观察分析总结提高 同学们在学习距离公式时,经常会直接或间接遇到如下问题 1、若点(2,2)到直线3x+4y+c=0的距离为5,求c的值。 2、直线l过A(0,1),l2过B(5,0),如果h1∥l2,且l与l2的距离为5,求直线l 与l2的方程。 3、已知正方形的中心为G(-1,0),一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他 三边所在直线方程 以上三题具有代表性,不仅能帮助同学们更好的认识距离公式,并且进一步把握直线方 程,能够起到会一题而把握一类问题的效果 分析1:这是类什么问题 如果从第一个问题看,考查距离公式,可以直接利用距离公式进行求解,第二个问题是 平行直线之间距离,第三个问题表面看没有涉及距离,实际根据平面几何性质分析,还是隐 蔽的考查距离问题 分析2:怎么解这类问题 我们发现,这类涉及距离问题可以直接利用公式求解;当两直线平行时可以利用两平行 直线距离公式进行求解或转化为点到直线距离求解:当题目不是很明显利用距离公式时,但 是可以挖掘题目涉及到几何性质,构造距离公式求解。 直接法:例1:分析:由点到直线的距离公式可得关于c的方程,解方程可得c的值 解:由点(2,2)到直线3x+4y+c=0的距离为5,可得4=16+8÷0=5, 得 或c=11 点评:本题是直接利用点到直线距离公式得到关于c的方程,然后解方程可得所求c 的值,它体现了方程思想在解析几何运算求解问题中的应用,需要注意的是字母代入过程中 符号书写问题。 直接法:例2:解:当1:x=0,l2:x=5时,满足条件 设l:y=kx+1,即kx-y+1=0,l2:y=k(x-5),即kx-y-5k=0时,由两平行线间 距离公式得:d|1+5k =5,解之得:k 此时l1:12x-5y+5=0 :12x-5y-60=0
观察 分析 总结 提高 同学们在学习距离公式时，经常会直接或间接遇到如下问题 1、若点（2，2）到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 5，求 c 的值。 2、直线 1 l 过 A（0，1）， 2 l 过 B（5，0），如果 1 l // 2 l ，且 1 l 与 2 l 的距离为 5，求直线 1 l 与 2 l 的方程。 3、已知正方形的中心为 G（－1，0），一边所在直线的方程为 x＋3y－5＝0，求其他 三边所在直线方程。 以上三题具有代表性，不仅能帮助同学们更好的认识距离公式，并且进一步把握直线方 程，能够起到会一题而把握一类问题的效果。 分析 1：这是类什么问题 如果从第一个问题看，考查距离公式，可以直接利用距离公式进行求解，第二个问题是 平行直线之间距离，第三个问题表面看没有涉及距离，实际根据平面几何性质分析，还是隐 蔽的考查距离问题。 分析 2：怎么解这类问题 我们发现，这类涉及距离问题可以直接利用公式求解；当两直线平行时可以利用两平行 直线距离公式进行求解或转化为点到直线距离求解；当题目不是很明显利用距离公式时，但 是可以挖掘题目涉及到几何性质，构造距离公式求解。 直接法：例 1：分析：由点到直线的距离公式可得关于 c 的方程，解方程可得 c 的值。 解：由点（2，2）到直线 3x＋4y＋c＝0 的距离为 5，可得 . 5 3 4 | 6 8 | 2 2 = + + + = c d ， 得 c＝－39 或 c＝11. 点评：本题是直接利用点到直线距离公式得到关于 c 的方程，然后解方程可得所求 c 的值，它体现了方程思想在解析几何运算求解问题中的应用，需要注意的是字母代入过程中 符号书写问题。 直接法：例 2：解：当 1 l ：x＝0， 2 l ：x＝5 时，满足条件。 设 1 l ：y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 2 l ：y＝k（x－5），即 kx－y－5k＝0 时，由两平行线间 距离公式得： 5 1 |1 5 | 2 = + + = k k d ，解之得： . 5 12 k = 此时 1 l ：12x－5y＋5＝0， 2 l ：12x－5y－60＝0
综上所述,符合条件的直线l1:x=0,l2:x=5或 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0 点评:解决本题容易忽视斜率不存在的情况,即结果不全面产生错误 间接法求解:例3、正方形中心G(-1,0)到四边距离均为 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x+3y-C1=0,则1-6 √10° 即|c1+1|=6,解得C1=5或C1=-7,故与已知平行的直线方程为x+3y+7=0 设正方形另一组对边所在直线方程为3x-y+c1=0,则 13×(-1)+c1|6 /1o 即lc2+3=6,解得c2=9或c2=-3,所以正方形另两边所在直线的方程为3x-y+9=0 和3x-y-3=0,综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为: x+3y+7=0,3x-y+9=0和3x-y-3=0 点评:本例解法抓住正方形的几何性质,利用点到直线的距离公式,求得了正方形其 他三边所在直线的方程 规律总结:1、已知点P(x,y0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线/的距离 公式为 d=14x+B+C!学习和应用这个公式要注意三点: a-+B (1)、直线方程必须是一般形式,不是一般形式先化为一般形式 (2)、分母的式子是x、y系数A、B平方和的算术平方根; (3)、应用时,注意联想与距离有关的概念和知识以灵活运用公式。如三角形的高、 角的平分线等。 2、设两平行直线L1:Ax+B+C1=0,L2:Ax+B+C2=0,求L1与L2的距 说明:(1)两条平行直线间的距离,就是在其中一条直线上任取一点,这个点到另 条直线的距离,此点一般可以取直线上的特殊点,该方法体现了化归思想,即由线线距离到 点线距离的转化,当然点线距离也可以化归为点点距离来求解。 (2)利用两条平行线间的距离公式dsJC1-C2 /A2+B2 时,一定先将两直线方程化为一般 形式,且两条直线中x,y的系数要保持一致 训练题 1、在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直
