有关简单多面体的外接球、内切球问题 外接球问题 若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上,则该球为此多面体的外接球。简单多面 体的外接球问题是立体几何的重点和难点,此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题,其中球心位置的确定是关键,下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。 1.由球的定义确定球心的位置 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多 面体的外接球的球心。由此,可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论 结论1:正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。 例:(2017年新课标全国Ⅱ文数)长方体的长、宽、高分别为3、2、1,其顶点都在球0的 球面上,则球0的表面积为 解:长方体体对角线长为√2+2+1=√4,所以长方体外接球半径R=√14, 所以长方体外接球的表面积为S=4丌R2=14丌 结论2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。 例:(2014年陕西理数)已知底面边长为1,侧棱长√2的正四棱柱的各个顶点均在同一个 球的球面上,则该球的体积为() 32丌 4丌 B.4xC.2丌D. 解:如图,正四棱柱AD-ABCD,底面为边长为1,侧棱长为√5,02-:-+-c 设H、I分别为下、上底面中心,HI的中点为0,所以0为外接球的球心,A 所以外接球半径R=A0=√AH2+OH2=1,所以外接球体积V=4R3 4丌 注:其实此四棱柱即长方体,A0也就是长方体体对角线长的一半 结论3:直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点 例:(2013年辽宁文数)已知直三棱柱ABC-ABC的六个顶点都在球0的球面上,若 Cu AB=3,AC=4,AB⊥AC,A4=12,则球0的半径为() A B.2 D.3 /10 解:如图,由题意可得,棱柱上、下底面为直角三角形, 所以上、下底面外接圆的圆心分别为BC1、BC的中点,分别设其分别为I、H, 设H的中点为0,则点0为三棱柱外接球的球心, 在Rt△BHO中,BO=√BH2+OH2=,所以,外接球的半径R=13 注:上述结论1、结论2都可以看作结论3的特殊情况 结论4:正棱锥外接球的球心在其高上,具体位置通过构造直角三角形计算得到
有关简单多面体的外接球、内切球问题 一．外接球问题 若一个简单多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球为此多面体的外接球。简单多面 体的外接球问题是立体几何的重点和难点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心位置 问题，其中球心位置的确定是关键，下面介绍几种常见的球心位置的确定方法。 1. 由球的定义确定球心的位置 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多 面体的外接球的球心。由此，可以得到确定简单多面体外接球的球心位置有如下结论： 结论 1：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点。 例：（2017 年新课标全国Ⅱ文数）长方体的长、宽、高分别为 3、2、1，其顶点都在球 O 的 球面上，则球 O 的表面积为_______. 解：长方体体对角线长为 2 2 2 3 2 1 14 ，所以长方体外接球半径 14 2 R ， 所以长方体外接球的表面积为 2 S R 4 14 . 结论 2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点。 例：（2014 年陕西理数）已知底面边长为 1，侧棱长 2 的正四棱柱的各个顶点均在同一个 球的球面上，则该球的体积为（ ） A. 32 3 B. 4 C. 2 D. 4 3 解：如图，正四棱柱 ABCD –A1B1C1D1 ,底面为边长为 1，侧棱长为 2 ， 设 H、I 分别为下、上底面中心，HI 的中点为 O,所以 O 为外接球的球心， 所以外接球半径 R=AO= 2 2 AH OH 1,所以外接球体积 4 4 3 3 3 V R . 注：其实此四棱柱即长方体，AO 也就是长方体体对角线长的一半。 结论 3：直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点。 例：（2013 年辽宁文数）已知直三棱柱 ABC –A1B1C1的六个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3,AC=4, AB AC , 1 AA 12 ,则球 O 的半径为（ ） A. 3 17 2 B. 2 10 C. 13 2 D. 3 10 解：如图，由题意可得，棱柱上、下底面为直角三角形， 所以上、下底面外接圆的圆心分别为 B1C1 、BC 的中点，分别设其分别为 I、H, 设 HI 的中点为 O,则点 O 为三棱柱外接球的球心， 在 Rt BHO 中, 2 2 13 2 BO BH OH ,所以,外接球的半径 13 2 R . 注：上述结论 1、结论 2 都可以看作结论 3 的特殊情况。 结论 4：正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到。 H I C A B B1 C1 A1 O O H D1 D C B A C1 B1 A1 I
