二项式定理的十一种考题解法 1.二项式定理 (a+b)=Ca"+Cla"b+…+C;a"b+…+C"b"(n∈N), 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做(a+b)y的二项展开式 ②二项式系数:展开式中各项的系数C(r=0,2,…,m) ③项数:共(r+1)项,是关于a与b的齐次多项式 ④通项:展开式中的第r+1项C"a"b叫做二项式展开式的通项。用 Tn=Cna"b表示。 3.注意关键点 ①项数:展开式中总共有(n+1)项 ②顺序:注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a+b)与(b+a)是不同的 ③指数:a的指数从n逐项减到0,是降幂排列。b的指数从0逐项减到n, 是升幂排列。各项的次数和等于n ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 C,.Cn,C2…,Cn…,Cn项的系数是a与b的系数(包括二项式系数 4.常用的结论 a=lb=x (1+x)"=Cn+Cx+Cnx2+…+Cnx+…+Cnx”(n∈N")
1 二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 0 1 1 ( ) ( ) n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N − − + = + + + + + ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做 ( )n a b + 的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数 r Cn ( 0,1,2, , ) r n = . ③项数：共 ( 1) r + 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第 r +1 项 r n r r C a b n − 叫做二项式展开式的通项。用 1 r n r r T C a b r n − + = 表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有 ( 1) n + 项。 ②顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。 ( )n a b + 与 ( )n b a + 是不同的。 ③指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n， 是升幂排列。各项的次数和等于 n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 0 1 2 , , , , , , . r n C C C C C n n n n n 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令 a b x = = 1, , 0 1 2 2 (1 ) ( ) n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N + = + + + + + +
令a=1.b=-x,(1-x)y=Cn-Cx+C2x2-…+Cnx+…+(-1)Cnx(m∈N) 5.性质 ①二项式系数的对称性:与首末两端对距离”的两个二项式系数相等 即 ②二项式系数和:令a=b=1,则二项式系数的和为 变形式Cn+Cn2+…+Cn+…+Cm=2”-1。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令a=1,b=-1,则C-C+C2-C3+…+(-1)Cn=(1-1)=0 从而得到 2r+1 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和: (a+x)”=Cax°+Ca"x+C2an-2x2+…+Cnax"=a0+a1x2+a2x2+…+anx (x +a)=Cm ax+C ax+C a'x x +ax+ 令x=1,则a+a1+a2+a3…+an=(a+1)--- 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+an=(a-1) ①+②得a0+a2+a4…+an (a+1)”+(a-1) (奇数项的系数和) ①-②得a1+a3+a3…+an (a+1)"-(a-1) (偶数项的系数和) ⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n是偶数时,则中间一项的二 项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时,则中间两项的二项
