解析几何中的定点问题 解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点,也是解析几何问题中的一个难点,在求 解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率,对学生思维的深度,做题的专注 度,以及基本运算能力的培养,都有非常积极的意义。解析几何中的定点问题的求解,实质 就是等式恒成立问题的求解 直线中的定点问题 例1.已知a∈R,直线l:(a-1)x+2ay+3=0,求直线l经过的定点的坐标 解:由a(x+2y)+(3-x)=0,Va∈R知, 解得: 所以直线l经过定点(3, 变式:已知实数a,bc满足b+c=2a,直线l:ax+b+c=0,过点P(2,3)作直线l的 垂线,垂足为M,O为坐标原点,求线段OM的最大值 解:因为b+C=2a,ax+by+c=0 所以ax+(2a-c)y+c=0, 即a(x+2y)+c(-y+1)=0,Va,c∈R x+2y=0 所以 解得 =1 所以直线经过定点以(-2,1),点M在以PQ为直径的圆x2+(y-2)=5上, 由几何性质知OM的最大值为2+√ 圆中的定点问题 例2.已知F(1,0)椭圆C1的右焦点且F为双曲线C2的右顶点,椭圆C1与双曲线C2的一个 交点是M(,x).若点P是双曲线右支上的动点,直线PF交y轴于点Q,试问 以线段PQ为直径的圆是否恒过定点?证明你的结论 解:由题意役椭圆C的方程是+y2=1,双曲线C的方程是x2-2=1 则2a=MF+MF1= +43-43,5 a1=√2,b=1,椭圆C1的方程是x+y2=1, 由点M在双曲线上:3运=1,得b2=1,所以双曲线C2的方程是x2-y2=1, 设P(x0,y0),则x02-y2=1,直线PF2的方程为y=y0(x-1)得 Q(0-y0),FF=(x+1,y),Q=(,-,)
解析几何中的定点问题 解析几何中的定点问题是高考命题的一个热点,也是解析几何问题中的一个难点,在求 解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率,对学生思维的深度,做题的专注 度,以及基本运算能力的培养,都有非常积极的意义。解析几何中的定点问题的求解,实质 就是等式恒成立问题的求解。 一.直线中的定点问题 例 1. 已知 aR ,直线 l :( 1) 2 3 0 a x ay − + + = ,求直线 l 经过的定点的坐标 解:由 a x y x ( 2 ) 3 0 + + − = ( ) ,a R 知, 2 0 3 0 x y x + = − = ,解得: = − = 2 3 3 y x 所以直线 l 经过定点 ) 2 3 (3,− 变式:已知实数 abc , , 满足 b c a + = 2 ,直线 l : ax by c + + = 0 ,过点 P(2,3) 作直线 l 的 垂线,垂足为 M ,O 为坐标原点,求线段 OM 的最大值 解: 因为 b c a + = 2 , ax by c + + = 0 所以 ax + (2a − c) y + c = 0 , 即 a(x + 2y) + c(−y +1) = 0,a,c R 所以 − + = + = 1 0 2 0 y x y ,解得 = = − 1 2 y x 所以直线 l 经过定点 Q (−2,1) ,点 M 在以 PQ 为直径的圆 ( ) 2 2 x y + − = 2 5 上, 由几何性质知 OM 的最大值为 2 5 + . 二.圆中的定点问题 例 2.已知 F(1,0) 椭圆 C1 的右焦点且 F 为双曲线 C2 的右顶点,椭圆 C1 与双曲线 C2 的一个 交点是 M 2 3 3 ( , ) 3 3 .[]若点 P 是双曲线右支上的动点,直线 PF 交 y 轴于点 Q ,试问 以线段 PQ 为直径的圆是否恒过定点?证明你的结论. 解:由题意设椭圆 C1 的方程是 2 2 2 2 1 1 1 x y a b + = ,双曲线 C2 的方程是 2 2 2 2 1 y x b − = , 则 1 1 2 2a MF MF = + 8 4 3 8 4 3 3 3 + − = + = 2 2 , ∴ 1 a = 2 , 1 b =1 ,椭圆 C1 的方程是 2 2 1 2 x + = y , 由点 M 在双曲线上得: 2 2 4 1 1 3 3b − = ,得 2 2 b =1 ,所以双曲线 C2 的方程是 2 2 x y − =1, 设 P(x0 , y0) ,则 1 2 0 2 x0 − y = ,直线 PF2 的方程为 ( 1) 0 1 0 − − = x x y y 得 ) 1 0, 0 0 − − x y Q( , 0 1 0 0 1 0 1 1 1 F P x y FQ y x = + = − − ( , ), (, )
