数列的前n项和求解方法 知识图谱 分组求和 数列前n项和的求法( 第08讲_数列前n项和的求法 相消法求和 数列前n项和的求法( 错位相减法求和 数列前n项和的求法(一) 知识精讲 数列的求和方法 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和 (1)等差数列的求和公式m+a≠n+2d 2 (q=1) (2)等比数列的求和公式Sn={a(-q") ≠ (切记:公比含字母时一定要讨论) 2.分组求和法:把数列的前n项和分成若干组,分别求和,再相加 3.合并求和法:如求1002-99+982-972+…+22-2的和为n2-(n-1)2=2n-1的求 和 4.倒序相加法:如等差数列求和公式的推导 1
1 数列的前 n 项和求解方法 一．数列的求和方法 1. 直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和． （1）等差数列的求和公式： 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n n n a a n n S na d + − = = + ； （2）等比数列的求和公式 1 1 ( 1) (1 ) ( 1) 1 n n na q S a q q q = = − − （切记：公比含字母时一定要讨论）. 2. 分组求和法：把数列的前 n 项和分成若干组，分别求和，再相加． 3．合并求和法：如求 2 2 2 2 2 2 100 99 98 97 2 1 − + − + + − 的和为 ( ) 2 2 n n n − − = − 1 2 1 的求 和. 4. 倒序相加法：如等差数列求和公式的推导. ·知识图谱· · ·错题回顾· · 数列前 n 项和的求法（一） ·知识精讲· ·
5.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等. 吕受·三点剖析 必备公式 Sk=1+2+3+…+n=(n少 ∑k2=1+2+32+…+n2=m+)2n+ k3=13+23+33 n(n+1) 题模精选 题模一分组求和法 例L.1.1已知数列{an}的前n项和为Sn=2"-1,bn=an+ 则数列{bn}的前n项和为 D.2"1+n2+1 【答案】C 【解析】∵bn=an+2n-1, ∴数列{b}的前n项和=Sn+1+3+…+(2n-1) =2n-1+ n(1+2n-1) 例1.2已知数列{an}中,a=1,an=(-1)(an+1),记S为{an}前项的和,则S23= 【答案】-1005 【解析】∵a1=1,an+1=(-1)n(an+1), 从而可得数列{an}是以4为周期的数列 ∴S2013=a1+a2+a3+…+a201 (a1+a2+a3+a4)×503+a2013 2
2 5. 其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等. 一. 必备公式 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n = + = + + + + = ； 2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n k n n n k n = + + = + + + + = ； 2 3 3 3 3 3 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n = + = + + + + = . 题模一：分组求和法 例 1.1.1 已知数列 { }n a 的前 n 项和为 2 1 n n S = − ， 2 1 n n b a n = + − ，则数列 { }n b 的前 n 项和为 （） A． 1 2 2 1 n n − + − B． 1 2 2 2 1 n n − + − C． 2 2 1 n + − n D． 1 2 2 1 n n − + + 【答案】C 【解析】∵bn＝an＋2n－1， ∴数列{bn}的前 n 项和＝Sn＋1＋3＋…＋（2n－1） (1 2 1) 2 1 2 n n n + − = − + ＝2 n－1＋n 2． 例 1.1.2 已知数列 an 中， 1 a = 1， 1 ( 1) ( 1) n n n a a + = − + ，记 n S 为 an 前项的和，则 2013 S = ________． 【答案】－1005 【解析】∵a1＝1，an＋1＝（－1）n（an＋1）， ∴a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2… 从而可得数列{an}是以 4 为周期的数列 ∴S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013 ＝（a1＋a2＋a3＋a4）×503＋a2013 ·三点剖析· · ·题模精选· ·
