无锡市青山高级中学：不要把分母做繁了（张岭芝）

禁止商用侵权必究 中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 不要把分母做繁了 张岭芝 (无锡市青山高级中学,江苏无锡214036) 基 处理分式问题的难易往往取决于分母的 比较两种解法,不难看出前者自然流畅也 知繁与简,分母简则分式的化简或计算就易;分特别简单,只需将分子中的20转化为30°-10 识|母繁则分式的化简或计算就难因此我们在解作一次变换,键是保留了分母的简单性而后 决有关分式问题的时候,不要把原本就简单的者的计算量明显高于前者,需要对原式中的两 分母做繁了比如: 处做变动,关键是这样做还增加了分母的“负 例1求os10-2sin20° 担”,把分母做繁了.这给后面的化简带来了麻 值 烦,显然这是一种不可取的做法 本题就是一个三角运算中化同角的计算 再看下面的例子: 问题,容易想到把分子中的20°转化30°-10 例2在平面直 从而有下面的解法: 角坐标系xOy中,点 解法一 cos10°-2im20°cos10°-2sin(30°-10°)A为椭园:4+3=1 的左顶点,过P(2,2) √3sin10° sin10°=3 的直线l与椭圆分别 交于C,D两点,设直线AC,AD的斜率分别 但是有的同学可能不这样想,他会把分子 分母中的10°转化为30-20°,也是化同角,于为k1,k2,求证+为定值 是又有下面的解法 证法一设直线l的斜率为k,显然k存 解法cos10°-2sin20° 在且不为0,则:直线l的方程为 y-2=k(x-2),C(x1,y1),D(x2,y2) cos(30°-20°)-2sin20° 2=k(x-2) 中 由 sin30°cos20°-cos30°sin20° 得(4k2+3)x2+(16k-16k2)x+16k cos20 由△=(16k-16k2)2-4(4k2+3)(16k2 2cos20°√3 32k+4)>0,得k> 3(1020-3sm20 由韦达定理得 16k2-16k cos20--sin20 网址: Zxsscbpt. cnki, net 2 邮箱:zx2486@

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 学 好 基 础 知 识 不要把分母做繁了 张岭芝 (无锡市青山高级中学,江苏 无锡 ２１４０３６) 处理分式问题的难易往往取决于分母的 繁与简,分母简则分式的化简或计算就易;分 母繁则分式的化简或计算就难．因此,我们在解 决有关分式问题的时候,不要把原本就简单的 分母做繁了．比如: 例１ 求 cos１０°－２sin２０° sin１０° 值． 本题就是一个三角运算中化同角的计算 问题,容易想到把分子中的２０°转化３０°－１０°, 从而有下面的解法: 解法一 cos１０°－２sin２０° sin１０° ＝ cos１０°－２sin(３０°－１０°) sin１０° ＝ ３sin１０° sin１０° ＝ ３． 但是有的同学可能不这样想,他会把分子 分母中的１０°转化为３０°－２０°,也是化同角,于 是又有下面的解法: 解法二 cos１０°－２sin２０° sin１０° ＝ cos(３０°－２０°)－２sin２０° sin(３０°－２０°) ＝ ３ ２ cos２０°＋ １ ２ sin２０°－２sin２０° sin３０°cos２０°－cos３０°sin２０° ＝ ３ ２ cos２０°－ ３ ２ sin２０° １ ２ cos２０°－ ３ ２ sin２０° ＝ ３( １ ２ cos２０°－ ３ ２ sin２０°) １ ２ cos２０°－ ３ ２ sin２０° ＝ ３． 比较两种解法,不难看出前者自然流畅也 特别简单,只需将分子中的２０°转化为３０°－１０° 作一次变换,关键是保留了分母的简单性．而后 者的计算量明显高于前者,需要对原式中的两 处做变动,关键是这样做还增加了分母的“负 担”,把分母做繁了．这给后面的化简带来了麻 烦,显然这是一种不可取的做法． 再看下面的例子: 图１ 例 ２ 在 平 面 直 角坐 标 系 xOy 中,点 A 为椭圆: x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ 的左顶点,过 P(２,２) 的直 线l 与 椭 圆 分 别 交于C,D 两点,设直线 AC,AD 的斜率分别 为k１,k２,求证 １ k１ ＋ １ k２ 为定值． 证法一 设直线l 的斜率为k,显然k 存 在且不为０,则:直线l的方程为 y－２＝k(x－２),C(x１,y１),D(x２,y２), 由 y－２＝k(x－２), x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１, ì î í ï ï ïï 得(４k２＋３)x２ ＋(１６k－１６k２)x＋１６k２ － ３２k＋４＝０． 由Δ＝(１６k－１６k２)２－４(４k２＋３)(１６k２－ ３２k＋４)＞０,得k＞ １ ８ ． 由韦达定理得 x１＋x２＝ １６k２－１６k ４k２＋３ , 􀅰２􀅰

学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 16k2-32k+4 得(42+3)y2+(12k-12)y+12-24k=0 于是 得k> 由韦达定理得 基 k(x1-2)+2k(x2-2)+2 础出 (x1+2)[k(x2-2)+2]+(x2+2)[k(x1-2)+2] 4k2+3 [k(x1-2)+2]k(x2-2) 12-24k 2kx1x2+2(x1+x2)+4(2-2k) y1·y2=A.22 k2x1x2+k(2-2k)(x1+x2)+(2-2k)2 16k2-32k+4 是1⊥1x1+2x2+2 k1 yI 长:1642-3264+4→ 、k+4y-2 16k2-16k 4k2+2-+4(2-2) 2y1y2+(4k-2)(y1+y2) 16k2-16k k(2-2k) +(2-2k 24k-2y1+y 2k(16k2-32k+4)+2(16k2-16k)+ k2(16k2-32k+4)+ 4(2-2k)(4k2+3) 是+“=2·二址 2为定值 k(2-2)(16k2-16k)+(2-2)2(4k2+3) k2+3 24-48k 12-24k 2为定值 对比看出,证法二的计算量显然远远小于 这个证法的计算量巨大,如果不具有坚定证法一的计算量 不移的韧劲,恐怕很难坚持到底.其根本原因就 不能把原本就简单的分母做繁了”的另 是把分母y1,y2分别化为k(x1-2)+2,k(x 层含义就是把分母做得简单些,尤其是对于 2)+2再通分太繁了,估计很多同学做到这那些很繁的分母,通过一些必要的手段把分母 步就已经决然放弃,当我们很耐心地看完后化简,从而实现事半功倍的效果 面的计算后,一定会发出疑问,我们为什么要 化难为易,化繁为简,化陌生为熟悉,化未 把原本简单的分母y1y2得那么繁呢?能保留 知为已知,化抽象为具体,化一般问题为特殊 中 这个简单的分母吗?看下面的证法二: 问题是我们解决数学问题的根本方向保持分莒 证法二设直线l的斜率为k,显然k存母的简单性或把分母“做”得简单一些无疑是 在且不为0,设直线的方程为y-2=k(x-2) 这种思想的具体体现,如果我们在分式计算或 C(x1,y1),D(x2,y2) 化简的时候注意这一点,兴许对解题会有不小 教 2=k(x-2), 的帮助呢 由 责审蒋晓东) 址t: zxss cbpt.cnki.n 3 邮箱:zxss2486@163