FPFO=(xo+D-yo.o FP⊥FQ ∴以线段PQ为直径的圆恒过定点F(-10) 变式1:已知圆C:(x+1)2+y2=4,O为坐标原点,A为平面内一定点,对于圆C上任 意一点P,都有PA=2PO求点A的坐标 解:设A(m,n)P(x,y),由PA=2PO,得(x-m)2+(y-n)2=4(x2+y2), 化简得:3x2+3y2+2mx+2my-m2-n2=0,又因为x2+y2+2x-3=0 所以(2m-6x+2my+9 0,因为对任意的x,y恒成立 所以m=3,n=0 所以A(3,0) 变式2:已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2(x-3)2+(y-4)2=1,若动圆C同时平分 圆C1和园C2的周长,则动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标:若不经过,请说 明理由。 解:设圆心C(x,y),由题意得:CC1=CC2, 即(x+1)2+y2=√(x-3)2+(y-4)2整理得:x+y-3=0 即圆心在直线x+y-3=0上运动 设C(m,3-m) 则动圆的半径为:④+(C1)2=1+(m+12+(3-,m 所以动圆C的方程为:(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m 即x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0,Vm∈R 3√2 3√2 由{-y+1=0 x=1+ 解得 6y-2=0 33 3√2 即动圆C过定点(1+3√22+32,④1-32,2-32) 2 三.圆锥曲线中的定点问题(常化归为直线中定点问题) (一)椭圆中相关定点问题 例.已知椭圆Ca2b2=1(a>b>0)的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴 长为半径的圆与直线x-y+√6=0相切。设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的 任意两个不同的点,连结PB交椭圆C于另一点E,证明:直线AE与x轴交于定点Q 解:由题意知e=C=1
0 0 1 1 0 0 1 0 1 F P FQ x y y x = + − = − ( ) , ⊥ F P FQ 1 1 , ∴以线段 PQ 为直径的圆恒过定点 ( 1 0) F1 − , . 变式 1:已知圆 2 2 C x y : ( 1) 4 + + = ,O 为坐标原点, A 为平面内一定点,对于圆 C 上任 意一点 P ,都有 PA PO = 2 求点 A 的坐标 解:设 A(m,n), P(x, y) ,由 PA PO = 2 ,得 2 2 2 2 ( ) ( ) 4( ) x m y n x y − + − = + , 化简得: 2 2 2 2 3 3 2 2 0 x y mx ny m n + + + − − = ,又因为 2 2 x y x + + − = 2 3 0 , 所以 2 2 (2 6) 2 9 0 m x ny m n − + + − − = ,因为对任意的 x,y 恒成立, 所以 m = 3,n = 0 . 所以 A(3,0) 变式 2:已知圆 :( 1) 1 2 2 C1 x + + y = ,圆 :( 3) 4 1 2 2 C2 x − +(y − ) = ,若动圆 C 同时平分 圆 C1 和圆 C2 的周长,则动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说 明理由。 解:设圆心 C(x, y),由题意得:CC1 = CC2 , 即 2 2 2 2 (x +1) + y = (x − 3) + ( y − 4) 整理得: x + y − 3 = 0 即圆心在直线 x + y − 3 = 0 上运动. 设 C(m,3 − m) 则动圆的半径为: 2 2 2 1 1+(CC ) = 1+ (m +1) + (3−,m) 所以动圆 C 的方程为: 2 2 2 2 (x − m) + (y − 3+ m) =1+ (m +1) + (3− m) 即 x + y − 6y − 2 − 2m(x − y +1) = 0,m R 2 2 由 + − − = − + = 6 2 0 1 0 2 2 x y y x y 解得: = + = + 2 3 2 2 2 3 2 1 y x 或 = − = − 2 3 2 2 2 3 2 1 y x 即动圆 C 过定点 ( , ) 2 3 2 2 2 3 2 1+ + ,( , ) 2 3 2 2 2 3 2 1− − 三.圆锥曲线中的定点问题(常化归为直线中定点问题) (一)椭圆中相关定点问题 例 3. 已知椭圆 : 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x C 的离心率为 , 2 1 以原点 O 为圆心,椭圆的短半轴 长为半径的圆与直线 x − y + 6 = 0 相切。设 P (4,0), A, B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的 任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证明:直线 AE 与 x 轴交于定点 Q 。 解:由题意知 , 2 1 = = a c e [来源:学科网 ZXXK]
