解三角形、数列、不等式考点分析 必修五所学三章都为高考考查重点,且是与高考数学联系紧密的知识点,复习中应引 起大家重视,本文通过对考点进行分析来指导复习。 、解三角形考点分析 (1)判断三角形的形状:(2)正余弦定理的简单应用:(3)测量问题。这些题目难度 不大,题型是中档题与简单题,主要考查考生运用正余弦定理及三角公式进行恒等变形的能 力:化简、求值或判断三角形形状为主,也可能与其他知识相结合,重点与三角恒等或平面 向量交汇。 例1、台风中心此A地以每小时20千米的速度向正北方向移动,离台风中心30千米内 的地区为危险区,城市B在A的正东方40千米处,城市B处于危险区内的时间为多长? 解:如图,设台风中心从A地到C地用时为t,AC|=20t,在▲ABC中,由余弦定理 得:|BC上=√ABP+|4CP2-2|AB4C|cosA=√600+4002-802 依题意,只要|BCK30,城市B就处于危险区内,由此得: 6004010153042-852+7≤0=22 2√2+1 ≤t≤ 2√2+12√2 所以城市B处于危险区内的时间为1小时 点评:正确理解方位角,画出符合实际情况的图形,一般是以时间为变 量表达出图形中的线段,然后利用正、余弦定理,结合具体问题情境列式解决,这是利用正、 余弦定理解决实际问题的重要思路之一。 例2、已知▲ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,它的外接圆半径为6, 三边a,b,c,角A、C和▲ABC的面积S满足以下条件:S=b2-(c-a)2和 (1)求snB的值:(2)求▲ABC的面积的最大值。 分析:本题从所给条件▲ABC的面积S满足以下条件:S=b2-(c-a)2能获取的信 息是利用面积公式S= actin B与已知的关系式建立起等量关系,结合余弦定理第一问可 求得:由条件外接圆半径为6应联想正弦定理以及条件smA+smC=4可得a+c=16为 定值,应与基本不等式联系解第二问。 解:(1)因为S=b2-(c-a)2=b2 c4-a+2ac, X cos B a+2-b 所以b2 2 ac cos B,所以S=2ac(1-cosB),又S=
解三角形、数列、不等式考点分析 必修五所学三章都为高考考查重点，且是与高考数学联系紧密的知识点，复习中应引 起大家重视，本文通过对考点进行分析来指导复习。 一、解三角形考点分析 （1）判断三角形的形状；（2）正余弦定理的简单应用；（3）测量问题。这些题目难度 不大，题型是中档题与简单题，主要考查考生运用正余弦定理及三角公式进行恒等变形的能 力；化简、求值或判断三角形形状为主，也可能与其他知识相结合，重点与三角恒等或平面 向量交汇。 例 1、台风中心此 A 地以每小时 20 千米的速度向正北方向移动，离台风中心 30 千米内 的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东方 40 千米处，城市 B 处于危险区内的时间为多长？ 解：如图，设台风中心从 A 地到 C 地用时为 t，|AC|＝20t，在▲ABC 中，由余弦定理 得： | BC | | AB | | AC | 2 | AB || AC | cos A 1600 400t2 800 2t 2 2 = + − = + − ， 依题意，只要 | BC | 30 ，城市 B 就处于危险区内，由此得： 2 2 2 1 2 2 2 1 1600 400 2 800 2 30 4 8 2 7 0 2 + − + t − t t − t + t ， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 max min = − − + t − t = （小时）， 所以城市 B 处于危险区内的时间为 1 小时。 点评：正确理解方位角，画出符合实际情况的图形，一般是以时间为变 量表达出图形中的线段，然后利用正、余弦定理，结合具体问题情境列式解决，这是利用正、 余弦定理解决实际问题的重要思路之一。 例 2、已知▲ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，它的外接圆半径为 6， 三边 a，b，c，角 A、C 和▲ABC 的面积 S 满足以下条件： 2 2 S = b − (c − a) 和 3 4 sin A + sin C = ， （1）求 sin B 的值；（2）求▲ABC 的面积的最大值。 分析：本题从所给条件▲ABC 的面积 S 满足以下条件： 2 2 S = b − (c − a) 能获取的信 息是利用面积公式 S ac sin B 2 1 = 与已知的关系式建立起等量关系，结合余弦定理第一问可 求得；由条件外接圆半径为 6 应联想正弦定理以及条件 3 4 sin A + sin C = 可得 a＋c＝16 为 定值，应与基本不等式联系解第二问。 解：（1）因为 2 2 S = b − (c − a) b c a 2ac 2 2 2 = − − + ，又 ac a c b B 2 cos 2 2 2 + − = ， 所以 b c a 2ac cos B 2 2 2 − − = − ，所以 S = 2ac(1− cos B) ，又 S ac sin B 2 1 =