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 学 好 基 础 知 识 x１􀅰x２＝ １６k２－３２k＋４ ４k２＋３ , 于是 １ k１ ＋ １ k２ ＝ x１＋２ y１ ＋ x２＋２ y２ ＝ x１＋２ k(x１－２)＋２ ＋ x２＋２ k(x２－２)＋２ ＝ (x１＋２)[k(x２－２)＋２]＋(x２＋２)[k(x１－２)＋２] [k(x１－２)＋２][k(x２－２)＋２] ＝ ２kx１x２＋２(x１＋x２)＋４(２－２k) k２x１x２＋k(２－２k)(x１＋x２)＋(２－２k)２ ＝ ２k １６k２－３２k＋４ ４k２＋３ ＋ k２１６k２－３２k＋４ ４k２＋３ ＋ → ← ２ １６k２－１６k ４k２＋３ ＋４(２－２k) k(２－２k) １６k２－１６k ４k２＋３ ＋(２－２k)２ ＝ ２k(１６k２－３２k＋４)＋２(１６k２－１６k)＋ k２(１６k２－３２k＋４)＋ → ← ４(２－２k)(４k２＋３) k(２－２k)(１６k２－１６k)＋(２－２k)２(４k２＋３) ＝ ２４－４８k １２－２４k ＝２为定值． 这个证法的计算量巨大,如果不具有坚定 不移的韧劲,恐怕很难坚持到底．其根本原因就 是把分母y１,y２ 分别化为k(x１－２)＋２,k(x２ －２)＋２再通分太繁了,估计很多同学做到这 一步就已经决然放弃,当我们很耐心地看完后 面的计算后,一定会发出疑问,我们为什么要 把原本简单的分母y１,y２ 得那么繁呢? 能保留 这个简单的分母吗? 看下面的证法二: 证法二 设直线l 的斜率为k,显然k 存 在且不为０,设直线的方程为y－２＝k(x－２), C(x１,y１),D(x２,y２) 由 y－２＝k(x－２), x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１, ì î í ï ï ïï 得(４k２＋３)y ２＋(１２k－１２)y＋１２－２４k＝０, Δ＝(１２k－１２)２－４(４k２＋３)(１２－２４k)＞０, 得k＞ １ ８ ． 由韦达定理得 y１＋y２＝ １２－１２k ４k２＋３ , y１􀅰y２＝ １２－２４k ４k２＋３ , 于是 １ k１ ＋ １ k２ ＝ x１＋２ y１ ＋ x２＋２ y２ ＝ y１－２ k ＋４ y１ ＋ y２－２ k ＋４ y２ ＝ ２y１y２＋(４k－２)(y１＋y２) ky１y２ ＝ ２ k ＋ ４k－２ k 􀅰 y１＋y２ y１y２ ＝ ２ k ＋ ４k－２ k 􀅰 １２－１２k ４k２＋３ １２－２４k ４k２＋３ ＝２为定值． 对比看出,证法二的计算量显然远远小于 证法一的计算量． “不能把原本就简单的分母做繁了”的另 一层含义就是把分母做得简单些,尤其是对于 那些很繁的分母,通过一些必要的手段把分母 化简,从而实现事半功倍的效果． 化难为易,化繁为简,化陌生为熟悉,化未 知为已知,化抽象为具体,化一般问题为特殊 问题是我们解决数学问题的根本方向．保持分 母的简单性或把分母“做”得简单一些无疑是 这种思想的具体体现,如果我们在分式计算或 化简的时候注意这一点,兴许对解题会有不小 的帮助呢! (责审 蒋晓东) 􀅰３􀅰

中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 关于椭园、双曲线切线方程的一个结论 潘文静 基 (首都师范大学数学科学学院2017级研究生,北京100048) 题目若点M(x0,y0)在圆x2+y2=1 对于已知圆锥曲线的方程,求过圆锥曲线上 知|上,则过点M的圆的切线方程是 点M(x0,y0)的切线方程,一般的做法是设出切 线方程,然后联立圆锥曲线方程和切线方程,令 判别式△=0,求出斜率k,进而得到切线方程 例1(椭圆)若点M(x0,y0)在椭圆+ O口 b2=1(a>b>0)上,则过点M的椭圆的切线 解(1)当x。y0≠0时, 方程是 设过点M的圆的切线l的斜率为k, 解若椭圆过点M的切线l存在斜率 因为OM⊥l, 设其为k, 所以有k·koM=-1, 设切线方程为y=k(x-xo)+y0, 又因为kcm=2 由 所以k y=k(x-x0)+y0, 联立可得 则切线方程为y-yo Cr-n (b2+a2k2)x2+(2a2kyo-2a2k2x0)x+ 整理得yy+xxo=x32+y3 a2k2xo-2a2kroyo +a2y-ab=0 又因为点M(x0,y)在圆x2+y2=1上, 因为切线l与椭圆只有一个交点,所以△ 所以x2+y23=1 =0. 中 所以y0y+xox=1 △=(2a2kyo-2a2k2x0)2-4(b2+a2k2) 即过点M(x0,y0)(x0y0≠0)的圆的切线(a2k2x3-2a2kxy0+a2y-a2b2)=0 即(a2-x3)k2+2x0y0k-y+b2=0(*) 因为点M(x0,y0)在椭圆上, (2)当x。y0=0时,显然过点M的圆切线 所以b2x3+a2y3=a2b2 方程满足(*) 所以b2x3=a2(b2-y3), 思考过椭圆(双曲线)上一点M的切线 a2y02=b2(a2-x3) 方程是否也有类似的结论? (下转第5页) 网址: Zxsscbpt. cnki, net 邮箱:zx2486@163.com