所以e2= 又因为b=√6=3 所以a2=4,b2=3 故椭圆C的方程为 =1.由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为 y=k(x-4) y=k(x-4) 由 "y-l 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.① 设点B(x1,y)E(x2,y2)则4x1-y) 直线AE的方程为y-y2 y2+y1 令y=0,得x=x2 y2(x2-x1) 将y1=k(x1-4)y2=k(x2-4)代入, 整理,得x=2Mx2-4x1+x) 32k2 64k2-12 由①得x1+x 代入② 整理,得x=1 所以直线AE与x轴相交于定点O(1,0) 变式1:已知椭圆x+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,点M(0,2)是椭圆 的一个顶点,△F1M2是等腰直角三角形.过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点, 设两直线的斜率分别为k,k2,且k1+k2=8,探究直线AB是否过定点 解:因为b=2,AFMF,是等腰直角三角形,所以c=2,所以a=2√2 故椭圆的方程为+ ①若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,2x2),B(x2,y2)
4, 3. 3, 1 1 6 . 3 4 . 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = + = = = − = = a b b a b a a b a c e 所以 又因为 即 所以 故椭圆 C 的方程为 1. 4 3 2 2 + = x y 由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y = k(x − 4). 2 2 2 2 2 2 ( 4), (4 3) 32 64 12 0. 1. 4 3 y k x k x k x k x y = − + − + − = + = 由 得 ① 设点 ( , ), ( , ), ( , ). 1 1 2 2 1 1 B x y E x y 则A x −y 直线 AE 的方程为 2 1 2 2 2 1 ( ). y y y y x x x x + − = − − ( 4), ( 4) , . ( ) 0, 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 将 代入 令 得 = − = − + − = = − y k x y k x y y y x x y x x 整理,得 8 2 4( ) 1 2 1 2 1 2 + − − + = x x x x x x x ② 由①得 4 3 64 12 , 4 3 32 2 2 2 1 2 2 1 2 + − = + + = k k x x k k x x 代入② 整理,得 x =1. 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q (1,0). 变式 1:已知椭圆 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 M (0,2) 是椭圆 的一个顶点, F1MF2 是等腰直角三角形.过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A, B 两点, 设两直线的斜率分别为 1 2 k ,k ,且 k1 + k2 = 8 ,探究直线 AB 是否过定点. 解:因为 b = 2, F1MF2 是等腰直角三角形,所以 c=2,所以 a=2 2 , 故椭圆的方程为 1 8 4 2 2 + = x y . ① 若直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y = kx + m , ( , ), ( , ) 1 2 2 2 A x x B x y
联立方程得,{84 消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, kx+m 则x1+x21+22x1x2=m-8 4km 1+2k 由题知k1+k2 y-24y x 所以+m-2++m-2=8,即2k+(m-2)x XI xix 所以kmk 4,整理得m 故直线AB的方程为y=kx+k-2,即y=k(x+)-2. 所以直线AB过定点(--,-2) ②若直线AB的斜率不存在,设直线AB的方程为x=x0,A(x0,yo),B(x0,-y0) 则由题知2=2 得xn=-1.此时直线AB的方程为x=-1,显然直线AB过点( 综上可知,直线AB过定点( 变式2已知椭圆C:x+=1(a>b>0),四点P(1.2(O,,P(-1,3),P(,2y) 中恰有三点在椭圆C上.设直线/不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线 P2B的斜率的和为-1,证明:直线/过定点 证明:由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P两点 又由一2+n2>2+2知,椭圆C不经过点B 所以点P2在椭圆C上 因此 解得 故椭圆C的方程为+y2=1 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k 若l与x轴垂直,设1:x=t,由题设知t≠0,tk2,可得A,B的坐标分别为