所以_sinB=2-2cosB,所以4cosB=4-snB, 两边平方得:16032B=16-85mB+sm2B,所以smB=8 (2)由正弦定理得a=12snAc=12snC,又snA+snC 所以a+c=16,ac≤(-)2=64,当且仅当a=c=8时取等号, 所以S= actin B=ac≤4×64=256 256 ,所以▲ABC的面积的最大值为 点评:本题在分析思路的过程中,要对题中的所给信息条件作合理的联系,从而使思 路不断向正确的方向迁移应用 数列考点分析 数列是高中数学的重点内容之一,数列是连结初等数学与高等数学的桥梁,是每年必考知 识点之一,重点概括:(1)等差、等比数列的性质:(2)等差、等比数列综合以及与其他知 识交汇:(3)数列建模的实际应用问题。注意探索性问题成为近几年考查的热点。 例1、等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=5,S6=11,则S为() B、17 C、16 解:因为S3S6-S3,S,-S6,…为等差数列,所以S-S2≈S3+(S。-S6) 又S3=5,S6-S3=6,S-S6=S-11,所以S-11=7,S=18,故选A 点评:这里利用等差数列的性质,在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差 数列:类别等差数列得到在等比数列{an}(q≠-1)中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数 例2、图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运 会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(mn)个“福娃迎迎” 则f(5)= f(m)-f(n-1) .(答案用数字或n的解析式表
所以 sin B 2 2cos B 2 1 = − ，所以 4cosB = 4−sin B ， 两边平方得： B B B 2 2 16cos = 16 − 8sin + sin ，所以 . 17 8 sin B = （2）由正弦定理得 a = 12sin A,c = 12sin C ，又 3 4 sin A + sin C = ， 所以 ) 64 2 16, ( 2 = + + = a c a c ac ，当且仅当 a＝c＝8 时取等号， 所以 S ac sin B 2 1 = 17 256 64 17 4 17 4 = ac = ，所以▲ABC 的面积的最大值为 . 17 256 点评：本题在分析思路的过程中，要对题中的所给信息条件作合理的联系，从而使思 路不断向正确的方向迁移应用。 二、数列考点分析 数列是高中数学的重点内容之一，数列是连结初等数学与高等数学的桥梁，是每年必考知 识点之一，重点概括：（1）等差、等比数列的性质；（2）等差、等比数列综合以及与其他知 识交汇；（3）数列建模的实际应用问题。注意探索性问题成为近几年考查的热点。 例 1、等差数列 { } an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 = 5, S6 =11 ，则 9 S 为（ ） A、18 B、17 C、16 D、15 解：因为 3 6 3 9 6 S , S − S , S − S ，…为等差数列，所以 2 ( ) 3 9 6 6 3 S S S S S + − − = ， 又 S3 = 5, S6 − S3 = 6, S9 − S6 = S9 −11 ，所以 S9 −11 = 7 ， S9 = 18 ，故选 A. 点评：这里利用等差数列的性质，在等差数列 { } an 中， Sn S2n Sn S3n S2n , − , − 成等差 数列；类别等差数列得到在等比数列 { } an （ q −1 ）中， Sn S2n Sn S3n S2n , − , − 成等比数 列； 例 2、图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运 会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第 n 个图形包含 f n( ) 个“福娃迎迎”， 则 f (5) = ； f n f n ( ) ( 1) − − = ．（答案用数字或 n 的解析式表 示）