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 学 好 基 础 知 识 关于椭圆、双曲线切线方程的一个结论 潘文静 (首都师范大学数学科学学院 ２０１７级研究生,北京 １０００４８) 题目 若点 M (x０,y０)在圆x２ ＋y ２ ＝１ 上,则过点 M 的圆的切线方程是 ． 解 (１)当x０y０≠０时, 设过点 M 的圆的切线l的斜率为k, 因为OM ⊥l, 所以有k􀅰kOM ＝－１, 又因为kOM ＝ y０ x０ , 所以k＝－ x０ y０ ． 则切线方程为y－y０＝－ x０ y０ (x－x０), 整理得yy０＋xx０＝x２ ０＋y ２ ０． 又因为点 M(x０,y０)在圆x２＋y ２＝１上, 所以x２ ０＋y ２ ０＝１． 所以y０y＋x０x＝１, 即过点 M(x０,y０)(x０y０≠０)的圆的切线 方程是 y０y＋x０x＝１． (∗) (２)当x０y０＝０时,显然过点 M 的圆切线 方程满足(∗)． 思考 过椭圆(双曲线)上一点 M 的切线 方程是否也有类似的结论? 对于已知圆锥曲线的方程,求过圆锥曲线上 点 M(x０,y０)的切线方程,一般的做法是设出切 线方程,然后联立圆锥曲线方程和切线方程,令 判别式Δ＝０,求出斜率k,进而得到切线方程． 例１ (椭圆)若点 M(x０,y０)在椭圆 x２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０)上,则过点 M 的椭圆的切线 方程是 ． 解 若椭圆过点 M 的切线l存在斜率时, 设其为k, 设切线方程为y＝k(x－x０)＋y０, 由 x２ a２ ＋ y２ b２ ＝１, y＝k(x－x０)＋y０, ì î í ï ï ïï 联立可得 (b２＋a２k２)x２ ＋(２a２ky０ －２a２k２x０)x＋ a２k２x２ ０－２a２kx０y０＋a２y ２ ０－a２b２＝０． 因为切线l与椭圆只有一个交点,所以Δ ＝０． Δ＝ (２a２ky０－２a２k２x０)２ －４(b２ ＋a２k２) (a２k２x２ ０－２a２kx０y０＋a２y ２ ０－a２b２)＝０, 即(a２－x２ ０)k２＋２x０y０k－y ２ ０＋b２＝０ (∗) 因为点 M(x０,y０)在椭圆上, 所以b２x２ ０＋a２y ２ ０＝a２b２, 所以b２x２ ０＝a２(b２－y ２ ０), a２y０ ２＝b２(a２－x２ ０)． (下转第５页) 􀅰４􀅰

学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 对排到数云式阶乘形式的认识 (北京市第十二中学,北京100071) 学好基础 排列数公式有两种形式,一是连乘形式 我们不妨举一个具体的例子:求从a,b,c Am=n(n-1)(n-2)×….×(n-m-1),其d,e,f,g这7个元素中取出4个的排列数 原理通过分步计数原理很容易理解;二是阶乘 根据排列数的定义我们知道,该排列数应记 形式N(-m合乘形式的排列数公式为4: 从另一角度看,我们可将a,b,c,d,e,f 在解决一些化简、证明时具备一定的优势,但进行全排列,得到A2个不同的排列在这些排 对它的理解不能仅限于此是否可以从排列的列中,依次取出指定的4个位置元素作为从这 实际意义出发,对阶乘形式的排列数公式进行7个元素中任选4个的一个排列,这里我们不 解释呢?这一问题中所涉及的思维方法对后妨依次取出每个排列的前四个元素此时不难 续理解组合数公式、明确排列数与组合数的区发现在一些情况下,我们取出的结果完全相 别与联系将有很大的帮助所以在学习组合之 前,有必要对这一内容进行研究 1对Am= 的认识 容易想到等号右边,n!是n个不同元素 取出的结果均为a,b,c,d 的全排列数,(n-m)!是n-m个不同元素的 全排列数,为什么二者相除的结果等于等号左 边的Am(即从n个不同元素中取出m个的排 (下转第6页) 列数)? (上接第4页) 若切线斜率不存在时,切线显然满足 (*)式可以化简为{(k+=0, (共#)式 中 同上,同学们可以自主探索,得到 所以k=-2-°,切线方程为 若点M(x,y)在双曲线-2=1(a>继 0,b>0)上,则过点M的双曲线的切线方程是 教 整理可得b2xox+a2yoy=a (责审高雪松) 邮箱:zxss2486@163

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 学 好 基 础 知 识 对排列数公式阶乘形式的认识 高 宇 (北京市第十二中学,北京 １０００７１) 排列数公式有两种形式,一是连乘形式: Am n ＝n(n－１)(n－２)×．．．．．．×(n－m－１),其 原理通过分步计数原理很容易理解;二是阶乘 形式:Am n ＝ n! (n－m)!．阶乘形式的排列数公式 在解决一些化简、证明时具备一定的优势,但 对它的理解不能仅限于此．是否可以从排列的 实际意义出发,对阶乘形式的排列数公式进行 解释呢? 这一问题中所涉及的思维方法对后 续理解组合数公式、明确排列数与组合数的区 别与联系将有很大的帮助．所以在学习组合之 前,有必要对这一内容进行研究． １ 对Am n ＝ n! (n－m)! 的认识 容易想到等号右边,n! 是n 个不同元素 的全排列数,(n－m)! 是n－m 个不同元素的 全排列数,为什么二者相除的结果等于等号左 边的Am n (即从n 个不同元素中取出m 个的排 列数)? 我们不妨举一个具体的例子:求从a,b,c, d,e,f,g 这７个元素中取出４个的排列数． 根据排列数的定义我们知道,该排列数应 为A４ ７． 从另一角度看,我们可将a,b,c,d,e,f,g 进行全排列,得到 A７ ７ 个不同的排列．在这些排 列中,依次取出指定的４个位置元素作为从这 ７个元素中任选４个的一个排列,这里我们不 妨依次取出每个排列的前四个元素．此时不难 发现,在一些情况下,我们取出的结果完全相 同,如: a,b,c,d,e,f,g a,b,c,d,e,g,f a,b,c,d,f,e,g a,b,c,d,f,g,e a,b,c,d,g,e,f a,b,c,d,g,f,e ü þ ý ï ï ï ïï ï ï ï ïï 取出的结果均为a,b,c,d． (下转第６页) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 (上接第４页) (∗)式可以化简为 ay０ b k＋ bx０ a æ è ç ö ø ÷ ２ ＝０, 所以k＝ －b２x０ a２y０ ,切线方程为 y－y０＝－ b２x０ a２y０ (x－x０)． 整理可得b２x０x＋a２y０y＝a２b２． 即 xx０ a２ ＋ yy０ b２ ＝１． (∗∗) 若 切 线 斜 率 不 存 在 时,切 线 显 然 满 足 (∗∗)式． 同上,同学们可以自主探索,得到: 若点 M(x０,y０)在双曲线 x２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞ ０,b＞０)上,则过点 M 的双曲线的切线方程是 x０x a２ － y０y b２ ＝１． (责审 高雪松) 􀅰５􀅰

