经全国中小学教材审定委员会 2006年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修3-1 数学史选讲 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人AA 版
目录 引言 ……………1 第一讲早期的算术与几何 2 古埃及的数学…………………………2 二两河流域的数学 丰富多彩的记数制度 第二讲古希腊数学 希腊数学的先行者 13 毕达哥拉斯学派 三欧几里得与《原本》……… 17 四数学之神——阿基米德……………21
第三讲中国古代数学瑰宝 …………………………23 《周髀算经》与赵奭弦图……… 24 《九章算术》 25 三大衍求一术………… 29 四中国古代数学家 31 第四讲平面解析几何的产生…… 36 坐标思想的早期萌芽 …36 笛卡儿坐标系………………………37 三费马的解析几何思想……… 四解析几何的进一步发展……………………41 第五讲微积分的诞生…………43 微积分产生的历史背景 13 科学巨人牛顿的工作……… …45 PHILASO 三菜布尼茨的“微积分”…… 17 4-4THIMATA PRINCI 第六讲近代数学两巨星……………51 分析的化身—欧拉 51 数学王子—高斯 …………55 第七讲千古谜题 60 三次、四次方程求根公式的发现……………60 高次方程可解性问题的解决……………62 伽罗瓦与群论 四\古希腊三大几何问题的解决………………67
第八讲对无穷的深人思考 古代的无穷观念 71 二无穷集合论的创立……………73 三集合论的进一步发展与完善… 第九讲中国现代数学的开拓与发展 80 一中国现代数学发展概观…………………80 二人民的数学家——华罗庚………………82 三当代几何大师——陈省身… 学习总结报告 …91
系 引官 当我们开始认识这个世界时,数学就和我们在一起了.同学们在进入小学之前,就已 经开始认识和使用阿拉伯数字,这是进入数学殿堂的开端,至今大家已经掌握了大量数学 知识。那么,这些数学知识是如何产生和发展的呢?比如,最早的数学知识都诞生在哪些 地方,为什么像2、3以及π这样的数称为无理数,几何问题为什么要进行推理证明,等 等.这些问题你考虑过吗?你想了解数学家们是如何思考这些问题的吗? 数学知识的形成过程与人类认识自然的历史一样漫长,是随着人类社会的生活、生产 活动而自然产生、发展和成熟的.现在看起来很自然的一些数学概念(例如无理数、负 数、0等),历史上却经历了漫长的过程才被接受,它们是许多学者前赴后继、辛勤耕耘的 结果.数学是一门历史性或积累性很强的学科.数学史记载了这门学科发生、发展的过 程,展现了其深刻内涵和完美形式背后激动人心的灵感、睿智的思想和孜孜不倦的探索精 神 “历史使人明智”.学习一些数学史知识,可以使同学们了解数学的发展轨迹,更好地 体会数学概念所反映的思想方法,感受数学家们刻苦钻研和勇于开拓的精神,这对开阔视 野、启发思维以及学习和掌握数学知识都大有益处 本书选取数学史中一些典型的、重要的专题,例如,早期算术与几何,中国古代数学 瑰宝,微积分的产生,近代数学两巨星,康托尔的集合论等等,介绍了一些常见数学概 念、理论和方法的来源、典故及历史演变过程,以此反映不同时期数学发展的水平和特 点 数学的历史源远流长,内涵丰富.希望同学们通过本书所展示的数学发展过程中若干 重要事件、重要人物和重要成果,初步了解数学产生与发展的过程,体会数学对人类文明 发展的作用,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神
早期的算术与几何 第一讲 记数与测量 尼罗河下游的古埃及、两河流域的古巴比伦、恒河与印度河畔的古代印度以及黄河与 长江流域的古代中国并称“四大文明古国”,创造了灿烂辉煌的“河谷文明”,早期的数学 就诞生在这些地方 人类在长期的生产实践和与自然斗争的过程中,逐渐掌握了丰富的科学知识.土地面 积的丈量、商品的交易以及大规模宫殿的建造,无疑都要使用较高深的数学知识 在大量的生产和生活实践活动的基础上,四个地区的古代先民们对数学—空间形式 和数量关系的研究各具特色,成绩斐然.就已有的数学史料看,古埃及与古巴比伦的数学 历史最为久远 古埃及的数学 古埃及位于非洲东北部的尼罗河两岸.公元前525年,波斯入侵,埃及成为波斯帝国 的一个郡.公元前332年以后,该地区处于希腊人的统治之下,所创造的数学归入希腊数 学的范围.而古埃及数学一般指公元前6世纪以前这个地区所创造的数学 1.象形文字中的数字记法 古埃及最古老的文字是象形文,大约在公元前3000年就已形成,如图1-1 亠g》←二 》志y西 图1-1古埃及的象形文 在古埃及的象形文中已经出现代表数字的各种符号,各个符号所代表的数字如图12 所示.进位的基数是10,每个数字可能有几种写法1就是一个竖划,2到9依次累加, 10像拱门,100是一卷绳,1000像荷花,10000是一个指头,有时向左弯,有时向右弯, 1o0000有好几种写法,有时像青蛙或蝌蚪,有时像江鳕鱼或小鸟.在古埃及的第1王朝