503×(1-2-1+0)+1=-1005 例1.13已知数列{an}为等差数列,a2=3,a4=7;数列{bn}为公比为q(q>1)的等比数列, 且满足集合{,b2b3}={1,2,4} (I)求数列{an},{bn}的通项公式 (Ⅱ)求数列{an+b}的前n项和S 【答案】(I)an=2n-1;bn= (Ⅱ)S=n2+2"-1 【解析】(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为a1、d, ∴an+d=3,a+3d=7, 解得:a1=1,d=2 ∴an=1+2(n-1)=2n-1 等比数列{bn}成公比大于1的等比数列且{b,b,b}={1,2,4} ∴b1=1,b2=2,b3=4, (Ⅱ)由(I)可知Sn=(a1+a2+.+an)+(b1+b2+.+bn) n(1+2n-1)1-2 2 n2+2n-1 题模二倒序相加法 例11已知f(x)=x+lnx一,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值为() A.5000 【答案】B 【解析】∵f(x)=X+ln ∵(x)+f(100-X)=x+n +100-X+ 100-x 100 100-x ∵f(1)+f(2)+f(3)+…:+f(99) 50f(1)+f(99)]-f(50) 3
3 ＝503×（1－2－1＋0）＋1＝－1005． 例 1.1.3 已知数列 { }n a 为等差数列， 2 4 a a = = 3, 7 ；数列 { }n b 为公比为 q q( 1) 的等比数列， 且满足集合 1 2 3 { , , } {1,2,4} b b b = ． （Ⅰ）求数列 { }n a ，{ }n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列 { } n n a b + 的前 n 项和 n S ． 【答案】（Ⅰ） 2 1 n a n = − ； 1 2 n n b − = （Ⅱ） 2 2 1 n n S n = + − 【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为 a1、d， ∵a2＝3，a4＝7， ∴a1＋d＝3，a1＋3d＝7， 解得：a1＝1，d＝2， ∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1， ∵等比数列{bn}成公比大于 1 的等比数列且{b1，b2，b3}＝{1，2，4}， ∴b1＝1，b2＝2，b3＝4， ∴b1＝1，q＝2， ∴bn＝2 n－1 ； （Ⅱ）由（I）可知 Sn＝（a1＋a2＋…＋an）＋（b1＋b2＋…＋bn） (1 2 1) 1 2 2 1 2 n n n + − − + − ＝n 2＋2 n－1． 题模二：倒序相加法 例 1.2.1 已知 ( ) ln 100 x f x x x = + − ，则 f f f f (1 2 3 99 ) + + ++ ( ) ( ) ( ) 的值为（） A．5000 B． 4950 C．99 D． 99 2 【答案】B 【解析】∵f（x）=x+ln 100 x − x ， ∴f（x）+f（100−x）=x+ln 100 x − x +100−x+ln 100 x x − =100， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99） =50[f（1）+f（99）]−f（50）
4950, 例1.2.2求sin210+sin2°+sin23° +sin289° 【答案】S=89 解 析 S=sin2l S=sin289°+sin288°+sin287°+………+sin21° S=89,S= 例1.23设f(x)= 利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 【答案】32 解析1()=2+-=2+万=2+52 (2+V2) ()+(-)=2++2+=2++2+2 设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), .22S=(6)+f(-5)+[f(5)+f(-4)+…+[(-5)+f(6)=62, S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3y2 °随堂练习 随练11数列(}的前”项和为S=+n+1,b=(-ya(n∈N).则数列}的前50项 和为() D.100 【答案】A 【解析】当n=1时,4=S=3 当n≥2时,an=Sn-Sn1=2n(m≥2). a 2 +…+b=(-3+4)+(-6+8)+ 4
4 =50×100−50 =4950． 例 1.2.2 求 ． 【答案】 【解析】 ， ， ， ． 例 1.2.3 设 1 ( ) 2 2 x f x = + ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f ( 5) ( 4) − + − + f + + + + f f f (0) (5) (6) 的值为__________． 【答案】 3 2 【解析】∵ 1 ( ) 2 2 x f x = + ，∴ 1 1 2 (1 ) 2 2 2 2 2 x x x f x − − = = + + ， ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x f x f x − + + − = + = + = = + + + + + 设 S = − + − f f ( 5) ( 4) + + + + + f (0) (5) f f (6) ， 则 S f = + + (6) (5 f ) + + + − + f f (0) f ( 4) (−5) ， ∴2 2 [ (6) ( 5)] [ (5) ( S f f = + − + + − f f 4)] + +[ ( 5) (6 f − + = f )] 6 2 ， ∴ S f f = ( 5) ( 4) − + − + + f f f (0) (5) (6) 3 2 + + + = ． 