多 急 多多多多象 3 解:41:4(n-1) 由题意可知f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41 f(n)=1+3+…+(2n-3)+(2n-1)+(2n-3)+…+3+1, f(n-1)=1+3+ 所以f(m)-f(m-1)=(2n-1)+(2n-3)=4(m-1) 点评:本题属于图表类信息题目,情景新颖能够考査学生的创新能力、观察能力。这类题 目是近几年高考命题的热点 例3、{an}是首项a1=4的等比数列,且S3,S2,S4成等差数列。 (1)求数列{an}的通项公式 (2)若bn=log2an,设Tn为数列{ bn·b}的前n项和,若T≤Ab1对一切 n∈N恒成立,求实数λ的最小值 解:(1)当q=1时,S3=12,S2=8,S4=16,不成等差数列。 当q≠1时 (1-q2)_a1(1-q3),a1(1-q2) ,所以2q2=q3+q q 所以q2+q-2=0,所以q=-2,所以an=4(-2)1=(-2) (2)bn=log2|an|=bog2|(-2)|=n+1, bn(m+1(m+2)n+1n+2’所以
解：41；4（n－1） 由题意可知 f（5）＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41. f (n) = 1+ 3 ++ (2n − 3) + (2n −1) + (2n − 3) ++ 3 +1， f (n −1) = 1+ 3 ++ (2n − 3) ++ 3 +1， 所以 f (n) − f (n −1) = (2n −1) + (2n − 3) = 4(n −1). 点评：本题属于图表类信息题目，情景新颖能够考查学生的创新能力、观察能力。这类题 目是近几年高考命题的热点。 例 3、{ } an 是首项 a1 = 4 的等比数列，且 3 2 4 S , S , S 成等差数列。 （1）求数列 { } an 的通项公式； （2）若 log | | bn = 2 an ，设 Tn 为数列 } 1 { +1 bn bn 的前 n 项和，若 Tn bn+1 对一切 n N 恒成立，求实数 的最小值。 解：（1）当 q＝1 时， S3 =12, S2 = 8, S4 =16 ，不成等差数列。 当 q 1 时， q a q − − 1 2 (1 ) 2 1 + − − = q a q 1 (1 ) 3 1 q a q − − 1 (1 ) 4 1 ，所以 2 3 4 2q = q + q ， 所以 2 0 2 q + q − = ，所以 q＝－2，所以 1 1 4( 2) ( 2) − + = − = − n n an . （2） log | | bn = 2 an log | ( 2) | 1 1 = 2 − = + + n n ， 2 1 1 1 ( 1)( 2) 1 1 1 + − + = + + = bn bn+ n n n n ，所以
Tn n+1n+22n+2 因为Tn≤bn,所以 ≤A(n+2),所以λ≥ 2(n+2 2(n+2) 420+2)2(n+1+2(4+4)=1g,所以A的最小、1 点评:数列的综合问题仍然离不开等差、等比数列,这两个基本数列的基本量是首项 和公差或公比,在解题时要树立这种基本量意识。裂项相消法是数列求和的基本方法之 要熟练其操作技巧,不等式恒成立问题的基本处理方法之一是利用分离参数的方法将其转化 为求一个函数值域的问题。 例4、某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数 年增长率为49‰,该校今年初有旧实验设备a套,其中需要更换的旧设备占了一半。学校 决定每年以当年初设备数量的10%为增长率增加新设备,同时每年换掉x套旧设备,如果 10年后该校学生人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少 套 下列数据供计算时参考 1.1°≈238|1.00499≈1.04 110≈260|1.00490≈1.05 1.11≈285|1.00491≈1 解:设今年起学校的合格实验设备为数列{an},则a1=1la-x,an=1.lan-x(*) 令an1+A=1.1(an+A),则an+1=1.lan+0.L,与(*)式比较知A=-10x,故数列 {an-10x}是首项为1.1a-1lx,公比为1.1的等比数列,所以 an-10x=(1.la-11x)1.1n,an=10x+(1.la-11x)1.1"1, a10=10x+(1la-11x)11≈26a-16x,由题意知: 2.6a-16x 105b 解得:x=-a.