第一讲早期的术与几何 第一 还出现过10的符号,像埃及的空间之神,最大的单位是10, 像初生的太阳其他的数可以通过这些数的简单累积来表示,伸 如数1235可以写作eenn E⊥A 在这种记数方法中,每一个较高的单位都要创设一个新符 号,记数时有多少单位就要重复多少次,上下左右书写均可.图12象形文中的数字 但符号毕竟是有限的,记太大的数就会显得捉襟见肘. 在远古时代,人们使用分数的需要还不迫切,但随着生产力的发展和人类文明的进 步,特别是进入青铜时代以后,分数及分数符号的产生就显得尤为重要,而且不可避免 象形文中用一种特殊的记号来表示分子为1的分数,这样的分数又称为单分数:在表示整 数的符号上画一个简单的椭圆,就表示该整数的倒数,如写成富,1写成,写成 下…在古埃及的另一种文字僧侣文中也有相应分数的记法 这些数字散见于古埃及时代的陶片、石头、木头或纸草上,在坟墓内、庙宇的墙上及 方尖塔上也能够见到 2.纸草书上的数学 在尼罗河三角洲地区盛产一种形如芦苇的水生植 物纸草.古埃及人用削尖的芦杆蘸上黑色或红色 颜料把文字写在纸草上 埃及的纸草文书为后世留下了大量珍贵的历史资 料,其中与数学有关的纸草书有两本.一本称为“莱 因德纸草书”,归伦敦大英博物馆所有,大约产生于公 元前1650年.另一本称为“莫斯科纸草书”,收藏在莫 斯科国立造型艺术博物馆.这本纸草书产生于公元前 1850左右,比莱因德纸草书产生得早,但重要性要稍 逊于莱因德纸草书 这两本数学纸草书都是用僧侣文写成的,全书共莱因德纸草书(上为全景下为騎部 有84个题目,是我们认识古埃及数学的主要依据.莱 因德纸草书的开头写到:“准确的计算,阐明一切黑暗的、秘密存在的事物的指南.”本书 大概是当时一种实用的计算手册,记述千余年来的一些数学问题 单分数 埃及数学中有一个独特现象:除用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若 干个单分数和的形式。莱茵德纸草书在前言之后就给出了形如2(m=5,7,9,…,101) 的分数分解为单分数和的表.利用这张表就可以把其他分数分解成单分数和的形式 埃及人为什么如此偏爱单分数,这个问题至今仍是一个未解之谜.有一种观点认为
CHAPTER 通高中课程标准买验歉科书数竽(谚修31 单分数就是从实际问题中产生的.假定有两个面包,要平均分配给5个人,问怎样分?如 果每人是不够,每人喜,余言再将这号分成5份,每人得吉这样每人分得十 再者,按埃及人的除法,所得的商是单分数之和.也许由于这些原因,单分数就成为古埃 及数学的一大特色 算木运算 僧侣文的记数法属于分级符号制(详见第1页),整数的加减法很简单,只要将表示 数目的符号累积起来,再转写成相应的符号即可.但分数的加减法却相当复杂,因为所有 的分数都要化成单分数 乘法是累加法,是以“倍乘”(即乘2)及“平分”(即乘)为基础进行的以25×18 为例(用现代的符号和术语): 25被乘数 8200 16 400 乘数18450积 先写125(表示1×25=25)作为第1行,再写250(表示2×25=50),以下同样 逐次加倍,加到16可不必再加,因为再加下去就超过乘数18了.从左列数(1,2,4, 8.…)中选出若干个,使其凑成18.本例是2与16,各打上*号,再将右列中与*号对 应的数相加,即得25×(2+16)=50+400=450 除法的原理一样,只不过将步骤颠倒过来 代数问题 书中有几个问题属于现在代数中的一元一次方程问题,其中一个是这样的:一个量 加上自身的七分之一等于19.现在的解法很简单,列方程为x+5=19.解得x=16 纸草书中的解法却非常烦琐,但结果却是正确的 几何问题 在纸草书上出现了一些求面积(如三角形、圆的面积)和体积(如四棱台体)的题 但得到的结果总体来说还不够精确.可以看出,尽管埃及是几何学的发源地,但其几何水 平却不高,始终处在实验阶段,还没有将它发展为系统的、理论的学科, 3几呵学的诞生 尼罗河是埃及的母亲河,通常在每年的7月中旬定期泛滥,11月后洪水逐渐消退,留 下肥沃的淤泥.这样来年就容易耕作,庄稼的丰收也就有了保障.埃及的几何学就起源于 尼罗河泛滥后的土地测量,这种说法最早出自古希腊的历史学家希罗多德( Herodotus