联立方程得, = + + = y kx m x y 1 8 4 2 2 ,消去 y ,得 1 2 ) 4 2 8 0 2 2 2 ( + k x + kmx+ m − = , 则 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 8 , 1 2 4 k m x x k km x x + − = + + = − . 由题知 8 2 2 2 2 1 1 1 2 = − + − + = x y x y k k 所以 8 2 2 2 2 1 1 = + − + + − x kx m x kx m ,即 2 ( 2) 8 1 2 1 2 = + + − x x x x k m . 所以 4 2 = + − m mk k ,整理得 2 2 1 m = k − . 故直线 AB 的方程为 2 2 1 y = kx + k − ,即 ) 2 2 1 y = k(x + − . 所以直线 AB 过定点 ( , 2) 2 1 − − . ②若直线 AB 的斜率不存在,设直线 AB 的方程为 , ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 x = x A x y B x −y , 则由题知 8 2 2 0 0 0 0 = − − + − x y x y , 得 2 1 x0 = − .此时直线 AB 的方程为 2 1 x = − ,显然直线 AB 过点 ( , 2) 2 1 − − . 综上可知,直线 AB 过定点 ( , 2) 2 1 − − . 变式 2:已知椭圆 C : 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x ,四点 ) 2 3 ), (1 2 3 P1 (1,1), P2 (0,1), P3 (−1, P4 , , 中恰有三点在椭圆 C 上.设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A, B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:直线 l 过定点. 证明:由于 3 4 P , P 两点关于 y 轴对称,故由题设知椭圆 C 经过 3 4 P , P 两点. 又由 2 2 2 2 4 1 1 1 3 a b a b + + 知,椭圆 C 不经过点 P1 , 所以点 P2 在椭圆 C 上. 因此 + = = 1 4 1 3 1 1 2 2 2 a b b 解得 = = 1 4 2 2 b a 故椭圆 C 的方程为 1 4 2 2 + y = x . 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 1 2 k ,k . 若 l 与 x 轴垂直,设 l : x = t ,由题设知 t 0,| t | 2 ,可得 A, B 的坐标分别为
),(t, 则k1+k2 得t=2,不符合题设 若/与x轴不垂直,可设l:y=kx+m(m≠1) 则由{x2 由题设可知A=16(4k2-m2+1)>0 设A(x1,y)B(x2,y2), 则x1+x2 4m2-4 4k2+1 4k2+1 而k+k、y-1,y2-1kx+m-1x+m-126x+(m-)x+x) 由题设知k1+k2=-1 所以(2k+1)xx2+(m-1)(x1+x2)=0 即(2k+1)x1x24k2+1 +(m-N4k2+1 0 解得k= m+1 m+1 所以:y x+m 所以l过定点(2,-1) 变式3:已知椭圆C:+)2=1(a>b>0),左焦点F(-30),且离心率e 直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N(M,N不是左、右顶点),且以 M为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标 证明:由题意可知:{e= 解得a=2,b=1 b 所以椭圆的方程为