随练 1.1 数列 an 的前 n 项和为 2 1 n S n n = + + ， ( 1) ( *) n n n b a n = − N ．则数列 bn 的前 50 项 和为（）． A．49 B．50 C．99 D．100 【答案】A 【解析】当 n =1 时， 1 1 a S = = 3 ． 当 n≥2 时， 1 2 ( 2) n n n a S S n n = − = − ≥ ． ∴ 3, 1 2 , 2 n n a n n = = ≥ ． ∴ 1 2 50 b b b + + + = − + + − + + + − + ( 3 4) ( 6 8) ( 98 100) 2 2 2 2 sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 + + + + 89 2 S = 2 2 2 2 S = + + + + sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 2 2 2 2 S = + + + + sin 89 sin 88 sin 87 sin 1 = 2 89 S 89 2 S = ·随堂练习· ·
1+2+2+…+2=49 随练L.2已知{an}是等比数列,满足a2=6,a3=-18,数列{bn}满足b=2,且{2bn+an}是 公差为2的等差数列 (I)求数列{an}和{bn}的通项公式 (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和 【答案】(I)b= cn-a=n+(-3/ () n(n+1).1-(-3)” 4 【解析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q, a3=a1q=-18 解得 3 所以,an=-2×(-3)n1 令 2+(n-1)×2=2 b,==n =n+(-3)- (1)∵bn=n+(-3)n1 数列仇b的前n项和 Sn=(1+2+3+…+n)+[(-3)0+[(-3)+(-3)2+(-3)3+…+(-3)m1 n(n+1).1-(-3) 1-(-3) n(n+1),1-(-3) 随练1.3已知函数f(x)=,则f①)+f(2)+f(3)+f(÷)+f()= 【答案】5 【解析】∵函数∫(x) ∵(-)=一 ∵f(x)+f(-)=1 ∵(1)+f(2)+f(3)+f()+f()=f(1)+1+1=, 5
5 24 = + + + + = 1 2 2 2 49 个 ． 随练 1.2 已知 { }n a 是等比数列，满足 2 a = 6 ， 3 a = −18 ，数列 { }n b 满足 1 b = 2 ，且 {2 } n n b a + 是 公差为 2 的等差数列． （Ⅰ）求数列 { }n a 和 { }n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列 { }n b 的前 n 项和． 【答案】（Ⅰ） 1 ( 3) 2 n n n n c a b n − − = = + − （Ⅱ） ( 1) 1 ( 3) 2 4 n n n n S + − − = + 【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q， 则 2 1 2 3 1 6 18 a a q a a q = = = = − 解得 a1＝﹣2，q＝﹣3 所以，an＝－2×（－3）n－1 令 cn＝2bn＋an，则 c1＝2b1＋a1＝2， cn＝2＋（n﹣1）×2＝2n 1 ( 3) 2 n n n n c a b n − − = = + − （Ⅱ）∵bn＝n＋（－3）n－1， ∴数列{bn}的前 n 项和： Sn＝（1＋2＋3＋…＋n）＋[（﹣3）0＋[（﹣3）＋（﹣3）2＋（﹣3）3＋…＋（﹣3）n﹣1 ] ( 1) 1 ( 3) 2 1 ( 3) n n n + − − = + − − ， ∴ ( 1) 1 ( 3) 2 4 n n n n S + − − = + ． 随练 1.3 已知函数 2 2 ( ) 1 x f x x = + ，则 1 1 1 2 3 ( ) 2 3 （f f f f f ）+ + + + = （ ） （ ） （ ） ____ ． 【答案】 5 2 【解析】∵函数 2 2 ( ) 1 x f x x = + ，∴f（ 1 x ）= 2 2 1 1 1 x x + = 2 1 x +1 ，∴f（x）+f（ 1 x ）=1． ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（ 1 2 ）+ 1 ( ) 3 f =f（1）+1+1= 5 2
2012 随练1.4设 求值: 2013 2013 2013 【答案】1006 【解析(1-x) 4-x+242+2 ∫(x)+f(1-x)=1 2012 ①::S=(2012 20l1 S 2013 2013 2013 2013 2013 ①+②得2S=2012→S=1006 随练15已知函数f()=2 数列{an}的前n项和为Sn,且an=f(,-),则S2 2017 B.1010 2019 C D.201 【答案】B 前n项和的求法(二) 知识精讲 数列的求和方法 1.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项 已知数列{an}为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,求称:当1 首先考虑=-),则-=a)=a 已知数列{an}为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,下列求和 Nam-sa 也可用裂项求和法 2.错位相减法:对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和,常 用错位相减法.an=bnCn,其中{bn}是等差数列,{c}是等比数列,记 Sn=bc1+b2c2+…+bnCn=1+b,Cn,则qSn=bC2+……+bnCn+bCn+1.两式相减即可求 得 6
