等比数列与等比数列求和错解剖析 等比数列是重要的数列,学习中由于对等比数列的概念、公式及性质没有准确的理解 和把握,常常出现一些不该出现的错误。本文剖析如下: 例1.若a,2a+2,3a+3成等比数列,则实数a的值是() D、1或4 解:因为a,2a+2,3a+3成等比数列,所以(2a+2)2=a(3a+3),整理得a2+5a+4=0 解得a=-1或a=-4,因为当a=-1时,2a+2,3a+3均为0,所以a≠-1,故选B 易错点剖析:由等比数列的定义可知其每一项都可能作为分母,故每一项都不能为0,一般 地,a,b,c成等比数列与b2=ac(b≠0)是等价的,忽视b≠0就会产生错误。所以本题 容易错误选择C。事实上,当a=-1时,2a+2,3a+3均为0,不可能成等比数列。 例2.设{an}是由实数构成的等比数列,若a2=1,a10=16,则a6的值为 解:因为a6=a2a10=1×16=16,所以a6=4或a=4 因为a2=1>0,a6=a2q2>0,所以a6=4 易错点剖析:在解题时一定要注意挖掘题中的隐含条件,并进行必要的检验。解题时忽略了 a为正这一隐含条件。即等比数列的奇数项的符号相同,偶数项的符号相同,本题中第2、 6、10项分别是偶数项,所以符号的相同的,都是正数。 例3若等比数列{an}中,已知asS 前3项和S=2,求通项an 解:当q=1时,求得2’此时a5 当q≠1时,据题意有 a(-y)1S·解/ 2,此时an=10·( q 综上知an2 5或=0(-,) 易错点剖析:在运用等比数列前n项和公式求解时,千万不要忘记q≠1这一隐含条件。因 此处理等比数列求和问题时,要对q分q≠1和q=1讨论。本题出现的错误是求出数列的 通项公式是an=10·(-)”。所以在解决数列求和问题时,一定注意对公比q的讨论
等比数列与等比数列求和错解剖析 等比数列是重要的数列，学习中由于对等比数列的概念、公式及性质没有准确的理解 和把握，常常出现一些不该出现的错误。本文剖析如下： 例 1．若 a a a ,2 2,3 3 + + 成等比数列，则实数 a 的值是（ ） A、-1 B、-4 C、-1 或-4 D、1 或 4 解：因为 a a a ,2 2,3 3 + + 成等比数列，所以 (2 2) (3 3) 2 a + = a a + ，整理得 5 4 0 2 a + a + = ， 解得 a a = − = − 1 4 或 ,因为当 a =−1 时， 2 2,3 3 a a + + 均为 0，所以 a −1 ，故选 B. 易错点剖析：由等比数列的定义可知其每一项都可能作为分母，故每一项都不能为 0，一般 地，a，b，c 成等比数列与 ( 0) 2 b = ac b 是等价的，忽视 b 0 就会产生错误。所以本题 容易错误选择 C。事实上，当 a =−1 时， 2 2,3 3 a a + + 均为 0，不可能成等比数列。 例 2.设 { } an 是由实数构成的等比数列，若 a2 =1,a10 =16 ，则 6 a 的值为_________. 解：因为 2 10 1 16 16 2 a6 = a a = = ，所以 a6 = -4 或 a6 = 4 ， 因为 a2 =1 0， 0 2 a6 = a2q ，所以 a6 = 4 。 易错点剖析：在解题时一定要注意挖掘题中的隐含条件，并进行必要的检验。解题时忽略了 6 a 为正这一隐含条件。即等比数列的奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，本题中第 2、 6、10 项分别是偶数项，所以符号的相同的，都是正数。 例 3 若等比数列 { } an 中，已知 2 5 a3 = ，前 3 项和 2 15 S3 = ，求通项 n a . 解：当 q＝1 时，求得 2 5 a1 = ，此时 2 5 an = ； 当 q 1 时，据题意有 = − − = 2 15 1 (1 ) 2 5 3 1 2 1 q a q a q ，解得 = = − 10 2 1 a1 q ，此时 1 ) 2 1 10 ( − = − n an ， 综上知 2 5 an = 或 1 ) 2 1 10 ( − = − n an . 易错点剖析：在运用等比数列前 n 项和公式求解时，千万不要忘记 q 1 这一隐含条件。因 此处理等比数列求和问题时，要对 q 分 q 1 和 q＝1 讨论。本题出现的错误是求出数列的 通项公式是 1 ) 2 1 10 ( − = − n an 。所以在解决数列求和问题时，一定注意对公比 q 的讨论
例4.设等比数列{an}的前n项和为Sn 解一:根据等比数列的性质知S42S3-S4,S12-S8成等比数列, 则(S3-S4)2=S4(S2-S3),又由=3,得S4=S3,代入上式得 (S3-S3)2=S8(S2-S),整理得S27 解二:设公比为q,则8= S& S4+a, 9+a,+a3q+aq q+=3→q4=2,于 1+q+q 1+2+47 1+23 易错点剖析:本题易错点是等比数列的性质不清,理解不透,出现这样错误:因为已知条件 和所求式中,S42S3S12下标为4,8,12成等差数列,因此S4,S3S12成等比数列,于是 S=5n=3,正确理解是当等比数列的和的下标成等差数列则是S,S-S,S2-S成等比 数列。 例5已知数列{an}的前n项和为Sn,且log1Sn=n+,则数列{an}是() (A)公比为√2的等比数列B)公差为√2的等差数列 (C)公比为一的等比数列 (D)既非等差也非等比数列 解:当n=1时,a1=S1 当n≥2