) 2 4 ), , 2 4 , 2 2 t t t t − − − ( ( ,则 1 2 4 2 2 4 2 2 2 1 2 = − − + − − − + = t t t t k k , 得 t = 2 ,不符合题设. 若 l 与 x 轴不垂直,可设 l : y = kx + m(m 1) . 则由 + = = + 1 4 2 2 y x y kx m ,得 (4 1) 8 4 4 0 2 2 2 k + x + kmx+ m − = 由题设可知 16 4 1) 0 2 2 = ( k − m + . 设 , ), ( , ) 1 1 2 2 A(x y B x y , 则 4 1 4 4 , 4 1 8 2 2 1 2 2 1 2 + − = + + = − k m x x k km x x . 而 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ) x x k x x m x x x k x m x k x m x y x y k k + − + = + − + + − = − + − + = ( 由题设知 k1 + k2 = −1 所以 (2k +1)x1 x2 + (m−1)( x1 + x2 ) = 0 即 0 4 1 8 ( 1) 4 1 4 4 (2 1) 2 2 2 1 2 = + − + − + − + k k m m k m k x x , 解得 2 +1 = − m k . 所以 ( 2) 1 2 1 2 1 : − − + + = − + = − x m x m m l y 所以 l 过定点(2,-1). 变式 3:已知椭圆 C: 1( 0) 2 2 2 2 + = a b b y a x ,左焦点 F(− 3,0) ,且离心率 2 3 e = ,若 直线 l : y = kx + m(k 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ( M , N 不是左、右顶点),且以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标. 证明:由题意可知: = + = = = 2 2 2 2 3 3 a b c a c e c 解得 a = 2,b = 1 所以椭圆的方程为: 1 4 2 2 + y = x
由方程组{4+y2=1 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 △=(8km)2-4(1+4k24m2-4)>0 整理得4k2-m2+1>0 设M(x1,x2).N(x2,y2) 则 8km-,x2-1+ 4m2-4 x1+x)= 1+4k 由已知,AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0) (x1-2)x2-2)+yy2=0 yiy2=(kx+m(,+m)=k'x,x2+k(, +x2)+m 即(1+k)xx2+(km-2)x1+x2)+m2+4=0 也即(1+k)·4m2+(m-2,~8人四++4=0 整理得:5m2+16mk+12k2=0 解得m=-2或m=6k 均满足4k2-m2+1>0 当m=-2k时,直线的l方程为y=kx-2k,过定点(2,0)与题意矛盾舍去 当 时,直线的l方程为y=k(x-=),过定点(=,0) 故直线l过定点,且定点的坐标为 (二)双曲线中相关定点问题 例4.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于 A,B两点。在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标:若 不存在,请说明理由 解:假设在x轴上是否存在定点C(m,0),使CACB为常数 设A(x1,y)B(x2,y2)
由方程组 = + + = y kx m y x 1 4 2 2 1 4k ) 8 4 4 0 2 2 2 得( + x + kmx+ m − = (8 ) 4(1 4 )(4 4) 0 2 2 2 = km − + k m − 整理得 4 1 0 2 2 k − m + 设 ( , ), ( , ) 1 2 2 2 M x x N x y 则 2 2 1 2 2 1 2 1 4 4 4 , 1 4 8 k m x x k km x x + − = + + = − 由已知, AM ⊥ AN 且椭圆的右顶点为 A(2,0) (x1 − 2)(x2 − 2) + y1 y2 = 0 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 y y = (k x + m)(k x + m) = k x x + k m(x + x ) + m 即 (1 ) ( 2)( ) 4 0 2 1 2 1 2 2 + k x x + km− x + x + m + = 也即 4 0 1 4 8 ( 2) 1 4 4 4 (1 )) 2 2 2 2 2 + + = + − + − • + − + • m k k m k m k m k 整理得: 5 16 12 0 2 2 m + mk + k = 解得 5 6 2 k m = − k或m = − 均满足 4 1 0 2 2 k − m + 当 m = −2k 时,直线的 l 方程为 y = kx − 2k ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去 当 5 6k m = − 时,直线的 l 方程为 ) 5 6 y = k(x − ,过定点 ,0) 5 6 ( 故直线 l 过定点,且定点的坐标为 ,0) 5 6 ( (二)双曲线中相关定点问题 例 4.已知双曲线 2 2 2 x − y = 的左、右焦点分别为 1 2 F ,F ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点。在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CACB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若 不存在,请说明理由。 解:假设在 x 轴上是否存在定点 C(m,0) ,使 CACB 为常数. 设 , ), ( , ) 1 1 2 2 A(x y B x y