故每年更换旧设备为a套。 点评:该题解法运用的是递推法,它是解决这类数列应用问题的重要思想方法,其基 本技巧是建立连续两项之间的关系,考生应认真体会 三、不等式考点分析 1、不等式的性质是不等式运算与推理的基础,是证明不等式、解不等式的理论依据, 因此是高考考査的重点。该部分内容在高考中一般不会单独命题,常常与命题真假、大小 关系的比较、充分必要条件等结合起来进行考査,形式多为选择题或填空题,难度不大
2 2( 2) 1 2 1 2 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 + = + = − + − + = − + − + + n n n n n Tn ， 因为 Tn bn+1 ，所以 ( 2) 2( 2) + + n n n ，所以 2 2( + 2) n n ， 又 16 1 2(4 4) 1 4) 4 2( 1 2( 2) 2 = + + + = + n n n n ，所以 的最小值为 . 16 1 点评：数列的综合问题仍然离不开等差、等比数列，这两个基本数列的基本量是首项 和公差或公比，在解题时要树立这种基本量意识。裂项相消法是数列求和的基本方法之一， 要熟练其操作技巧，不等式恒成立问题的基本处理方法之一是利用分离参数的方法将其转化 为求一个函数值域的问题。 例 4、某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为 b 人，以后学生人数 年增长率为 4.9‰，该校今年初有旧实验设备 a 套，其中需要更换的旧设备占了一半。学校 决定每年以当年初设备数量的 10％为增长率增加新设备，同时每年换掉 x 套旧设备，如果 10 年后该校学生人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少 套？ 下列数据供计算时参考： 1.1 2.38 9 1.0049 1.04 9 1.1 2.60 10 1.0049 1.05 10 1.1 2.85 11 1.0049 1.06 11 解：设今年起学校的合格实验设备为数列 { } an ，则 1.1 , 1.1 ( ) a1 = a − x an+1 = an − x ， 令 1.1( ) an+1 + = an + ，则 an+1 =1.1an + 0.1 ，与（*）式比较知 = −10x ，故数列 {a 10x} n − 是首项为 1.1a −11x ，公比为 1.1 的等比数列，所以 1 10 (1.1 11 ) 1.1 − − = − n n a x a x ， 1 10 (1.1 11 ) 1.1 − = + − n n a x a x ， a 10x (1.1a 11x) 1.1 2.6a 16x 9 10 = + − − ，由题意知： b a b a x = − 2 1.05 2.6 16 ， 解得： . 32 1 x = a 故每年更换旧设备为 a 32 1 套。 点评：该题解法运用的是递推法，它是解决这类数列应用问题的重要思想方法，其基 本技巧是建立连续两项之间的关系，考生应认真体会。 三、不等式考点分析 1、不等式的性质是不等式运算与推理的基础，是证明不等式、解不等式的理论依据， 因此是高考考查的重点。该部分内容在高考中一般不会单独命题，，常常与命题真假、大小 关系的比较、充分必要条件等结合起来进行考查，形式多为选择题或填空题，难度不大
2、一元二次不等式是解决很多数学问题的重要工具,因而一直是高考考查的热点。在 选择题和填空题中一般考査不等式的解法,在解答题中一般考査一元二次不等式的应用以及 函数、方程等的综合问题。特别是一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关 系,也要用到一元二次不等式的相关知识,因此要加强对本部分知识的学习。 3、线性规划问题在实际生产、生活中应用广泛,需要用到很多数学思想方法,因此逐 渐成为高考命题的热点内容。本部分试题主要考查平面区域的面积、参数的范围、线性目标 函数的最值、实际应用等问题,在高考试题中一般以选择题、填空题的形式出现,有时也会 以解答题的形式出现 4、基本不等式在求解函数的最值、证明不等式、求参数的范围等问题中有着非常广泛 的应用,因此是高考考查的重点内容。