6 随练 1.4 设 求值： . 【答案】 【解析】 ， ； 得 . 随练 1.5 已知函数 1 ( ) 2 1 x f x x + = − ，数列 { }n a 的前 n 项和为 n S ，且 ( ) 2017 n n a f = ，则 2017 S = （） A．1008 B．1010 C． 2019 2 D．2019 【答案】B 一．数列的求和方法 1. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项． 已知数列 an 为等差数列，且公差不为 0 ，首项也不为 0 ，求和： 1 1 1 n i i i = a a + . 首先考虑 1 1 1 n i i i = a a + = 1 1 1 1 1 ( ) n i i i = d a a + − ，则 1 1 1 n i i i = a a + = 1 1 1 1 1 1 1 ( ) n n n d a a a a + + − = . 已知数列 an 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，下列求和 1 1 1 1 1 n n i i i i i i a a a a d + = = + − = + 也可用裂项求和法. 2．错位相减法：对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常 用错位相减法. n n n a b c = ，其中 bn 是等差数列， cn 是等比数列，记 n n n n n 1 1 2 2 1 1 S b c b c b c b c = + ++ + − − ，则 n n n n n 1 2 1 1 qS b c b c b c = ++ + − + . 两式相减即可求 得. ( ) 4 4 2 x x f x = + ， 1 2 2012 ... 2013 2013 2013 S f f f = + + + 1006( ) ( ) ( ) 1 1 4 2 1 1 1 4 2 4 2 x x x f x f x f x − − − = = + − = + + ， 1 2 2012 ... 2013 2013 2013 S f f f = + + + ① 2012 2011 1 ... 2013 2013 2013 S f f f = + + + ② ①+② 2 2012 1006 S S = = 数列前 n 项和的求法（二） ·知识精讲· ·
中‖·三点剖析 方法点拨 对于分母为三次函数的裂项,先裂成两个分母为二次的分式之差,再分别裂项 二.必备公式 拆项公式:m(m+1)nn+1:m(n+2)2nn+2; (2n-1)(2n+1)22n-12n+1 题模精选 题模一裂项相消法求和 例211已知数列{的前n项和S=k(3-,且43=27 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若b=k,求数列{b-}的前n项和了 Tn 【答案】(1)q=3(2)"+ 【解析】(1)当n=3时,a=53-52=K3-3)=27,解得2 当n≥2时, an=Sn-S1=3(3"-1)-3(3y-1)=(3-3)=3 a1=S1=3也满足上式,故an=3"; (2)若b,=1g3y=n, T=1 223nn+1n+1-n+1 例2.1.2已知数列{an}是各项均不为零的等差数列,S1为其前n项和,(n∈N),若不等式 7
7 一. 方法点拨 对于分母为三次函数的裂项，先裂成两个分母为二次的分式之差，再分别裂项. 二. 必备公式 拆项公式： 1 1 1 n n n n ( 1) 1 = − + + ； 1 1 1 1 ( ) n n n n ( 2) 2 2 = − + + ； 1 1 1 1 ( ) (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1 n n n n = − − + − + . 题模一：裂项相消法求和 例 2.1.1 已知数列 { }n a 的前 n 项和 (3 1) n n S k = − ，且 3 a = 27 （1）求数列 { }n a 的通项公式； （2）若 3 log n n b a = ，求数列 1 1 n n b b + 的前 n 项和 T n ． 【答案】（1） 3 n n a = （2） 1 n n T n = + 【解析】（1）当 n = 3 时， 3 2 3 3 2 a S S k = − = − = (3 3 ) 27 ，解得 3 2 k = 当 n 2 时， 1 1 1 3 3 3 (3 1) (3 1) (3 3 ) 3 2 2 2 n n n n n n n n a S S − − = − = − − − = − = − 1 1 a S = = 3 也满足上式，故 3 n n a = ； （2）若 3 log 3n n b n = = ， 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n b b n n n n + = = − + + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 n n T n n n n = − + − + + − = − = + + + L 例 2.1.2 已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，（n∈N *），若不等式 ·三点剖析· · ·题模精选· ·