中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) (上接第5页) 所以共有A×1=840种不同方法 它们的个数是剩下的3个元素e,f,g的 解法二在7个位置中取出3个位置,3 全排列数,即A3=6个;而取出的前4个元素名女生从左到右按从高到矮的顺序站好共有 基 依次为a,b,c,d,所以a,b,c,d是“从a,b,c,C种不同方法,将4名男生安排在余下4个位 础“,这7个元素中取出4个“的一个排置上,有A种不间方法,所以共有CxA 知/列但是在A中它们包含6种不同情况我们840种不同方法 可以理解为这6种不同情况最终对应为同1个 解法三7名学生全排列有A种不同方 识结果:abc,d当前4个元素为其他结果时 法,其中在4名男生站定的情况下,3名女生有 也具备同样的对应规律,所以从a,b,c,d,e,A3种不同站法.由于3名女生顺序确定,所以 f,g这7个元素中取出4个的排列数为A 这A3种不同站法只对应于1种符合条件的站 同理可知,在n个不同元素中给定m个元法故共一80种不同方法,这也是我们 素的一个排列,余下的n-m个元素的所有排常说的“去序法” 列有(n-m)!种,但它们所对应的是给定m 例2书架上原来摆放着6本书,现要插 入3本不同的书,则不同的插法有() 个元素的同一个排列,所以Am=(n-m)! (A)A种 (B)A4种 对排列数公式阶乘形式的这一认识,一方 (C)A3种 (D)2A3种 面有助于对后续“去序法”的理解;另一方面 答案:(C) 利用这种思维方法很容易理解组合数公式,并 解法一从9个位置中选出3个放入需要 解释排列数公式与组合数之间的关系:组合数插入的3本书有A种不同方法,再将原有的6 CmA中的分子是从n个不同元素中取出的本书按原顺序放入剩下的6个位置,故共有A3 种不同方法 m个的全排列数,由于在组合问题中这m个元 解法二9本书的全排列共A9种,原有的 素不需要排序,所以这m个元素的全排列对应 6本书相对顺序不变,所以需要“去序”,故共有 同一个组合故Am除以Am即为从n个不同元 中 素中取出的m个的组合数 AA种不同方法 2应用 3反思 例14名男生3名女生站成一排,要求3 排列数公式阶乘形式中蕴含的对应规律 名女生从左到右按从高到矮的顺序,共有多少是“去序法”的主要依据,在解决“顺序一定问 种不同站法? 题”时具备一定优势其思维方法对于理解排列 解法一在7个位置中取出4个位置,让与组合的基本概念,明确排列与组合的区别与 ●4名男生站好共有A种不同方法;其余3个位联系有重要的意义,在学习中应该予以重视 置3名女生从左到右按从高到矮的顺序站队 (责审马恩林) 网址: Zxsscbpt. cnki, net 邮箱:zx2486@163.com

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 学 好 基 础 知 识 (上接第５页) 它们的个数是剩下的３个元素e,f,g 的 全排列数,即 A３ ３ ＝６个;而取出的前４个元素 依次为a,b,c,d,所以a,b,c,d 是“从a,b,c, d,e,f,g 这 ７ 个元素中取出 ４ 个”的一个排 列．但是在A７ ７ 中它们包含６种不同情况,我们 可以理解为这６种不同情况最终对应为同１个 结果:a,b,c,d．当前４个元素为其他结果时, 也具备同样的对应规律,所以从a,b,c,d,e, f,g 这７个元素中取出４个的排列数为 A７ ７ A３ ３ ． 同理可知,在n 个不同元素中给定m 个元 素的一个排列,余下的n－m 个元素的所有排 列有(n－m)! 种,但它们所对应的是给定 m 个元素的同一个排列,所以Am n ＝ n! (n－m)!． 对排列数公式阶乘形式的这一认识,一方 面有助于对后续“去序法”的理解;另一方面, 利用这种思维方法很容易理解组合数公式,并 解释排列数公式与组合数之间的关系:组合数 Cm n ＝ Am n Am m 中的分子是从n 个不同元素中取出的 m 个的全排列数,由于在组合问题中这 m 个元 素不需要排序,所以这m 个元素的全排列对应 同一个组合．故Am n 除以Am m 即为从n 个不同元 素中取出的m 个的组合数． ２ 应用 例１ ４名男生３名女生站成一排,要求３ 名女生从左到右按从高到矮的顺序,共有多少 种不同站法? 解法一 在７个位置中取出４个位置,让 ４名男生站好共有A４ ７ 种不同方法;其余３个位 置３名女生从左到右按从高到矮的顺序站队, 所以共有A４ ７×１＝８４０种不同方法． 解法二 在７个位置中取出 ３ 个位置,３ 名女生从左到右按从高到矮的顺序站好共有 C３ ７ 种不同方法,将４名男生安排在余下４个位 置上,有A４ ４ 种不同方法,所以共有C３ ７ ×A４ ４ ＝ ８４０种不同方法． 解法三 ７名学生全排列有 A７ ７ 种不同方 法,其中在４名男生站定的情况下,３名女生有 A３ ３ 种不同站法．由于３名女生顺序确定,所以 这A３ ３ 种不同站法只对应于１种符合条件的站 法,故共有 A７ ７ A３ ３ ＝８４０种不同方法,这也是我们 常说的“去序法”． 例２ 书架上原来摆放着６本书,现要插 入３本不同的书,则不同的插法有( )． (A)A３ ７ 种 (B)A４ ４ 种 (C)A３ ９ 种 (D)２A３ ３ 种 答案:(C) 解法一 从９个位置中选出３个放入需要 插入的３本书有A３ ９ 种不同方法,再将原有的６ 本书按原顺序放入剩下的６个位置,故共有A３ ９ 种不同方法． 解法二 ９本书的全排列共A９ ９ 种,原有的 ６本书相对顺序不变,所以需要“去序”,故共有 A９ ９ A６ ６ ＝A３ ９ 种不同方法． ３ 反思 排列数公式阶乘形式中蕴含的对应规律 是“去序法”的主要依据,在解决 “顺序一定问 题”时具备一定优势．其思维方法对于理解排列 与组合的基本概念,明确排列与组合的区别与 联系有重要的意义,在学习中应该予以重视． (责审 马恩林) 􀅰６􀅰