2 令 a b x = = − 1, , 0 1 2 2 (1 ) ( 1) ( ) n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N − = − + − + + + − 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即 0 n C C n n = ，·· k k 1 C C n n − = ② 二 项 式 系 数 和 ： 令 a b = =1 , 则 二 项 式 系 数 的 和 为 0 1 2 2 r n n C C C C C n n n n n + + + + + + = ， 变形式 1 2 2 1 r n n C C C C n n n n + + + + + = − 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令 a b = = − 1, 1 ，则 0 1 2 3 ( 1) (1 1) 0 n n n C C C C C n n n n n − + − + + − = − = ， 从而得到： 0 2 4 2 1 3 2 1 1 1 2 2 2 r r n n C C C C C C C n n n n n n n + − + + + + = + + + + = = ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 0 0 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 2 0 2 1 2 1 0 0 1 2 3 0 1 2 3 ( ) ( ) 1, ( 1) 1, ( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a − − − − + = + + + + = + + + + + = + + + + = + + + + = + + + + = + − − − − − − − − − = − − + − + + = − − − − − 令 则 ① 令 则 024 1 3 5 ( 1) ( 1) , ( ) 2 ( 1) ( 1) , ( ) 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a −−−− + + − + + + + = + − − − + + + = ② ① ②得 奇数项的系数和 ① ②得 偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二 项式系数 2 n Cn 取得最大值。 如果二项式的幂指数 n 是奇数时，则中间两项的二项
式系数Cn2,C2同时取得最大值。 ⑥系数的最大项:求(a+bx)展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为4,A,…A,设第r+1项系数最大,应有{42 A+1≥4+2 从而解出r来 6.二项式定理的十一种考题的解法去: 项式定理的逆用 例:Cn+Cn26+C3·62+…+Cn.61 解:(1+6=C+Cn·6+C2·62+C-63+…Cn·6与已知的有一些差距, Cn+C26+C62+…+Cn·6"=(Cn·6+Cn62+…+Cn6") 6 (Cn+Cn6+C2·62+…+Cn6-1)=[(1+6)”-1]=2(7”-1) 6 练:Cn+3C2+9C+…+3Cn 解:设S=Cn+3C2+9C+…+3"C,则 3Sn=Cn3+C232+C33+…+Cn3=C0+Cn3+C232+C3+…+Cn3”-1=(1+3) (1+3)"-14 S
3 式系数 1 2 n Cn − , 1 2 n Cn + 同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求 ( )n a bx + 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为 1 2 1 , , , A A A n+ ，设第 r +1 项系数最大，应有 1 1 2 r r r r A A A A + + + ， 从而解出 r 来。 6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 例： 1 2 3 2 1 6 6 6 . n n C C C C n n n n − + + + + = 解： 0 1 2 2 3 3 (1 6) 6 6 6 6 n n n + = + + + + + C C C C C n n n n n 与已知的有一些差距， 1 2 3 2 1 1 2 2 1 6 6 6 ( 6 6 6 ) 6 n n n n C C C C C C C n n n n n n n − + + + + = + + + 1 1 1 0 1 2 2 ( 6 6 6 1) [(1 6) 1] (7 1) 6 6 6 n n n n = + + + + − = + − = − C C C C n n n n 练： 1 2 3 1 3 9 3 . n n C C C C n n n n − + + + + = 解：设 1 2 3 1 3 9 3n n n n n n n S C C C C− = + + + + ，则 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 (1 3) 1 n n n n n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C = + + + + = + + + + + − = + − (1 3) 1 4 1 3 3 n n n S + − − = =
题型二:利用通项公式求x”的系数 例:在二项式(+y的展开式中倒数第3项的系数为45,求含有x的项 的系数? 解:由条件知cn2=45,即c2=45,n2-n-90=0,解得n=-9%舍去或n=10, 由 2y=cnx号,由题意-10+2r=3解得r=6 43 则含有x的项是第7项T1=Cx3=210x3,系数为210。 练:求(x2-1)展开式中x的系数? 解:Tn=C(x)-( Cx8-2(-0yx=C(-0yxy,令18-3r=9,则 故x°的系数为C( 21 题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式(x2+1y的展开式中的常数项? 解:7 令20-3r=0,得r=8,所以 T=C1() 练:求二项式(2x-1y的展开式中的常数项?