?.对任意n∈N恒成立,则实数λ的最大值是 aas aa an,an+I 【答案】1/2 例2.13已知等差数列的前n项和为Sn2a3=3.S4=10,则数列{}{}的前100项的和为 200 101 101 【答案】A 【解析】∴=35≈4(a+a) 2=10.4+a=a2+a3=5.a2=2 所以等差数列{an}的公差d=a3-a2=1a1=a2-d=1,通项公式为an=m n(n+1)1 则其前n项和为S-2s,=m(n+1)-nn+1 则数列{1的前100项的和为2(1-1+1-1+…+1-11=2(1-1)=20 100100+1 101)101 例214数列(/满足a1=1 对任意的mn∈N都有mn=amn+an+m,则 17等于() 2016 2017 4034 4024 B.2018 2018 2017 【答案】C 题模二错位相减法求和 例221已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则数列{man}的前n项和为 A.-3+(n+1)×2n B.3+(n+1×2 C.1+(n+1)×2n 【答案】D 【解析】由题意可得,公比q≠1,∴:9(1-4=7,9(-4)63, 相除可得1+q=9,∴q=2,∴a1=1 8
8 1 2 2 3 1 1 1 1 ... n n a a a a a a + + + + ? .对任意 n∈N *恒成立，则实数λ的最大值是_________． 【答案】1/2 例 2.1.3 已知等差数列的前 n 项和为 3 4 , 3, 10 n S a S = = ，则数列 1 n S an 的前 100 项的和为 （） A． 200 101 B． 100 101 C． 1 101 D． 2 101 【答案】A 【解析】 ( 1 4 ) 3 4 1 4 2 3 2 4 3, 10, 5, 2 2 a a a S a a a a a + = = = + = + = = 所以等差数列 an 的公差 3 2 1 2 d a a a a d = − = = − = 1, 1 ，通项公式为 n a n = ， 则其前 n 项和为 ( ) ( ) 1 1 2 1 1 = , 2 2 1 1 n n n n S S n n n n + = = − + + 则数列 1 n S 的前 100 项的和为 1 1 1 1 1 1 200 2 1 .... 2 1 2 2 3 100 100 1 101 101 − + − + + − = − = + 例 2.1.4 数 列 an 满 足 1 a =1, 对任意的 m n N , 都 有 m n m n a a a mn + = + + ， 则 1 2 3 2017 1 1 1 1 a a a a + + + + 等于（） A． 2016 2017 B． 2017 2018 C． 4034 2018 D． 4024 2017 【答案】C 题模二：错位相减法求和 例 2.2.1 已知等比数列 an 的前 n 项和为 n S ，若 3 6 S S = = 7 63 ， ，则数列 nan 的前 n 项和为 （ ） A． -3 1 2n + + （n ） B．3 1 2n + + （n ） C．1 1 2n + + （n ） D．1 1 2n + − （n ） 【答案】D 【解析】由题意可得，公比 q≠1，∴ 3 1 (1 ) 1 a q q − − =7， 6 1 (1 ) 1 a q q − − =63， 相除可得 1+q 3=9，∴q=2，∴a1=1．
故an=aq"-1=2”- 数列{nan}的前n项和M2=1-20+2·2+…+m2"-1 2Mn=1·21+2·22+.+(n-1)·2-1+n2", 两式相减可得,-M=1+2+2+….+2-n21-2m2=2"-1-n2=(1-n)2-1, 1-2 ∴Mn=(n-1)·2”+1 故选:D 例2.2.2若数列{an}的通项公式为 则前n项和为() C. S=n (1 【答案】B 【解析】 可用错位相减求或验证S1、S 法一(验证法):S1=a1=1=1,排除D S2=a1+a2 1,排除A,C.选B 法二(错位相减法):Sn=a1+a2+.+an2 ①②得:1 Sn=1++-+..+ ,故选B. 例23已知数列{(}满足:a=1,a1-a=22n∈N),数列b=g:0+a4l(neN), 1+a Tn=b1+b2+…+bn,则7o的值为() 1003 2013 A 256 12 1024 【答案】B 【解析】∵a=1,an+1-an=2m(n∈N) ∴ 9