学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 倒记频率分布直方图中的问题 张钢1,张启兆 c) (无锡市第六商级中学,江苏无锡214023;2.无锡市青山高级中学,江苏无锡21036)路 与 频率分布直方图的相关问题是高考中的了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单 万 热点那么频率分布直方图到底涉及到哪些问位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数法 题,又如何求解呢? 据,得到频数分布表如下: 例1(2018年高考全国Ⅰ卷)某家庭记录 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[o0.1)[0.1,0.2)[o.2,0.3)[o.3,0.4)[o.4,0.5)[o.5,0.6)[o.6,07) 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量0.1)[0.1,0.2)[o0.3)[o.3.0.o.0.5 0.5,0.6) 频数 (1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天数据以这组数据所在区间中点的值作代表) 的日用水量数据的频率分布直方图 解(1) 频率/组距 2.8 中 0.2 00.1020.3040.506日用水量/m2 00.1020.3040.506日用水量/m2 图1 (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水 (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头 学4教学 量小于0.35m3的概率 后50天日用水量小于0.35m3的频率为 (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05 节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的=0.48 址: zxss. cbpt cnki 7· 邮箱:zxss2486@163

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 例说频率分布直方图中的问题 张钢１,张启兆２ (１．无锡市第六高级中学,江苏 无锡 ２１４０２３;２．无锡市青山高级中学,江苏 无锡 ２１４０３６) 频率分布直方图的相关问题是高考中的 热点．那么,频率分布直方图到底涉及到哪些问 题,又如何求解呢? 例１ (２０１８年高考全国Ⅰ卷)某家庭记录 了未使用节水龙头 ５０ 天的日用水量数据(单 位:m３)和使用了节水龙头５０天的日用水量数 据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头５０天的日用水量频数分布表 日用水量 [０,０．１) [０．１,０．２) [０．２,０．３) [０．３,０．４) [０．４,０．５) [０．５,０．６) [０．６,０．７) 频数 １ ３ ２ ４ ９ ２６ ５ 使用了节水龙头５０天的日用水量频数分布表 日用水量 [０,０．１) [０．１,０．２) [０．２,０．３) [０．３,０．４) [０．４,０．５) [０．５,０．６) 频数 １ ５ １３ １０ １６ ５ (１)在答题卡上作出使用了节水龙头５０天 的日用水量数据的频率分布直方图: 图１ (２)估计该家庭使用节水龙头后,日用水 量小于０􀆰３５m３ 的概率; (３)估计该家庭使用节水龙头后,一年能 节省多少水? (一年按３６５天计算,同一组中的 数据以这组数据所在区间中点的值作代表．) 解 (１) 图２ (２)根据以上数据,该家庭使用节水龙头 后５０天日用水量小于０􀆰３５m３ 的频率为 ０􀆰２×０􀆰１＋１×０􀆰１＋２􀆰６×０􀆰１＋２×０􀆰０５ ＝０􀆰４８, 􀅰７􀅰

中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小若从抽取的6人中任选2人,求这2人成绩之 图/于0.35m2的概率的估计值为0.48 和大于或等于15的概率 (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量 解(D从A校样本数据的条形图可知:成 路的平均数为 绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生 分别有:6人、15人、21人、12人、3人、3人 -(0.05×1+0.15×3+0.25×2+ A校样本的平均成绩为 万 0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5) 法 4X6+5×15+6×21+7×12+8×3+9 0.48 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量=6(分) 的平均数为 A校样本的方差为 =(0.05×1+0.15×5+0.25×13+ S2=0.1×(4-6)2+0.25×(5-6)2+ 0.35×(6-6)2+0.2×(7 +0.5×(8一 0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35 6)2+0.5×(9-6)2=1.5 估计使用节水龙头后,一年可节省水 从B校样本数据统计表可知 (0.48-0.35)×365=47.45(m3) B校样本的平均成绩为 评注本题主要考查频率分布直方图的 4X9+5×12+6×21+7×9+8×6+9×3 绘制,利用样本估计总体,对数据的处理能力 例2某市组织高一全体学生参加计算机=6(分) 操作比赛,比赛成绩等级分为1至10分,随机 B校样本的方差为 调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩,得 SB=[9×(4-6)2+12×(5-6)2+21 到样本数据如下: (6-6)2+9×(7-6)2+6×(8-6)2+3×(9 6)2]=1.8. 因为xA=xB所以两校学生的计算机成绩 平均分相同;又因为S24<SB,所以A校学生的 计算机成绩比较稳定,总体得分情况比较集中. 2345678910分数 中 (Ⅱ)依题意,A校成绩为7分的学生应抽取 A校样本数据条形图 ×6=4人,设为a,b,c,d 成绩(分) 成绩为8分的学生应抽取的人数为 数(个) 00912219630 3 B校样本数据统计表 12+3+3×6=1人,设为e (I)计算两校样本数据的均值和方差,并 成绩为9分的学生应抽取的人数为 根据所得数据进行比较 Ⅱ)从A校样本数据成绩分别为7分、812+3+3×6=1人,设为f 分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人 (下转第9页) 网址: Zxsscbpt. cnki, net 邮箱:zx2486@163.com