4 题型二：利用通项公式求 n x 的系数； 例：在二项式 3 2 4 1 ( )n x x + 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ，求含有 3 x 的项 的系数？ 解：由条件知 2 45 n Cn − = ，即 2 45 Cn = ， 2 − − = n n 90 0 ，解得 n n = − = 9( ) 10 舍去 或 ， 由 1 2 10 2 4 10 3 4 3 1 10 10 ( ) ( ) r r r r r r T C x x C x r − − − + − + = = ，由题意 10 2 3, 6 4 3 r r r − − + = = 解得 ， 则含有 3 x 的项是第 7 项 6 3 3 6 1 10 T C x x 210 + = = ,系数为 210。 练：求 2 9 1 ( ) 2 x x − 展开式中 9 x 的系数？ 解： 2 9 18 2 18 3 1 9 9 9 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 r r r r r r r r r r T C x C x x C x r x − − − − + = − = − = − ，令 18 3 9 − =r ,则 r = 3 故 9 x 的系数为 3 3 9 1 21 ( ) 2 2 C − = − 。 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式 2 10 1 ( ) 2 x x + 的展开式中的常数项？ 解： 5 20 2 10 2 1 10 10 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 r r r r r r T C x C x r x − − + = = ，令 5 20 0 2 − =r ，得 r = 8 ，所以 8 8 9 10 1 45 ( ) 2 256 T C= = 练：求二项式 1 6 (2 ) 2 x x − 的展开式中的常数项？
解: Tn=C6(2x)(-1)()=(-1)C2()yx2 ,令6-2r=0,得r=3,所以 T=(-1)C6=-20 练:若(x2+)的二项展开式中第5项为常数项,则n= T=C#(x2)(-)2=Cnx2n12 解 令2n-12=0,得n=6 题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式(√x-√x)展开式中的有理项? 解:1=C(x2)(x)y=(-)Cx°,令6∈710≤9)得=减=9 27-r 4 所以当r=3时,6 当r=9时 题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和 例:若(2-1y展开式中偶数项系数和为256求n 解:设√x展开式中各项系数依次设为4,a 令x=-1,则有+a+=0①,令x=1,则有 将①-②得:2a4+a+a+…)=-2,a+a+a
5 解： 6 6 6 2 1 6 6 1 1 (2 ) ( 1) ( ) ( 1) 2 ( ) 2 2 r r r r r r r r r T C x C x r x − − − + = − = − ，令 6 2 0 − =r ，得 r = 3 ，所以 3 3 4 6 T C = − = − ( 1) 20 练：若 2 1 ( )n x x + 的二项展开式中第 5 项为常数项，则 n = ____ . 解： 4 2 4 4 4 2 12 5 1 ( ) ( ) n n T C x C x n n x − − = = ，令 2 12 0 n− = ，得 n = 6 . 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式 3 9 ( ) x x − 展开式中的有理项？ 解： 1 1 27 2 9 3 6 1 9 9 ( ) ( ) ( 1) r r r r r r T C x x C x r − − + = − = − ，令 27 6 r Z − ,( 0 9 r )得 r r = = 3 9 或 ， 所以当 r = 3 时， 27 4 6 − r = ， 3 3 4 4 4 9 T C x x = − = − ( 1) 84 ， 当 r = 9 时， 27 3 6 − r = ， 3 9 3 3 10 9 T C x x = − = − ( 1) 。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若 2 3 2 1 ( )n x x − 展开式中偶数项系数和为−256 ，求 n . 解：设 2 3 2 1 ( )n x x − 展开式中各项系数依次设为 0 1 , , , n a a a 令x = −1,则有 0 1 0, a a a + + = n ①， 令x =1,则有 0 1 2 3 ( 1) 2 , n n n a a a a a − + − + + − = ② 将①-②得： 1 3 5 2( ) 2 , n a a a + + + = − 1 1 3 5 2 , n a a a − + + + = −