例:(2014年大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该四棱锥的高为4,底面边长 为2,则该球的表面积为() 8l丌 B.16C.9 解:如图,设O1为底面正方形ABCD的中心,外接球球心为0, 所以,PO⊥面ABCD,0在PO1上 设外接球0的半径为R,则R=AO=PO 在R△AO中,R=O=√小02+02=A02+(P-R= 所以,外接球的表面积为S=4xR2=81z 结论5:若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心 例:(2017年新课标全国I文数改编)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上,若 平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,SA⊥AC,SB⊥BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球的 表面积为 解:如图,∵SA⊥AC、SB⊥BC,设0为SC的中点, 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得点0 到A,B,C,S的距离相等,故点0为三棱锥外接球的球心。 平面SCA⊥平面SCB,SB=BC,∴OB⊥平面SAC 设球0的半径为R,则 =VB-ASC 3 2R.R.R=-R3=9 R3=27,R=3所以外接球表面积为S=4丌R2=36z 2.构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心 (1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体,求其外接球问题可构造正方体或长方体 如下图 例:(2012年辽宁理数)已知正三棱锥PABC,点P、A、B、C都在半径为√3球面上,若PA PB、PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离是 解:如图,构造正方体,则球心为正方体的中心0 易求得正方体棱长为2,设点0到面ABC的距离为d 作CH垂直NN交MN于H, 由 -ABCC-1BO 所以d√3 (2)相对的棱长相等的三棱锥,求其外接球问题可构造正方体或长方体
例：（2014 年大纲全国）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为 4，底面边长 为 2，则该球的表面积为（ ） A. 81 4 B. 16 C. 9 D. 27 4 解：如图，设 O1 为底面正方形 ABCD 的中心，外接球球心为 O, 所以, PO ABCD 1 面 , O 在 PO1 上， 设外接球 O 的半径为 R ,则 R=AO=PO, 在 Rt AOO1 中， 2 2 2 2 1 1 1 1 9 ( ) 4, R AO AO OO AO PO R 所以, 外接球的表面积为 2 81 4 4 S R . 结论 5：若棱锥的顶点可构共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。 例：（2017 年新课标全国Ⅰ文数改编）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 平面SCA 平面SCB ,SA=AC,SB=BC, SA AC , SB BC ,三棱锥 S-ABC 的体积为 9，则球的 表面积为_______. 解：如图， SA AC , SB BC ，设 O 为 SC 的中点， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得点 O 到 A,B,C,S 的距离相等，故点 O 为三棱锥外接球的球心。 平面SCA 平面SCB，SB=BC, OB 平面SAC . 设球 O 的半径为 R，则 1 1 1 3 2 9 3 2 3 V V R R R R S ABC B ASC , 3 R R 27, 3. 所以外接球表面积为 2 S R 4 36 . 2. 构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心 （1）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体。 如下图： 例：（2012 年辽宁理数）已知正三棱锥 P-ABC,点 P、A、B、C 都在半径为 3 球面上，若 PA、 PB、PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离是_______. 解：如图，构造正方体，则球心为正方体的中心 O， 易求得正方体棱长为 2，设点 O 到面 ABC 的距离为 d， 作 CH 垂直 MN 交 MN 于 H， 由 V V O ABC C ABO ,得： 1 1 3 3 ABC ABO S d S CH ， 所以 3 3 d . (2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体。 A B D C P O O1 B C S O A C P B A A B C P M N H
如下图 例:(2003全国)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积 为() 4zC.3√3 解:根据上述方法,构造正方体,则正方体棱长为1,因此,该四面体外接球也就棱长为1 的正方体外接球,所以外接球半径R=3,所以外接球表面积为S=4zR2=3z (3)已知棱锥中含线面垂直关系,求其外接球问题,可构造直棱柱 例:(2015年广西三市四月联考)三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥AC,∠BAC=1200, PA=AB=AC=2,则此三棱锥外接球的体积为 解:…PA⊥AB,PA⊥AC,∴PA⊥平面ABC, 构造直三棱柱PQT-ABC,设O为△ABC外心,0为三棱锥外 接球球心,所以OO1⊥平面ABC 由结论3得:O0=PA 在△ABC由余弦定理可求得BC=2√3,再由正弦定理可求得△ABC外接圆半径r=, 所以,在R△AOQ中,AO=√AOF+O02=√5 所以,三棱锥PABC外接球半径R=5外接球体积=20.5x 内切球问题 若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切,则称这个多面体是这个球的外切多面 体,这个球是这个多面体的内切球。因此,多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等 并非所有多面体都有内切球,下面介绍几种常见多面体内切球问题 1.正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合,内切球的半径为球心到多面体任一面 的距高 A 例:已知棱长为a的正四面体ABCD,证明其内切球的半径为√6a 证法一:如图,设AH⊥平面BCD,则H为△BCD外心 由上述结论4可得,外接球球心在AH上,设外接球球心为0