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小 于０􀆰３５m３ 的概率的估计值为０􀆰４８． (３)该家庭未使用节水龙头５０天日用水量 的平均数为 x１＝ １ ５０ (０􀆰０５×１＋０􀆰１５×３＋０􀆰２５×２＋ ０􀆰３５×４＋０􀆰４５×９＋０􀆰５５×２６＋０􀆰６５×５)＝ ０􀆰４８． 该家庭使用了节水龙头后５０天日用水量 的平均数为 x２＝ １ ５０ (０􀆰０５×１＋０􀆰１５×５＋０􀆰２５×１３＋ ０􀆰３５×１０＋０􀆰４５×１６＋０􀆰５５×５)＝０􀆰３５． 估计 使 用 节 水 龙 头 后,一 年 可 节 省 水 (０􀆰４８－０􀆰３５)×３６５＝４７􀆰４５(m３)． 评注 本题主要考查频率分布直方图的 绘制,利用样本估计总体,对数据的处理能力． 例２ 某市组织高一全体学生参加计算机 操作比赛,比赛成绩等级分为１至１０分,随机 调阅了A、B 两所学校各６０名学生的成绩,得 到样本数据如下: A 校样本数据条形图 成绩(分) １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 人数(个) ０ ０ ０ ９ １２ ２１ ９ ６ ３ ０ B 校样本数据统计表 (Ⅰ)计算两校样本数据的均值和方差,并 根据所得数据进行比较． (Ⅱ)从 A 校样本数据成绩分别为７分、８ 分和９分的学生中按分层抽样方法抽取６人, 若从抽取的６人中任选２人,求这２人成绩之 和大于或等于１５的概率． 解 (Ⅰ)从A 校样本数据的条形图可知:成 绩分别为４分、５分、６分、７分、８分、９分的学生 分别有:６人、１５人、２１人、１２人、３人、３人． A 校样本的平均成绩为 x􀭺A ＝ ４×６＋５×１５＋６×２１＋７×１２＋８×３＋９×３ ６０ ＝６(分), A 校样本的方差为 S２ A ＝０．１× (４－６)２ ＋０．２５× (５－６)２ ＋ ０􀆰３５×(６－６)２ ＋０􀆰２×(７－６)２ ＋０􀆰５×(８－ ６)２＋０􀆰５×(９－６)２＝１􀆰５． 从B 校样本数据统计表可知: B 校样本的平均成绩为 x􀭺B ＝ ４×９＋５×１２＋６×２１＋７×９＋８×６＋９×３ ６０ ＝６(分), B 校样本的方差为 S２ B ＝ １ ６０ [９×(４－６)２ ＋１２×(５－６)２ ＋２１ ×(６－６)２＋９×(７－６)２＋６×(８－６)２＋３×(９ －６)２]＝１􀆰８． 因为x􀭵A ＝x􀭵B ,所以两校学生的计算机成绩 平均分相同;又因为S２ A ＜S２ B ,所以A 校学生的 计算机成绩比较稳定,总体得分情况比较集中． (Ⅱ)依题意,A 校成绩为７分的学生应抽取 的人数为: １２ １２＋３＋３ ×６＝４人,设为a,b,c,d; 成 绩 为 ８ 分 的 学 生 应 抽 取 的 人 数 为: ３ １２＋３＋３ ×６＝１人,设为e; 成 绩 为 ９ 分 的 学 生 应 抽 取 的 人 数 为: ３ １２＋３＋３ ×６＝１人,设为f; (下转第９页) 􀅰８􀅰

学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 2y 用“参数法”求轨迹方程的基本原理 黄邵华 c) (南宁市第二中学,广西南宁530029) 方程,是含有未知数的等式笛卡尔的方程的轨迹方程 路与方 思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方 求点M的轨迹方 去 程问题,也就是从实际问题的数量关系入手,程,就是求关于M点的 运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然横纵坐标x,y的一个等 后通过解方程来使问题获解 量关系此题可用“参数 本文将从以下角度来对方程思想进行理法”来求解,根本思想是 解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消借助“设而不求”的理念,通过引入n个参数并寻 个元,若共有n个未知数且有n个方程,则找出与此n个参数相关的n-1个方程 可确定这n个未知数的值;若共有n个未知 解法1不妨设直线OA的斜率为k>0, 数,但只有n-1个方程,则可以得到无数组设点M的坐标为(x,y) 解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某 则直线OA的方程为y=kx,与抛物线方 2个未知数的等量关系 程y2=4x联立后,可得点A的坐标为( 下面以一道例题的不同引参方法,来呈现 和阐述“参数法”求轨迹方程过程中,不同的引 k)又因为O4⊥OB,所以直线OB的斜率为 参方法蕴含着的相同的方程思想原理 例已知抛物线y2=4x上有异于原点O 同理可得点B的坐标为(4k2,-4k) 的两动点A,B,且OA⊥OB,求A,B中点M (下转第10页) ++-+“+“+“+ “+“++-+-+-+-+ (上接第8页) 关系是解决这类问题的关键,频率分布直方图 所以,所有基本事件有C3=15个 中常用的几个等量关系有: 其中,满足条件的基本事件有:ae,af,be, 频数 f,ce,cf,de,df,ef共9个 (1)频率二样本容量(2)各小组的频数之 中 所以从抽取的6人中任选2人,这2人成和等于总数;(3)各小组的频率之和等于1;(4) 各组距相等,即每个小长方形的宽都相等;,学 绩之和大于或等于15的概率为P=15=5 评注本题考查平均数、方差的求法,考 (2各小长方形的高一组距一释本容量X组距’当 查概率的求法,解题时要认真审题,注意频率所以,小长方形的高与频率成正比,与频数也 分布直方图的应用 成正比;(6)各小长方形的面积为各组频率; 理解频率分布直方图中常用的几个等量(7)小长方形面积之和等于频率之和,即为1.● (责审马思林)● 网址:zxs.cbpt.cnki 邮箱:zxss2486@163