有题意得 9 练:若(“(的展开式中,所有的奇数项的系数和为2,:求它的中间 项 解 ∵C+C2+C +…=Cn+Cn+…+C2+ 2”=1024,解得 n=11 所以中间两个项分别为n=6n=7=C(()=42x 6+1=462·x 题型六:最大系数,最大项 例:已知(1+2x),若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差 数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多少? 解:C+C=2C"-21+98=0.解出n=7或n=14,当n=7时,展开式中二 项式系数最大的项是和7的系数=C;(y2=35 有的系数=C2)2=0当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是, T的系数=C1(=)727=3432 练:在(a+b)的展开式中,二项式系数最大的项是多少? Tn 解:二项式的幂指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大即 也就是第n+1项。 6
6 有题意得， 1 8 2 256 2 n− − = − = − ， =n 9。 练：若 3 5 2 1 1 ( )n x x + 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 1024 ，求它的中间 项。 解： 0 2 4 2 1 3 2 1 1 2 r r n C C C C C C C n n n n n n n + − + + + + = + + + + = ， 1 2 1024 n− = ，解得 n =11 所以中间两个项分别为 n n = = 6, 7， 5 6 5 4 3 5 5 1 2 1 1 ( ) ( ) 462 T C x n x x − + = = ， 61 15 6 1 T x 462 − + = 题型六：最大系数，最大项； 例：已知 1 ( 2 ) 2 n + x ，若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差 数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解： 4 6 5 2 2 , 21 98 0, C C C n n n n n + = − + = 解出 n n = = 7 14 或 ，当 n = 7 时，展开式中二 项式系数最大的项是 T T 4 5 和 3 4 3 4 7 1 35 ( ) 2 , 2 2 = = T C 的系数 ， 4 3 4 5 7 1 ( ) 2 70, 2 T C 的系数 = = 当 n =14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， 7 7 7 8 14 1 C ( ) 2 3432 2 = = T的系数 。 练：在 2 ( ) n a b + 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 解：二项式的幂指数是偶数 2n ，则中间一项的二项式系数最大，即 2 1 1 2 T T n n+ + = ， 也就是第 n+1 项
练:在2)的展开式中,只有第5项的二项式最大,则展开式中的常数 项是多少? +1=5 解:只有第5项的二项式最大,则2,即n=8,所以展开式中常数项为 第七项等子()=7 例:写出在(a-b)的展开式中,系数最大的项?系数最小的项? 解:因为二项式的幂指数7是奇数,所以中间两项(第45项)的二项式系数相 等,且同时取得最大值,从而有=Cab的系数最小,=Cb系数 最大 例:若展开式前三项的二项式系数和等于,求(+2x)y的展开式中系数最 大的项? 解:由C+Cn+Cn=7,解出n=12假设工项最大,(+2x)2=(-2(1+4x 41:24:c+2C化简得到451042:05512=10 展开式中系数最大的项为71,有T1=(yc140x0=16896x 练:在(1+2x)的展开式中系数最大的项是多少? 解:假设项最大, 解得 ∫2(11-r)≥r r+1≥2(10-r) ,化简得到63≤ks73,又
7 练：在 3 1 ( ) 2 x n x − 的展开式中，只有第 5 项的二项式最大，则展开式中的常数 项是多少？ 解：只有第 5 项的二项式最大，则 1 5 2 n + = ，即 n = 8,所以展开式中常数项为 第七项等于 6 2 8 1 ( ) 7 2 C = 例：写出在 7 ( ) a b − 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幂指数 7 是奇数，所以中间两项( 第4,5项 )的二项式系数相 等，且同时取得最大值，从而有 3 4 3 T C a b 4 7 = − 的系数最小， 4 3 4 T C a b 5 7 = 系数 最大。 例：若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ，求 1 ( 2 ) 2 n + x 的展开式中系数最 大的项？ 