高考对基本不等式的考查一般与其他知识融合在一起 所以应重视对基本不等式的复习。在利用基本不等式解决问题的过程中,应注意基本不等式 应用的条件,避免出现错误,注意对式子进行合理的变形,构造基本不等式应用的条件。 例1、某种汽车,购车费是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为9000元, 年维修费第一年是2000元,以后逐年递增2000元,问这种汽车使用()年时,它的年 平均费用最小() B、10 解:设汽车使用a年时,年平均费用y最小,依题意得 10+02n+ n(n-1) ×0.2+0910+0.1n+0.1n2+09 10+n+0.1n210n +“+1≥2+1=3,当且仅当a=10时 年平均费用y最小,选B. 点评:考査基本不等式的实际应用问题,要建立正确的数学模型,再利用基本不等式求解 ≥0 例2在平面直角坐标系中,不等式组x-y+420表示的平面区域的面积为9,则实数a -2由=x+4交点为B(a,a+41由以+X=0得交点坐标为C(a,aB, 所以BC的长度为2a+4,且A点到BC的距离为a+2,由三角形的面积公式的 2a+4)×(a+2) 9,且满足a>-2,解得a=1
2、一元二次不等式是解决很多数学问题的重要工具，因而一直是高考考查的热点。在 选择题和填空题中一般考查不等式的解法，在解答题中一般考查一元二次不等式的应用以及 函数、方程等的综合问题。特别是一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关 系，也要用到一元二次不等式的相关知识，因此要加强对本部分知识的学习。 3、线性规划问题在实际生产、生活中应用广泛，需要用到很多数学思想方法，因此逐 渐成为高考命题的热点内容。本部分试题主要考查平面区域的面积、参数的范围、线性目标 函数的最值、实际应用等问题，在高考试题中一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会 以解答题的形式出现。 4、基本不等式在求解函数的最值、证明不等式、求参数的范围等问题中有着非常广泛 的应用，因此是高考考查的重点内容。高考对基本不等式的考查一般与其他知识融合在一起， 所以应重视对基本不等式的复习。在利用基本不等式解决问题的过程中，应注意基本不等式 应用的条件，避免出现错误，注意对式子进行合理的变形，构造基本不等式应用的条件。 例 1、某种汽车，购车费是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 9000 元， 年维修费第一年是 2000 元，以后逐年递增 2000 元，问这种汽车使用（ ）年时，它的年 平均费用最小（ ） A、11 B、10 C、9 D、8 解：设汽车使用 a 年时，年平均费用 y 最小，依题意得 n n n n n n n n n y 10 0.1 0.1 0.9 0.2 0.9 2 ( 1) 10 0.2 2 + + + = + − + + = 1 2 1 3 10 10 0.1 10 2 = + + + = + + = n n n n n ，当且仅当 a＝10 时， 年平均费用 y 最小，选 B. 点评：考查基本不等式的实际应用问题，要建立正确的数学模型，再利用基本不等式求解。 例 2 在平面直角坐标系中，不等式组 − + + x a x y x y 4 0 0 表示的平面区域的面积为 9，则实数 a 的值为____________。 分析：线性规划是刻画平面区域的重要工具，规划问题也是新高考的热点之一，这类题目 数与形紧密结合，且在知识的交汇点命题，解决这类问题一般通过数形结合求解。 解：如图所示：点 A 的坐标 + = = + x y 0 y x 4 的交点，所以 A（-2，2），如果三不等式构成平面 区域，则 a −2,由 x a y x 4 { = = + 交点为 B（a，a+4）；由 x a y x 0 { = + = 得交点坐标为 C（a，-a）， 所以 BC 的长度为 2a+4，且 A 点到 BC 的距离为 a+2，由三角形的面积公式的： 9 2 2a 4 a 2 = （ + ）（ + ） ，且满足 a −2 ，解得 a=1
x+y=0 A(-2,2) y=x+4 二a 点评:线性规划是高考必考内容,主要涉及参数问题、面积问题、最值问题以及求范围问题
点评：线性规划是高考必考内容，主要涉及参数问题、面积问题、最值问题以及求范围问题 等