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 用“参数法”求轨迹方程的基本原理 黄邵华 (南宁市第二中学,广西 南宁 ５３００２９) 方程,是含有未知数的等式．笛卡尔的方程 思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方 程问题,也就是从实际问题的数量关系入手, 运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然 后通过解方程来使问题获解． 本文将从以下角度来对方程思想进行理 解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消 一个元,若共有n 个未知数且有n 个方程,则 可确定这n 个 未 知 数 的 值;若 共 有n 个 未 知 数,但只有n－１ 个 方 程,则 可 以 得 到 无 数 组 解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某 ２个未知数的等量关系． 下面以一道例题的不同引参方法,来呈现 和阐述“参数法”求轨迹方程过程中,不同的引 参方法蕴含着的相同的方程思想原理． 例 已知抛物线y ２＝４x 上有异于原点O 的两动点A,B,且OA⊥OB,求A,B 中点M 的轨迹方程． 求点 M 的轨迹方 程,就是求关于 M 点的 横纵坐标x,y 的一个等 量关系．此题可用“参数 法”来求解,根本思想是 借助“设而不求”的理念,通过引入n 个参数并寻 找出与此n个参数相关的n－１个方程． 解法１ 不妨设直线OA 的斜率为k＞０, 设点 M 的坐标为(x,y)． 则直线OA 的方程为y＝kx,与抛物线方 程y ２ ＝４x 联 立 后,可 得 点 A 的 坐 标 为 ( ４ k２, ４ k )．又因为OA⊥OB,所以直线OB 的斜率为 － １ k ,同理可得点B 的坐标为(４k２,－４k)． (下转第１０页) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 (上接第８页) 所以,所有基本事件有C２ ６＝１５个, 其中,满足条件的基本事件有:ae,af,be, bf,ce,cf,de,df,ef 共９个, 所以从抽取的６人中任选２人,这２人成 绩之和大于或等于１５的概率为P＝ ９ １５ ＝ ３ ５ ． 评注 本题考查平均数、方差的求法,考 查概率的求法,解题时要认真审题,注意频率 分布直方图的应用． 理解频率分布直方图中常用的几个等量 关系是解决这类问题的关键,频率分布直方图 中常用的几个等量关系有: (１)频率＝ 频数 样本容量 ;(２)各小组的频数之 和等于总数;(３)各小组的频率之和等于１;(４) 各组组距相等,即每个小长方形的宽都相等; (５)各小长方形的高＝ 频率 组距 ＝ 频数 样本容量×组距 , 所以,小长方形的高与频率成正比,与频数也 成正比;(６)各 小 长 方 形 的 面 积 为 各 组 频 率; (７)小长方形面积之和等于频率之和,即为１． (责审 马恩林) 􀅰９􀅰

中学生数学·2020年2月上·第627期(高中) (上接第9页) 中点,就可以写出有关m,n,x,y这4个变量 由于M为A,B中点,因此可得 的3个等量关系,再通过一定的消元方法最终 ①得到有关x,y这2个参数的等量关系,即为动 路 点的轨迹方程 解法三设点A的坐标为(x1,y1),点B 万 的坐标为(x2,y2),点M的坐标为(x,y)则根 通过②2-①后,可消去参数k,最终得点据点A与点B在抛物线y2=4x上,点M为 云|M的轨迹方程为y2=2x-8 A,B中点以及OA⊥OB可以得出以下方程 此“参数法”的方程思想原理在于:引入3 组 个参数k,x,y后,根据中点的横纵坐标分别可 y12=4x1 用k表达,从而找到有关这3个参数的2个方 ② 程,再通过一定的消元方法最终得到有关x,y 这2个参数的等量关系,即为动点的轨迹方程 解法2设直线AB的方程为x=my+n + (n≠0),设点M的坐标为(x,y) ④ 将直线AB的方程x=my+n与抛物线 x12千y1y2 方程y2=4x联立可得y2-4my-4n=0,由韦 消参过程从略 达定理可得P1+切m 参数法”的方程思想原理在于:引入了 ly1J2=-4n A,B,M三个点的坐标x1,y1,x2,y2,x,y共 由此可以计算出 6个参数,根据题意建立5个方程来求解,再通 x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n, 过一定的消元方法最终得到有关x,y这2个 参数的等量关系,即为动点的轨迹方程我们可 以发现,写出有关这6个参数的5个方程并不 由OA⊥OB以及M为A,B中点,可得 是这道题的难点,反而是如何从这5个方程中 解出点M的坐标x,y之间关系的过程较为复 杂 中 即{x=2m2+n,② 最后强调一点:虽然在此原理的指导下 解决一个问题有很多种引参方法,但我们在解 由①可解得n=4(n=0舍去),再将③中决过程当中,应当尽量采用简便的解题方法这 的m解出后代入②,从而得动点的轨迹方程 里的简便包括两方面:寻找等量关系的简便和 为:y2=2x-8 消元过程的简便.这便需要同学们通过更多的 此“参数法”的方程思想原理在于:引入了 练习和思考获取经验与灵感. 4个参数:直线方程的系数m,n以及点M的 (责审梁宇学) 两个坐标x,y而根据题中提供的条件:垂直 网址: Zxsscbpt. cnki, net 10 邮箱:zx2486@163.com