例 4. 设等比数列 { } an 的前 n 项和为 n S ，若 3 4 8 = S S ，则 8 12 S S =_____。 解一：根据等比数列的性质知 4 8 4 12 8 S ,S − S ,S − S 成等比数列， 则 ( ) ( ) 4 12 8 2 S8 − S4 = S S − S ，又由 3 4 8 = S S ，得 4 8 3 1 S = S ，代入上式得， ( ) 3 1 ) 3 1 ( 8 12 8 2 S8 − S8 = S S − S ，整理得 8 12 S S = 3 7 。 解二：设公比为 q，则 4 8 S S 4 4 4 4 3 4 2 4 4 1 S S + a q + a q + a q + a q = 4 4 4 (1 ) S + q S = 1 3 2 4 4 = + q = q = ，于是 8 12 S S 4 4 4 4 8 (1 ) (1 ) q S q q S + + + = 1 2 1 2 4 1 1 4 4 8 + + + = + + + = q q q = 3 7 。 易错点剖析：本题易错点是等比数列的性质不清，理解不透，出现这样错误：因为已知条件 和所求式中， 4 8 12 S ,S ,S 下标为 4，8，12 成等差数列，因此 4 8 12 S ,S ,S 成等比数列，于是 4 8 S S = 8 12 S S =3，正确理解是当等比数列的和的下标成等差数列则是 4 8 4 12 8 S ,S − S ,S − S 成等比 数列。 例 5 已知数列 { }n a 的前 n 项和为 n S ，且 1 2 1 log 2 n S n = + ，则数列 { }n a 是（ ）. （A）公比为 2 的等比数列 （B）公差为 2 的等差数列 （C）公比为 1 2 的等比数列 （D）既非等差也非等比数列 解：当 n=1 时， 3 2 1 1 1 2 a S = = ， 当 n≥2 时， 1 2 1 1 2 n n n n a S S + − = − = − ， 3 3 2 2 1 1 1 2 2 a = −
所以选择D 易错点剖析:求解本题常见错误是公式成立的条件没有记住,an=Sn-Sn1对n≥2成立, 而对n=1时却未必成立,同学们在解题的过程忽略了n≥2这一隐藏条件,而导致了判断 的错误错解:∵an=S-Sn=-2 )…段-C 例6.已知a,b,C,d成等比数列,且abcd=16,bd=4,则a+b+c+d的值为() 8或 D、8或-8或0 解:由题设,设这四个数分别为a4,y3,所以y=16 解得q 当q=1时,a=2或a=2,所以这四个数分别为2,2,2,2或2,-2,-2,-2,其和为8或8 当q=-1时a=2或a=-2,使用这四个数分别为2,-2,2,-2,或-2,2,-2,2,其和为0 故选D 易错点剖析:本题常见错误是对四个数的设出现问题,如下解法是错误的,设这四个数分别 为“,,g,则.aga32=16,所以a2=16,解得a=2或a=-2;当a=2时, 由·cg3=4,得q=域或g=-1,所以这四个数分别为2,2,2,2,或2,-2,-2,-2, 其和为8或8;当a=-2时,同理可得a,b,c,d的和为8或-8,故错选C当四个数成等比 数列时,不能设为 ggag,这样设等于视公比为q2(正数),忽视了公比为负的情 况。所以产生失解现象
∴ 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 ( 2) 2 n n n a n + = = − ≥ ，所以选择 D。 易错点剖析：求解本题常见错误是公式成立的条件没有记住， n n n 1 a S S = − − 对 n≥2 成立， 而对 n =1 时却未必成立，同学们在解题的过程忽略了 n≥2 这一隐藏条件，而导致了判断 的错误.错解：∵ 1 2 1 1 1 1 2 2 n n n n n n a a S S a + + − = − = − = ， ，选（C）。 例 6. 已知 a b c d , , , 成等比数列，且 abcd bd = = 16, 4, 则 a b c d + + + 的值为（ ） A、8 B、-8 C、8 或-8 D、8 或-8 或 0 解：由题设，设这四个数分别为 2 3 a,aq,aq ,aq ，所以 = = 4 16 2 4 4 6 a q a q ，解得 q = 1 当 q=1 时，a=2 或 a=-2，所以这四个数分别为 2，2，2，2 或-2，-2，-2，-2，其和为 8 或-8. 当 q=-1 时 a=2 或 a=-2，使用这四个数分别为 2，-2，2，-2，或-2，2，-2，2，其和为 0， 故选 D. 易错点剖析：本题常见错误是对四个数的设出现问题，如下解法是错误的，设这四个数分别 为 3 3 , ,aq,aq q a q a ，则 16 3 3 aq aq = q a q a ，所以 16 4 a = ，解得 a a = = − 2 2 或 ; 当 a = 2 时， 由 4 3 aq = q a ，得 q q = = − 1 1 或 ，所以这四个数分别为 2，2，2，2，或-2，-2，-2，-2， 其和为 8 或-8;当 a =−2 时，同理可得 a，b，c，d 的和为 8 或-8，故错选 C.当四个数成等比 数列时，不能设为 3 3 , ,aq,aq q a q a ，这样设等于视公比为 2 q （正数），忽视了公比为负的情 况。所以产生失解现象