9 故 an=a1q n−1=2 n−1， ∴nan=n2 n−1， 数列{nan}的前 n 项和 Mn=1•20+2•21+…+n•2n−1， 2Mn=1•21+2•22+…+（n−1）•2n−1+n•2n， 两式相减可得，−Mn=1+2 1+2 2+…+2 n−1−n•2n = 1 2 1 2 n − − −n•2n =2 n −1−n•2n =（1−n）•2n −1， ∴Mn=（n−1）•2n +1 故选：D 例 2.2.2 若数列{an}的通项公式为 an= 2 n n ，则前 n 项和为（ ） A．Sn=1- 1 2 n B．Sn=2- 1 1 2 n− - 2 n n C．Sn=n（1- 1 2 n ） D．Sn=2- 1 1 2 n− + 2 n n 【答案】B 【解析】 可用错位相减求或验证 S1、S2． 法一（验证法）：S1=a1= 1 1 2 = 1 2 ，排除 D． S2=a1+a2= 1 2 + 2 2 2 =1，排除 A，C．选 B 法二（错位相减法）：Sn=a1+a2+…+an= 1 2 + 2 2 2 +…+ 2 n n ，① 1 2 Sn= 2 1 2 + 3 2 2 +…+ 1 2 n n + ，② ①-②得： 1 2 Sn= 1 2 + 2 1 2 + 3 1 2 +…+ 1 2 n - 1 2 n n + ∴Sn=1+ 1 2 + 2 1 2 +…+ 1 1 2 n− - 2 n n = 1 1 ( ) 2 1 1 2 n − − - 2 n n =2- 1 1 2 n− - 2 n n ，故选 B． 例 2.2.3 已知数列 an 满足： * 1 1 1 2n n n a a a n N = = ， +﹣ （ ） ，数列 n b = 2 log (1 ) ( ) 1 n n a n N a + + ， T b b n = + + 1 2 … n +b ，则 T10 的值为（ ） A． 245 128 B． 509 256 C． 1003 512 D． 2013 1024 【答案】B 【解析】∵a1=1，an+1﹣an=2n（n∈N*）， ∴a2﹣a1=2
等式两边同时相加得: a=2+22+23+..2n 即a=a1+2+2+23+.2-1=1+2+2+2+.21=1-2=2m-1 1-2 n∈N 1+a 1+2n-1 ①-②得 则Tn=2-1n 2+n 则T10=2 12 3509 256256 例2.2.4在等差数列{a}中,已知a+a+a=9,aa=21,数列{b}满足 b +2+…+=1-(m∈N),s=b+b+灬+b,若S>2,则n的最小值为() C.3 【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为d,由知a+a2+a3=9,a2a4=21 可得3a1+d=9,(a1+d)(a1+3d)=21→a1=1,d=2. ∴an=1+2(n-1)=2n-1 1-1,互+++9 →得 a a2 a, a2 所以满足S>2的n的最小值为4. 故选:B 10
10 a3﹣a2=22， a4﹣a3=23， … an﹣an﹣1=2n﹣1， 等式两边同时相加得： an﹣a1=2+22+23+…2n﹣1， 即 an=a1+2+22+23+…2n﹣1=1+2+22+23+…2n﹣1= 1 2 1 2 n − − =2n﹣1， bn= 2 log (1 ) ( ) 1 n n a n N a + + = 2 log (1 2 1) 1 2 1 n n + − + − = 2 log 2 2 n n = 2 n n ， 则 Tn= 1 2 + 2 2 2 + 3 3 2 +…+ 2 n n ，① 则 1 2 Tn= 2 1 2 + 3 2 2 + 4 3 2 +…+ 1 2 n n − + 1 2 n n + ，② ①﹣②得 1 2 Tn= 1 2 + 2 1 2 + 3 1 2 +…+ 1 2 n ﹣ 1 2 n n + = 1 1 [1 ( ) ] 2 2 1 1 2 n − − ﹣ 1 2 n n + =1﹣（ 1 2 ）n﹣ 1 2 n n + ， 则 Tn=2﹣ 1 1 2 n− ﹣ 2 n n =2﹣ 2 2 n + n ． 则 T10=2﹣ 10 12 2 =2﹣ 8 3 2 =2﹣ 3 256 = 509 256 例 2.2.4 在等差数列 {an} 中 ， 已 知 a1 +a2+a3 =9 ， a2a4 =21 ， 数 列 {bn} 满 足 ( ) 1 2 * 1 2 1 ... 1 2 n n n b b b n N a a a + + + = − ， 1 2 ... n n s b b b = + + + ，若 Sn＞2，则 n 的最小值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为 d，由知 a1+a2+a3=9，a2a4=21， 可得 3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21⇒a1=1，d=2． ∴an=1+2（n−1）=2n−1． 1 2 1 2 1 ... 1 2 n n n b b b a a a + + + = − ， 1 2 1 1 1 2 1 1 ... 1 2 n n n b b b a a a − − − + + + = − ⇒得 1 2 n n n b a = ，bn= 2 1 2 2 n n n a n − = ， 1 2 1 3 2 1 ... 2 2 2 n n n s − = + + + ， 2 3 1 1 1 3 2 3 2 1 ... 2 2 2 2 2 n n n n n s + − − = + + + + ，⇒ 2 3 3 2 n n n s + = − ． ∵S1= 1 2 ，S2= 5 4 ，S3= 15 8 ，S4= 37 16 ，所以满足 Sn＞2 的 n 的最小值为 4． 故选：B．