍,就可以由正弦曲线y=snx 得到曲线y=3sin2x. Www. mNvan/com 图1-6 与上述讨论一样,设平面直角坐标系中的任意一点P(x,y)经过上述变换后变为点 (x,y2),那么 2 y 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
第一讲坐标系 第持 下面给出平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义 定义设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 x=A·x,(A>0), y=·y,(>0). 的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 上述①②③都是坐标伸缩变换.在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩.例如, 在伸缩变换③的作用下,正弦曲线y=sinx变换为曲线y=3sin2x.因此,平面图形的伸 缩变换可以用坐标伸缩变换来表示 例2在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形 (1)2x+3y (2)x2+y2=1. 解:(1)由伸缩变换 得到 y 豆丁 将⑤代人2x+3y-0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是 2x+3y=0 +y=0. 因此,经过伸缩变换 后,直线2x+3y=0变成直线 +y=0(图1-7) (2)将⑤代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方 程是 图1-7 r/ +yo 因此,经过伸缩变换 后,圆x2+y2=1变成椭圆 +y =1(图1-8). 由上所述可以发现,在伸缩变换④下,直线仍然变成直线 而圆可以变成椭圆 图1-8 7
CHAPTER 普通高中课程标准实验教科书数学(选修44)坐标系与参数方程 在伸缩变换④下,椭圆是否可以变成圆?抛物线、双曲线变成什么曲线? 习题 1.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹 2.已知点A为定点,线段BC在定直线l上滑动,已知|BC|=4,点A到直 线l的距离为3,求△ABC的外心的轨迹方程 3.用两种以上的方法证明:三角形的三条高线交于一点 4.在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 y=oy 后的图形 (1)+=1 (2) 1812=1 (3)y2=2x 3.2 5,在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线C变为曲线x2+9y2=9, y 求曲线C的方程并画出图象 6.在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换 (1)直线x-2y=2变成直线2x-y=4; (2)曲线x2-y2-2x=0变成曲线x2-16y2-4x=0. 二极坐标系 在解决本节开头的问题时,我们用“在信息中心的西偏北45°方向,距离680√10m 处”描述了巨响的位置.实际上,这是以信息中心为基点,以正西方向为参照,用与信息 中心的距离和与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.这是日常生活中常用的刻画位置的 方法,体现了极坐标思想 8