第一讲早期的算术与几何 第坪 约公元前484前424),他说:“塞索斯特里斯在全体埃及居民中把埃及的土地作了一次 划分.他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年向他缴纳租金, 作为他的主要收入.如果河水冲走了某人分得土地的任何一部分,这个人就可以将此事告 知国王,国王就会派人前来调查并测量损失地段的面积.今后的租金就要按照减少后的土 地面积来征收了.我想正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊人又 从那里学到了它” 埃及由土地的测量促使几何学的兴起,那些从事土地测量的人员有一个专名,叫做 “拉绳者”,可以说,这些拉绳者就是当时的几何学家 古埃及的“拉绳者” 古希腊的亚里士多德( Aristotle,公元前384前322)则从另一个角度说明几何学起 源于埃及,他在《形而上学》中写道:“在实用的技术发明之后,那些井不直接为生活的 需要或满足的科学才会产生出来.它首先出现在人们有闲暇的地方,数学科学最早在埃及 兴起,就是因为那里的祭司阶层享有足够的闲暇.” 从纸草书中记载的三角形、圆以及棱台体积的计算内容看,虽然埃及是儿何学的发源 地,但始终停留在实验阶段,几何学知识是零碎的、片段的,尚未形成完整的体系,还缺 乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明,似乎还不知道勾股定理.直到公元前4世纪希腊 人占领了该地区以后,情况才发生了根本的变化 二两河流域的数学 亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的地带,通常叫做美索布达米亚平原,美索 布达米亚语出希腊文,意思是“两河之间的地区”,故而这个地区也称为两河流域(今伊 拉克境内).像尼罗河一样,两河流域也是人类文明的摇篮.从公元前3000年到前200 年,这一地区(在今伊拉克和伊朗西部)所创造的数学,习惯统称为巴比伦数学 早在公元前四、五千年,两河流域的苏美尔人用削尖的芦苇杆或木棒在软泥板上写 字,泥板晒干后坚硬如石.由于这样的字形状像楔子,所以这种文字称为楔形文.苏美尔 人后,各民族继续使用楔形文,只是不同时期所使用的有所不同
CHAPTER 通高中课程标准实验教科书数学(选修31 1.楔形文字中的记数法 19世纪初开始,两河流域陆续出土了大约50万块泥板.从内容看,几十万块泥板中 属于数学的仅300块左右,其中约200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方表和立 方表等. 苏美尔人创造了锲形文字,后来传给了巴比伦人,巴比伦人发展成一套记数方法,是 10进和60进的混合物.60以下用10进的简单累数制,60以上用60进的位值制 在巴比伦的楔形文字中,数码符号只有两个:7表示1,<表示10.一个7表示1, 两个7表示2……九个7表示9.超过9的,一个表示10,两个<表示20……大于59 的数,巴比伦人则采用60进的位值记法.同一记号,根据它在数字表示中相对位置的不 同赋予不同的值.图1-3给出了1到130的数字符号 77mWWw册淠< qq收“TKKT7 122030 607080120130 图13楔形文中的数字 其中, =60×2+10=130 2泥板上的代数 从泥板的数学内容可以看出,古巴比伦人不但能计算各种复杂的算术问题,而且给出 了乘法表,并能求解一元二次方程 我们知道,代数与算术的根本区别在于代数引入了用符号表示的未知数,根据已知条 件列出方程,对未知数加以运算,最后解方程求出未知数.如果说未知数、符号和方程是 代数学的基本特征,那么代数只能说开始于法国数学家韦达(F. Vieta,1540-1603)等 人引进代数符号的16.17世纪.如果放宽条件,把引入未知数,可对未知数进行运算都 归入到代数的范畴,那么代数学至少在古埃及的纸草书和古巴比伦的泥板上就已经出 现了 在现藏美国耶鲁大学的一块古巴比伦数学泥板上,有一个典型的代数问题:已知两数 的积为60’,差为7,求这两个数.将泥板正反两面的楔形文字翻译过来就是计算过程 这个计算过程,除进位制不同之外.和现代的二次方程的求根公式完全一致,在数学 泥板中,这种二次方程的例子数以百计.这充分说明,虽然不具备现代的形式,但巴比伦 人已经知道二次方程的求根公式不过他们还不知道负数,因此,也不知道二次方程有两 个根 更加令人不可思议的是,巴比伦人甚至已经知道如何求解指数方程.例如有这样一个 复利问题:有一笔钱,年利率为20%,问经过多长时间后利息与本金相等?这实际上是求 6