高中数学-复数考题分类解析.doc_大学文库

复数考题分类解析复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 1i 的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。（3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算例 1 i 是虚数单位， 2 3 8 i 2i 3i 8i + + + + = ．（用 a b + i 的形式表示， a b ， R ）解：原式＝ i －2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查 i 1 2 = − 的实际应用问题。例 2 若 a 为实数， 2 i 2i 1+ 2i + a = − ，则 a 等于（） A． 2 B． − 2 C． 2 2 D． −2 2 解析：由已知得：等式左边＝ i ai i a a 3 2 2 3 2 2 3 (2 )(1 2 ) − + + = + − 由复数相等的充要条件知：        = − − = + 2 3 2 2 0 3 2 2 a a ，所以 a＝ − 2 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。例 3 若复数 (1 )(2 ) + + bi i 是纯虚数（ i 是虚数单位， b 是实数），则 b = （） A．2 B． 1 2 C． 1 2 − D． −2 解析： (1 )(2 ) + + bi i ＝ (2 − b) + (2b +1)i ，因为 (1 )(2 ) + + bi i 是纯虚数，因此    +  − = 2 1 0 2 0 b b 所以 b＝2。点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。例 4 若 3 5 π π 4 4        ，，则复数 (cos sin ) (sin cos )i     ++− 在复平面内所对应的点

在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解析：复数的实部 a ＝ ) 4 cos sin 2 sin(   +  =  + ，虚部 b ＝ ) 4 sin cos 2 sin(   −  =  − ，因为 4 5 4 3      ，所以          +   −  2 4 , 2 3 4 ，所以 ) 0 4 sin( +    ， ) 0 4 sin( −    ，即 a0，所以复数对应的点在第二象限。点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成 a +bi 的形式，并且准确的判断出 a、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查例 4．复数 z a b a b = +  i，， R ，且 b  0 ，若 2 z bz − 4 是实数，则有序实数对 ( ) a b ，可以是．（写出一个有序实数对即可）解析：因为 2 z bz − 4 ＝ (a b 4ab) (2ab 4b )i 2 2 2 − − + − 是实数，所以有 2 4 0 2 ab − b = ，因为 b  0 ，所以 a = 2b ，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。点评：本题考查复数的概念但是题目新颖具有开放性，这种考查分式应该引起我们的关注。 4、考查复数方程问题复数方程问题是高考考查一个重点，从近几年考题看，解决这类问题主要是复数问题实数化，设出复数 z＝x＋yi 形式，利用复数相等的定义转化为关于实数 x，y 的方程组求解。例 5、设 x 、 y 为实数，且 i i y i x 1 3 5 1 1 2 − = − + − ，则 x + y =___. 解：由 i i y i x 1 3 5 1 1 2 − = − + − 知， 5 (1 ) (1 2 ) (1 3 ) 2 5 10 x y + + + = + i i i ，即 5 (1 ) 2 (1 2 ) 5(1 3 ) x i y i i + + + = + ，即 (5 2 5) (5 4 15) 0 x y x y i + − + + − = ，故 5 2 5 0, 5 4 15 0. x y x y  + − =   + − = 解得 1, 5. x y  = −   = x y + = 4 。点评：本题考查了复数的化简、乘法、除法以及复数相等。例 6、（2006 年上海春卷）已知复数 w 满足 w − 4 = (3 − 2w)i ( i 为虚数单位）， | 2| 5 = + w − w z ，求一个以 z 为根的实系数一元二次方程. [解法一] 2 i 1 2i 4 3i (1 2i) 4 3i, = − + +  w + = +  w = ， | i | 3 i 2 i 5 + − = + −  z = . 若实系数一元二次方程有虚根 z = 3 + i ，则必有共轭虚根 z = 3 − i .  z + z = 6, z z =10，  所求的一个一元二次方程可以是 6 10 0 2 x − x + = . [解法二] 设 w = a + bi (a、bR)