综上所述，符合条件的直线 1 l ：x＝0， 2 l ：x＝5 或 1 l ：12x－5y＋5＝0， 2 l ：12x－5y－60＝0. 点评：解决本题容易忽视斜率不存在的情况，即结果不全面产生错误。 间接法求解：例 3、正方形中心 G（－1，0）到四边距离均为 10 6 1 3 | 1 5 | 2 2 = + − − ， 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为 x +3y −c1 = 0 ，则 10 6 10 | 1 | 1 = − − c ， 即 | c1 +1|= 6 ，解得 c1 = 5 或 c1 = −7 ，故与已知平行的直线方程为 x＋3y＋7＝0， 设正方形另一组对边所在直线方程为 3x − y + c1 = 0 ，则 10 6 10 | 3 ( 1) | 1 = − + c ， 即 | c2 + 3|= 6 ，解得 c2 = 9 或 c2 = −3 ，所以正方形另两边所在直线的方程为 3x－y＋9＝0 和 3x－y－3＝0，综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0 和 3x－y－3＝0. 点评：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其 他三边所在直线的方程。 规律总结：1、已知点 ( , ) 0 0 P x y ，直线 l ： Ax + By + C = 0 ，则点 P 到直线 l 的距离 公式为： . | | 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 学习和应用这个公式要注意三点： （1）、直线方程必须是一般形式，不是一般形式先化为一般形式； （2）、分母的式子是 x、y 系数 A、B 平方和的算术平方根； （3）、应用时，注意联想与距离有关的概念和知识以灵活运用公式。如三角形的高、 角的平分线等。 2、设两平行直线 L1： Ax + By +C1 = 0 ， L2 ： Ax + By +C2 = 0 ，求 L1 与 L2 的距 离。 说明：（1）两条平行直线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，这个点到另一 条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，该方法体现了化归思想，即由线线距离到 点线距离的转化，当然点线距离也可以化归为点点距离来求解。 （2）利用两条平行线间的距离公式 d 2 2 1 2 | | A B C C + − = 时，一定先将两直线方程化为一般 形式，且两条直线中 x，y 的系数要保持一致。 训练题： 1、在坐标平面内，与点 A（1，2）的距离为 1，且与点 B（3，1）的距离为 2 的直
线共有() A、1条 条 C、3条 D、4条 解:由题意知所求直线必不与y轴平行,可设符合题意的直线方程为y=kx+b,即 kx-y+b=0,由已知得 k2+/1,13k-1+b k-2+b =2,解得k=0或k 当k=0时,b=3:当k4时,b 故符合题意的直线有两条,故选B 2、直线l过A(0,1),l2过B(5,0),如果1∥2,且l与l2的距离为5,求直线l与l2 的方程 解:当1:x=0,l2:x=5时,满足条件 设l:y=kx+1,即kx-y+1=0,l2:y=k(x-5),即kx-y-sk=0时,由两平行线间 距离公式得:d =5,解之得:k 12 √k2 此时l1:12x-5y+5=0, 综上所述,符合条件的直线l1:x=0,l2:x=5或 l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y=60=0 若x+2y=1,求x2+y2的最小值。 √12+2
线共有（ ） A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解：由题意知所求直线必不与 y 轴平行，可设符合题意的直线方程为 y＝kx＋b，即 kx－y＋b＝0，由已知得 1 1 | 2 | 2 = + − + k k b ， 2 1 | 3 1 | 2 = + − + k k b ，解得 k＝0 或 . 3 4 k = − 当 k＝0 时，b＝3；当 . 3 4 k = − 时， . 3 5 b = 故符合题意的直线有两条，故选 B. 2、直线 1 l 过 A（0，1）， 2 l 过 B（5，0），如果 1 l // 2 l ，且 1 l 与 2 l 的距离为 5，求直线 1 l 与 2 l 的方程。 解：当 1 l ：x＝0， 2 l ：x＝5 时，满足条件。 设 1 l ：y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 2 l ：y＝k（x－5），即 kx－y－5k＝0 时，由两平行线间 距离公式得： 5 1 |1 5 | 2 = + + = k k d ，解之得： . 5 12 k = 此时 1 l ：12x－5y＋5＝0， 2 l ：12x－5y－60＝0. 综上所述，符合条件的直线 1 l ：x＝0， 2 l ：x＝5 或 1 l ：12x－5y＋5＝0， 2 l ：12x－5y－60＝0. 3、若 x＋2y＝1，求 2 2 x + y 的最小值。 解： + min = 2 2 (x y ) . 5 1 ) 1 2 | 1| ( 2 2 2 = + −