当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是:y=k(x-2)k≠±1), 由{=6(x-2 得:(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0 则△=16k4-4(1-k2)-(4k2+2)=8k2+8>0 所以CACB=(x1-m)x2-m)+k2(x1-2)x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+m(x1+x2)+4k2+m (k2+1(4k2+2)4k2(2k2+m) 2(1-2m)k2+2 + m k2-1 2(1-2m) 因为CA·CB是与k无关的常数 所以4-4m=0即m=1,此时CA·CB= 当AB与x轴垂直时,点A、B的坐标可分别设为(22(2,-√2 此时CACB=(1,2)(,-√2 综上所述:在x轴上存在定点C(1,0),使CA·CB为常数-1 (三)抛物线中相关定点问题 例5.已知抛物线C:y2=4x,直线l:y=kx+b与C交于A,B两点,O为坐标原点。当 直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求k,b之间满足的关系式,并证明直线l过定点。 解:抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2) 4 消x得ky2-4y+4b=0 (*)(依题意k≠0) y=kx+b y1+y2 V1V2 设直线OA,OB的倾斜角分别为a,B,斜率分别为k1,k2,则a+β=45
当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是: y = k(x − 2)(k 1) , 由 − = = − 2 ( 2) 2 2 x y y k x 得: 1 ) 4 (4 2) 0 2 2 2 2 ( − k x + k x − k + = 则 16 4(1 )[ (4 2)] 8 8 0 4 2 2 2 = k − − k − k + = k + 1 4 2 , 1 4 2 2 2 1 2 2 1 2 − + = − + = k k x x k k x x 所以 )( ) ( 2)( 2) 1 2 2 CACB =(x1 − m x2 − m + k x − x − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 4 4 2(1 2 ) 1 2 1 2 ) 2 4 1 4 (2 ) 1 ( 1)(4 2) 1) (2 )( ) 4 m k m m m k m k k m k k k m k k k k x x k m x x k m + − − = − + + − − + = + + − + − − + + = = + − + + + + ( ( 因为 CACB 是与 k 无关的常数 所以 4− 4m = 0 即 m =1,此时 CACB = −1 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A、B 的坐标可分别设为 (2,2),(2,− 2) 此时 CACB =(1,,2)( 1,− 2)= −1 综上所述:在 x 轴上存在定点 C(1,0),使 CACB 为常数−1 (三)抛物线中相关定点问题 例 5. 已知抛物线 C : y 4x 2 = ,直线 l : y = kx + b 与 C 交于 A, B 两点, O 为坐标原点。当 直线 OA,OB 的倾斜角之和为 45°时,求 k ,b 之间满足的关系式,并证明直线 l 过定点。 解:抛物线 C : y 4x 2 = 的焦点为(1,0),设 , ), ( , ) 1 1 2 2 A(x y B x y 联立 = + = y kx b y 4x 2 ,消 x 得 4 4 0 2 ky − y + b = ………………(*)(依题意 k ≠0) k y y 4 1 + 2 = , k b y y 4 1 2 = , 设直线 OA,OB 的倾斜角分别为α,β,斜率分别为 1 k , 2 k ,则α+β=45°
na+)=an450,k+k2 1-kk2 其中k==4 代入上式整理得yy2-16-4(y1+y2) 16 所以一-16 即b=4k+4 k 此时,使(*)式有解的k,b有无数组 直线/的方程为y=kx+4k+4,整理得k(x+4)=y-4 消去{ y-4=0 即 时k(x+4)=y-4恒成立 所以直线l过定点(-4,4) 变式1:已知定点M(xy)在抛物线m:y2=2px(p>0)上,动点A,B∈m且 MA·MB=0.求证:弦AB必过一定点 解:设AB所在直线方程为:x=my+n x= my+ n 与抛物线联立方程 ,消去x得 设A(x,y1),B(x2,y2) 则y+y2=2pm 几1y2 由已知MA·MB=0得, KUKA=-1 V1=yo V2=Vo x-x。=1(y2-y)2p (y1-y0)(y1+y) 2-y2)=-(y2-y0)(2+y)