解：由 0 1 2 79, C C C n n n + + = 解出 n =12 ,假设 T r+1 项最大， 1 1 12 12 12 ( 2 ) ( ) (1 4 ) 2 2 + = + x x 1 1 1 12 12 1 1 1 2 12 12 4 4 4 4 r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C − − + + + + + = ，化简得到 9.4 10.4 r ，又 0 12 r ， =r 10， 展开式中系数最大的项为 T11 ,有 12 10 10 10 10 11 12 1 ( ) 4 16896 2 T C x x = = 练：在 10 (1 2 ) + x 的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设 T r+1 项最大， 1 10 2 r r r T C x r+ = 1 1 1 10 10 1 1 1 2 10 10 2 2 2(11 ) 2 2 , 1 2(10 ) r r r r r r r r r r r r A A C C r r A A r r C C − − + + + + + − = + − 解得 ，化简得到 6.3 7.3 k ，又
05r510,r=7,展开式中系数最大的项为=Cm2x2=15360x7 顶型七:含有三项变两项; 例:求当(x2+3x+2)的展开式中x的一次项的系数? 解法①:(x2+3x+2)=(x2+2)+3x,T1=C;(x2+2)(3x),当且仅当r=1时, Tn的展开式中才有x的一次项,此时r=T2=C(x2+2)3x,所以 x得一次项为cC423x 它的系数为cC423=240。 解法② 2)=(x+1)(x+2)=(C9 to 故展开式中含x的项为cxC323+C4x24=240x故展开式中x的系数 为2 练:求式子(x+-2)的常数项? 解:4+-2同-,设第+项为常数项,则 m=C(-yx(y=(-1)c,得6-2=0,r=3 T+1=(-1)3C=-20 题型八:两个二项式相乘 例:求(1+2x)(1-x)展开式中x的系数
8 0 10 r ， =r 7 ，展开式中系数最大的项为 7 7 7 7 8 10 T C x x = = 2 15360 . 题型七：含有三项变两项； 例：求当 2 5 ( 3 2) x x + + 的展开式中 x 的一次项的系数？ 解法①： 2 5 2 5 ( 3 2) [( 2) 3 ] x x x x + + = + + ， 2 5 1 5 ( 2) (3 ) r r r T C x x r − + = + ，当且仅当 r =1 时， T r+1 的展开式中才有 x 的一次项，此时 1 2 4 1 2 5 ( 2) 3 T T C x x r+ = = + ，所以 x 得一次项为 1 4 4 5 4 C C x 2 3 它的系数为 1 4 4 5 4 C C 2 3 240 = 。 解法②： 2 5 5 5 0 5 1 4 5 0 5 1 4 5 5 5 5 5 5 5 5 ( 3 2) ( 1) ( 2) ( )( 2 2 ) x x x x C x C x C C x C x C + + = + + = + + + + + + 故展开式中含 x 的项为 4 5 5 4 4 5 5 5 C xC C x x 2 2 240 + = ，故展开式中 x 的系数 为 240. 练：求式子 1 3 ( 2) x x + − 的常数项？ 解： 1 1 3 6 ( 2) ( ) x x x x + − = − ，设第 r +1 项为常数项，则 6 6 2 6 1 6 6 1 ( 1) ( ) ( 1) r r r r r r T C x C x r x − − + = − = − ，得 6 2 0 − =r ,r = 3, 3 3 3 1 6 T C ( 1) 20 = − = − + . 题型八：两个二项式相乘； 例： 3 4 2 求(1 2 ) (1 ) + − x x x 展开式中 的系数
解:(1+2x)的展开式的通项是cy(2x)"=C32m·x", (1-x)的展开式的通项是C4(-x)”=C4-1”·x",其中m=0,1,2.3,n=0,12,3,4, 令m+n=2,则m=0且n=2,m=1且n=1,m=2且n=0,因此(1+2x)(1-x) 的展开式中x的系数等于C3·20·C2·(-1)2+C32·C4(-1)+C3·22·C4·(-1)=-6 练:求(1+√(+9展开式中的常数项 解:(+x)(+=)展开式的通项为Cx3Cmx= Cm-C.x2 其中m=0,1,2…,6,n=0,,2,…10,当且仅当4m=3n,即 或 6, n=0,n=4,n=8, 时得展开式中的常数项为C6·C10+C6·C+C6·C=4246 练:已知(1+x+x2)(x+)的展开式中没有常数项n∈N且2≤n≤8,则n= 解:(x+-)y展开式的通项为Cn:xx=Cn·x+通项分别与前面的三项相乘可得 Cn·x+,Cn·x",Cnx"2∴展开式中不含常数项,2≤n≤8 n≠4用n≠4+1n≠4r+2,即n≠4,8且n≠3,7且n≠2,6,n=5. 型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和 例:在(x-20的二项展开式中含x的奇次幂的项之和为S,当x=√时,S 解:设(x =atax taxi 2006 -a-ax +ax -ax a2006