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 (上接第９页) 由于 M 为A,B 中点,因此可得 x＝ ２ k２＋２k２ y＝ ２ k －２k ì î í ï ï ï ï ① ② 通过②２ －①后,可消去参数k,最终得点 M 的轨迹方程为y ２＝２x－８． 此“参数法”的方程思想原理在于:引入３ 个参数k,x,y 后,根据中点的横纵坐标分别可 用k 表达,从而找到有关这３个参数的２个方 程,再通过一定的消元方法最终得到有关x,y 这２个参数的等量关系,即为动点的轨迹方程． 解法２ 设直线 AB 的方程为x＝my＋n (n≠０),设点 M 的坐标为(x,y)． 将直线AB 的方程x＝my＋n 与抛物线 方程y ２＝４x 联立可得y ２－４my－４n＝０,由韦 达定理可得 y１＋y２＝４m, {y１y２＝－４n, 由此可以计算出 x１＋x２＝m(y１＋y２)＋２n＝４m２＋２n, x１x２＝ y１ ２ ４ 􀅰 y１ ２ ４ ＝n２, ì î í ï ï ïï 由OA⊥OB 以及M 为A,B 中点,可得 x１x２＋y１y２＝０, x＝ x１＋x２ ２ , y＝ y１＋y２ ２ , ì î í ï ï ï ï ï ï 即 n２－４n＝０, x＝２m２＋n, y＝２m, ì î í ï ï ï ï ① ② ③ 由①可解得n＝４(n＝０舍去),再将③中 的 m 解出后代入 ②,从而得动点的轨迹方程 为:y ２＝２x－８． 此“参数法”的方程思想原理在于:引入了 ４个参数:直线方程的系数 m,n 以及点 M 的 两个坐标x,y．而根据题中提供的条件:垂直、 中点,就可以写出有关 m,n,x,y 这４个变量 的３个等量关系,再通过一定的消元方法最终 得到有关x,y 这２个参数的等量关系,即为动 点的轨迹方程． 解法三 设点 A 的坐标为(x１,y１),点 B 的坐标为(x２,y２),点 M 的坐标为(x,y)．则根 据点A 与点B 在抛物线y ２ ＝４x 上,点 M 为 A,B 中点 以 及OA ⊥OB 可 以 得 出 以 下 方 程 组: y１ ２＝４x１, y２ ２＝４x２, x＝ x１＋x２ ２ , y＝ y１＋y２ ２ , x１x２＋y１y２＝０． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ① ② ③ ④ ⑤ 消参过程从略． 此“参数法”的方程思想原理在于:引入了 A,B,M 三个点的坐标x１,y１,x２,y２,x,y 共 ６个参数,根据题意建立５个方程来求解,再通 过一定的消元方法最终得到有关x,y 这２个 参数的等量关系,即为动点的轨迹方程．我们可 以发现,写出有关这６个参数的５个方程并不 是这道题的难点,反而是如何从这５个方程中 解出点 M 的坐标x,y 之间关系的过程较为复 杂． 最后强调一点:虽然在此原理的指导下, 解决一个问题有很多种引参方法,但我们在解 决过程当中,应当尽量采用简便的解题方法．这 里的简便包括两方面:寻找等量关系的简便和 消元过程的简便．这便需要同学们通过更多的 练习和思考获取经验与灵感． (责审 梁宇学) 􀅰１０􀅰

学生数学·2020年2月上·第627期(高中) 2y 破解四面体外接球问题 冯克永 c) (霍邱县第一中学,安徽六安237400) 路 与 球和四面体是中学数学的重点内容,两者别相等,将四面体ABCD补充成如图3的长方 万 结合产生的外接球问题,具有抽象程度高求体则面对角线长分别为10,2√3,2设法 解灵活的特点,对解题者的数学技能及创新意长方体的长,宽,高分别为x,y,x,则x2+y2 识的考查具有独到之处因此,它成了高考复习 0,x2+z2=136,z2+y2=164,所以四面体 的难点和竞赛命题的热点本文通过实例介绍ABCD的外接球直径的平方为x2+y2+x2 几种常见的变通策略,供读者参考. 200.所以四面体ABCD的外接球表面积为 1补长方体(或正方体) 200π 例1某几何体的三视图如图1所示,求 该几何体外接球的表面积 正视图 俯视图 点评四面体的对棱分别相等联想到长 图2 方体面对角线,补出长方体,思路自然,过程简 解析由三视图知,该几何体是三棱锥A捷 BCD,且AB⊥平面BCD,CD⊥BD,将三棱 2建系运算 锥A一BCD补充成如图2的长方体,所以AC 例3在三棱锥S一ABC中,SA=SC= 为三棱锥A一BCD外接球的直径,在BA=BC=25,AC=4,平面SAC⊥平面 R△ADC中AC2=52+(7)=32=4R2,所以ABC,求三棱锥S-ABC外接球的表面积 该几何体外接球的表面积为32 点评由三棱锥可以补充成长方体,品味 长方体的妙用 例2在四面体ABCD中,AB=CD 中学“教受 0,AC=BD=2√34,AD=BC=2√41,求四 面体ABCD外接球的表面积 解析根据题意,四面体ABCD的对棱分 址t: zxss cbpt.cnki.n ·11· 邮箱:zxss2486@163

中学生数学􀅰２０２０年２月上􀅰第６２７期(高中) 网址:zxss．cbpt．cnki．net 邮箱:zxss２４８６＠１６３．com 思 路 与 方 法 破解四面体外接球问题 冯克永 (霍邱县第一中学,安徽 六安 ２３７４００) 球和四面体是中学数学的重点内容,两者 结合产生的外接球问题,具有抽象程度高、求 解灵活的特点,对解题者的数学技能及创新意 识的考查具有独到之处．因此,它成了高考复习 的难点和竞赛命题的热点．本文通过实例介绍 几种常见的变通策略,供读者参考． １ 补长方体(或正方体) 例１ 某几何体的三视图如图１所示,求 该几何体外接球的表面积． 图１ 图２ 解析 由三视图知,该几何体是三棱锥 A －BCD,且AB⊥平面BCD,CD⊥BD,将三棱 锥A－BCD 补充成如图２的长方体,所以 AC 为 三 棱 锥 A － BCD 外 接 球 的 直 径,在 Rt△ADC中AC２＝５２＋(７) ２＝３２＝４R２,所以 该几何体外接球的表面积为３２π． 点评 由三棱锥可以补充成长方体,品味 长方体的妙用． 例２ 在 四 面 体 ABCD 中,AB ＝CD ＝ １０,AC＝BD＝２ ３４,AD＝BC＝２ ４１,求四 面体ABCD 外接球的表面积． 解析 根据题意,四面体ABCD 的对棱分 别相等,将四面体ABCD 补充成如图３的长方 体,则面对角线长分别为 １０,２ ３４,２ ４１．设 长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则x２＋y ２＝ １００,x２ ＋z２ ＝１３６,z２ ＋y ２ ＝１６４,所以四面体 ABCD 的外接球直径的平方为x２＋y ２＋z２＝ ２００．所 以 四 面 体 ABCD 的 外 接 球 表 面 积 为 ２００π． 图３ 点评 四面体的对棱分别相等联想到长 方体面对角线,补出长方体,思路自然,过程简 捷． ２ 建系运算 例３ 在三棱锥S－ABC 中,SA＝SC＝ BA＝BC ＝２ ５,AC ＝４,平 面 SAC ⊥ 平 面 ABC,求三棱锥S－ABC 外接球的表面积． 图４ 􀅰１１􀅰