0 tan( + ) = tan 45 , 1 1 1 2 1 2 = − + k k k k 其中 1 1 1 1 4 x y y k = = , 2 2 4 y k = ,代入上式整理得 16 4( ) 1 2 1 2 y y − − y + y 所以 k k b 16 16 4 − = ,即 b = 4k + 4, 此时,使(*)式有解的 k ,b 有无数组 直线 l 的方程为 y = kx + 4k + 4 ,整理得 k(x + 4) = y − 4 消去 − = + = 4 0 4 0 y x ,即 = = − 4 4 y x 时 k(x + 4) = y − 4 恒成立, 所以直线 l 过定点(-4,4) 变式 1:已知定点 0, 0 M x y ( ) 在抛物线 m : 2 y px = 2 ( p >0)上,动点 A B m , 且 MA MB = 0 .求证:弦 AB 必过一定点. 解:设 AB 所在直线方程为: x my n = + . 与抛物线联立方程 = = + y px x my n 2 2 ,消去 x 得 2 y pmy pn − − = 2 2 0 . 设 1 1 A x y ( , ), 2 2 B x y ( , ) 则 1 2 y y pm + = 2 ……① 1 2 y y pn = −2 ……② 由已知 MA MB = 0 得, 1 K K MA MB = − . 即 1 2 0 2 0 1 0 1 0 = − − − − − x x y y x x y y ……③ ∵ 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 ( ) ( )( ) 2 2 x x y y y y y y p p − = − = − + 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 1 1 ( ) ( )( ) 2 2 x x y y y y y y p p − = − = − +
③式可化为_2P.2P V, yo y2+ ye 即4p2=-[yy2+y(+y2)+y2] 将①②代入得,n=2p+mv0+x0 直线AB方程化为:x=m+2p+x+m0=m(+y)+x0+2p 直线AB恒过点(x+2p,-y) 变式2:过直线x=-2的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA,PB,其中A,B为切点, 求证:直线AB恒过定点 证明:设A(1,21),B(t2,212) 所以直线AB方程:y-21= h1+l2l1+2 由于A,B为切点,当y>0时,y=2x,y1 所以k1 ,k。1 I2 又k1 得12-m1 t1+2t1 同理:t2-m2-2=0 所以t,2是方程t2-m-2=0的两根 所以12=-2 2 所以y+2“+-2) 即直线AB恒过定点(20)
∴③式可化为 1 2 2 1 0 2 0 = − + + y y p y y p , 即 2 2 1 2 0 1 2 0 4 [ ( ) ] p y y y y y y = − + + + . 将①②代入得, 0 0 n p my x = + + 2 . 直线 AB 方程化为: 0 0 0 0 x my p x my m y y x p = + + + = + + + 2 ( ) 2 . ∴直线 AB 恒过点 0 0 ( 2 , ) x p y + − . 变式 2:过直线 x = −2 的动点 P 作抛物线 y 4x 2 = 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点, 求证:直线 AB 恒过定点 证明:设 ,2 ), ,2 ) 2 2 1 2 2 1 A(t t B(t t 所以直线 AB 方程: ( ) 2( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 x t t t t t y t − − − − = , 即 1 2 1 2 1 2 2 2 t t t t x t t y + + + = , 由于 A, B 为切点,当 y 0 时, x y x y 1 2 , ' = = 所以 2 2 1 1 1 , 1 t k t k = = 又 1 2 1 1 1 1 2 2 t t t m k = + − = 得 1 2 0 2 t 1 − mt − = 同理: 2 2 0 2 t 2 − mt − = 所以 1 2 t ,t 是方程 2 0 2 t − mt − = 的两根 所以 t 1 t 2 = −2 所以 ( 2) 2 4 2 1 2 1 2 1 2 − + = + − + + = x t t t t x t t y 即直线 AB 恒过定点 (2,0)