9 解： 3 3 3 (1 2 ) (2 ) 2 , m m m m m + = x x x 的展开式的通项是C C 4 4 4 (1 ) C ( ) C 1 , 0,1,2,3, 0,1,2,3,4, n n n n n − − = − = = x x x m n 的展开式的通项是 其中 3 4 令m n m n m n m n x x + = = = = = = = + − 2, 0 2, 1 1, 2 0, (1 2 ) (1 ) 则 且 且 且 因此 2 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 3 4 3 4 3 4 的展开式中x C C C C C C 的系数等于 − + − + − = − 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 6 . 练： 3 6 10 4 1 (1 ) (1 ) x x 求 + + 展开式中的常数项. 解： 4 3 3 6 10 3 4 12 6 10 6 10 4 1 (1 ) (1 ) m n m n m n m n x C x C x C C x x − − + + = 展开式的通项为 0, 3, 6, 0,1,2, ,6, 0,1,2, ,10, 4 3 , 0, 4, 8, m m m m n m n n n n = = = = = = = = = 其中 当且仅当 即 或 或 0 0 3 4 6 8 6 10 6 10 6 10 时得展开式中的常数项为C C C C C C + + = 4246. 练： 2 * 3 1 (1 )( ) , 2 8, ______. n x x x n N n n x 已知 + + + = 的展开式中没有常数项 且 则 解： 3 4 3 1 ( ) C C , n r n r r r n r n n x x x x x − − − + = 展开式的通项为 通项分别与前面的三项相乘可得 4 4 1 4 2 C ,C ,C , ,2 8 r n r r n r r n r n n n x x x n − − + − + 展开式中不含常数项 + + = n r n r n r n n n n 4 4 1 4 2 4,8 3,7 2,6, 5. 且 且 ，即 且 且 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例： 2006 在( 2) , , 2 , _____. x x S x S − = = 的二项展开式中 含 的奇次幂的项之和为 当 时 解： 2006 1 2 3 2006 0 1 2 3 2006 设( 2) x a a x a x a x a x − + + + + + = -------① 2006 1 2 3 2006 0 1 2 3 2006 ( 2) − − − + − + + x a a x a x a x a x = -------②
①-②得2(a4x+a3x3+ax3+…+ 2006 -(x+√2)06 (x-√2)0展开式的奇次幂项之和为S(x)=(x-√2)y0-(x+2ym 当x=时S(=1-5y-(1+-1=-2 题型十:赋值法 例:设二项式(3+)y的展开式的各项系数的和为p,所有二项式系数的 和为s若 p+=272则n等于多少? 解若(3x+)=an+ax+a2x2+…+anx"有P=an+a1+…+anS=C0+…+Cm=2 令x=1得P=4,又p+s=272,即4"+2"=272→(2"+17)2”-16)=0解得 2"=16或2"=-17(舍去),∴n=4 练:-)的展开式中各项系数之和为,则展开式的常数项为多 解:令x=1,则3√x--的展开式中各项系数之和为2=64,所以n=6, 则展开式的常数项为C(3)(-+)y=-540
10 3 5 2005 2006 2006 1 3 5 2005 ①− + + + + = − − + ②得2( ) ( 2) ( 2) a x a x a x a x x x 2006 2006 2006 1 ( 2) ( ) [( 2) ( 2) ] 2 − = − − + x S x x x 展开式的奇次幂项之和为 3 2006 2 1 2 2006 2006 3008 2 , ( 2) [( 2 2) ( 2 2) ] 2 2 2 x S 当 = = − − + = − = − 时 题型十：赋值法； 例：设二项式 3 1 (3 )n x x + 的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的 和为 s,若 p s + = 272 ,则 n 等于多少？ 解：若 3 2 0 1 2 1 (3 )n n n x a a x a x a x x + = + + + + ，有 P a a a = + + + 0 1 n ， 0 2 n n n n S C C = + + = ， 令 x =1 得 4 n P = ，又 p s + = 272 ,即 4 2 272 (2 17)(2 16) 0 n n n n + = + − = 解得 2 16 2 17( ) n n = = − 或 舍去 ， =n 4. 练：若 的展开式中各项系数之和为 64 ，则展开式的常数项为多 少？ 解：令 x =1 ，则 的展开式中各项系数之和为 2 64 n = ，所以 ， 则展开式的常数项为 =−540 . n x x − 1 3 n x x − 1 3 n = 6 3 3 3 6 1 C x (3 ) ( ) x −