如下图： 例:(2003 全国)一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积 为（ ） A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6 解：根据上述方法，构造正方体，则正方体棱长为 1，因此，该四面体外接球也就棱长为 1 的正方体外接球，所以外接球半径 3 2 R ,所以外接球表面积为 2 S R 4 3 . （3）已知棱锥中含线面垂直关系，求其外接球问题，可构造直棱柱 例：（2015 年广西三市四月联考）三棱锥 P-ABC 中， 0 PA AB PA AC BAC , , 120 , PA=AB=AC=2,则此三棱锥外接球的体积为_________. 解： PA AB PA AC , , PA ABC 平面 , 构造直三棱柱 PQT-ABC,设 O1 为 ABC 外心，O 为三棱锥外 接球球心，所以 1 OO ABC 平面 , 由结论 3 得: 1 1 , 2 OO PA 在 ABC 由余弦定理可求得 BC 2 3 ，再由正弦定理可求得 ABC 外接圆半径 r=2， 所以，在 Rt AOO1 中， 2 2 1 1 AO AO OO 5, 所以, 三棱锥 P-ABC 外接球半径 R 5, 外接球体积 20 5 . 3 V 二．内切球问题 若一个多面体的各个面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面 体，这个球是这个多面体的内切球。因此，多面体内切球球心到该多面体各个面的距离相等。 并非所有多面体都有内切球，下面介绍几种常见多面体内切球问题： 1. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面 的距离。 例：已知棱长为 a 的正四面体 ABCD，证明其内切球的半径为 6 . 12 a 证法一：如图，设 AH BCD 平面 ,则 H 为 BCD 外心， 由上述结论 4 可得，外接球球心在 AH 上，设外接球球心为 O， D C B A P C B A T Q O H E D C B A
外接球半径为R,则AO=BO=R, 在△BCD中,由正弦定理得BH= sIn 在R△BH中,AH=√B-BHF=√5 3a,R△BHO中,BO2=BH2+OH, BO=BH2+(H-0,R2=(50)+(6a-R,:R=6a 因内切球心与外接球重合,所以内切球半径r=O0H=MH=A0=5a5a=√6a 证法二:如图,设AH⊥平面BCD,设外接球球心为0,则点0也是内切球球心, 由于内切球球心到各个面的距离相等,都为内切球半径,设为r 13 D 3△BCDF·4,∴r r=-AH √6 a 注:求棱锥内切球半径,一般可用等体积法,即由内切球球心与棱锥各个顶点的连线将原棱 锥分割成以原棱各面底面,以内切球球心为顶点的若干个小棱锥,则各个小棱锥的高都是内 切球的半径,由分割前后的体积相等可列出关于内切球半径r的方程 2.正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上,但不一定重合。 例:正四棱锥S-ABCD,底面边长为2,侧棱长为3,则内切球半径为 解:如图,设E为BC的中点,I为底面正方形ABCD的中心, S⊥平面ABCD,则内切球球心在SI上,设为0, 过0作OH⊥SE交SE于H 在R△SC中,易求出S=√7,即正四棱锥S-ABCD高为√万, 在△SBC中,易求出SE=2√,即正四棱锥S-ABCD斜高为2√2, 设内切球半径为r,则OI=OHr, 由RI△SE与R△SHO相似,得 OH E SO SE OH E SI-OI SE 7-r 22 2√14 注:此题也可用等体积法求解,在此略
外接球半径为 R,则 AO=BO=R, 在 BCD 中，由正弦定理得 0 1 3 , sin 60 2 3 a BH a 在 2 2 6 , 3 Rt ABH AH AB BH a 中， 2 2 2 Rt BHO BO BH OH 中， , 2 2 2 BO BH AH OA ( ) , 2 2 2 3 6 ( ) ( ) , 3 3 R a a R 6 , 4 R a 因内切球球心与外接球重合，所以内切球半径 6 6 6 . 3 4 12 r OH AH AO a a a 证法二：如图，设 AH BCD 平面 ,设外接球球心为 O，则点 O 也是内切球球心， 由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内切球半径，设为 r， . V V V V V A BCD O ABC O ACD O ABD O BCD 1 1 4, 3 3 BCD BCD S AH S r 1 6 . 4 12 r AH a 注：求棱锥内切球半径，一般可用等体积法，即由内切球球心与棱锥各个顶点的连线将原棱 锥分割成以原棱各面底面，以内切球球心为顶点的若干个小棱锥，则各个小棱锥的高都是内 切球的半径，由分割前后的体积相等可列出关于内切球半径 r 的方程。 2. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合。 例：正四棱锥 S-ABCD,底面边长为 2，侧棱长为 3，则内切球半径为__________. 解：如图，设 E 为 BC 的中点，I 为底面正方形 ABCD 的中心， SI BCD 平面A ,则内切球球心在 SI 上，设为 O, 过 O 作 OH SE 交 SE 于 H， 在 Rt SIC SI 中，易求出 ＝ 7， 即正四棱锥 S-ABCD 高为 7， 在 SBC SE 中，易求出 ＝2 2， 即正四棱锥 S-ABCD 斜高为 2 2， 设内切球半径为 r，则 OI=OH=r， 由 Rt SIE 与 Rt SHO 相似，得 , OH IE SO SE , OH IE SI OI SE 1 , 7 2 2 r r 7 2 14 7 . 2 2 1 7 r 注：此 题也可用等体积法求解，在此略。 O H E D C B A H E S D C B A I O