经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修45 不等式选讲 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 b生 人活社 版
目录 引言………………………………1 第一讲不等式和绝对值不等式… ,,,,,,上, 不等式…………………………2 1.不等式的基本性质………………………2 2.基本不等式…………………………5 3.三个正数的算术一几何平均不等式 8 二绝对值不等式 ……………………11 1.绝对值三角不等式……………………11 2.绝对值不等式的解法……………15 第二讲证明不等式的基本方法 ……21 一比较法………… ……21 二综合法与分析法23 CbU byo 三反证法与放编法……26
第三讲柯西不等式与排序不等式 31 二维形式的柯西不等式 31 阅读与思考法国科学家柯西……………36 二一般形式的柯西不等式… 37 三排序不等式………… 第四讲数学归纳法证明不等式 46 数学归纳法 46 二用数学归纳法证明不等式… 50 学习总结报告…………………55
ab 引!宫 在自然界中,等量关系和不等量关系是普遍存在的.描述等量关系可以用等式,描述 不等量关系可以用不等式,与等量关系一样,不等关系也是数学研究的重要内容.所以, 研究不等关系和不等式,既是数学研究的重要方面,也是我们认识世界的重要途径 本专题将在复习已有不等式知识(不等式的性质、基本不等式等)的基础上,继续学 习不等式的知识,包括一些关于绝对值不等式的性质;证明不等式的基本方法:比较法, 综合法和分析法,反证法和放缩法;几个重要的不等式:基本不等式,二维形式、向量形 式和一般形式的柯西不等式,排序不等式;数学归纳法及其在证明不等式中的应用;等等. 许多重要的不等式有深刻的数学意义和背景,本专题中给出的不等式大都有明确的几 何背景,把握这些几何背景,对于我们理解这些不等式的实质是非常重要的.因此,在学 习过程中,同学们应当注意理解这些不等式的背景(特别是几何背景)及其蕴涵的数学思 想,尽可能借助几何直观来证明这些基本而重要的不等式,从中领悟数形结合等重要数学 思想在研究不等式中的作用 希望同学们通过本书的学习,在数学知识的积累、数学能力的提高、对数学的理解和 认识等方面都能再上一个新台阶 1
第一饼 不等式和绝对值不等式 现实中,人们常用长与短、多与少、高与矮、轻与重……来描述客观事物在数量上存 在的不等关系.数学中,人们常用不等式表示这样的不等关系,不等式是数学研究的重要 内容 一不等式 1.不等式的基本性质 研究不等式的出发点是实数的大小关系.我们知道,数轴上的点与实数一一对应,因 此可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小 设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的 左边时,ab(图1.1-1). ch 图1.1-1 关于实数a,b的大小关系,有以下基本事实: 如果a>b,那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a e a-bo a=hea-60 be a-io 上面的符号“”表示“等价于”即可以互相推出 从上述基本事实出发,你认为可以用什么方法比较两个实数的大小?
第一讲不等式和绝对值不等式 第于持 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转 00是正数与负数的分 化为比较它们的差与0的大小·.这是研究不等关系的一个界点,它为实数比棱大小提 出发点 供了“标杆” 例1比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小 分析:通过考察它们的差与0的大小关系,得出这两个多项式的大小关系 解:因为 (x+3)(x+7)-(x+4)(x+6) (x2+10x+21)-(x2+10x+24) 3b,那么b即 abe hca (2)如果a>b,b>c,那么a>c.即 a>b,b>c→a>c. (3)如果a>b,那么a+c>b+c (4)如果a>b,c>0,那么ac>b;如果a>b,cb>0,那么a”>b(n∈N,n≥2) (6)如果a>b>0,那么>V(n∈N,n≥2). 通过语言叙述可以加深理解上述基本性质,例如,性质(4)可以表述为:不等式两边 同乘一个正数,不等号同向;不等式两边同乘一个负数,不等号反向.你能用自己的语言 叙述上述各条性质吗? 后3
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(选修45)不等式进讲 请同学们尝试证明以上不等式的基本性质 观察不等式的基本性质(1)~(6),并与等式的基本性质比较,你认为: 在研究不等式时,需要特别注意什么问题? 实上,从上述基本性质可以发现,在研究不等式时,需要特别注意“符号问题”,即 在作乘(除)法运算时,乘(除)数的符号会影响不等号的方向 上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据.研究不等式时, 经常以它们作为出发点.例如,利用不等式的基本性质可以得到下列结论: 如果a>b.c>d,那么a+c>b+d; 如果a>6>0,c>d>0,那么ac>bd0 你能证明这两 个结论吗? 例2已知a>b>0,c>d>0,求证 Ndvc 分析:观察要证的不等式,联系性质(6),可知关键是证明>.为此先要证 证明:因为c>d>0,所以 >0,c->0,>0 于是 因此 由a>0及性质(4),得 由a>b>0,>0及性质(4),得 0. 由性质(2),得 >0 根据性质(6),有
第一讲不等式和绝对值不等式 第一坪 dv 2.基本不等式 我们已经学过重要不等式a2+b≥2ab(a,b∈R),为了方便同学们学习,下面将它以 定理的形式给出,并给出证明 定理1如果a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立 证明:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立,所以 a2+2≥2ab, 当且仅当a=b时,等号成立 探宠 你能从几何的角度解释定理1吗? 如果把实数ab作为线段长度,那么可以这样来解释定理1: 以a≥b为例,如图1.1-2,在正方形ABCD 中,AB=a;在正方形CEFG中,EF=b.那么 S方形+Sah彬;=a2+b 矩形BCGH和矩形JCDI的长均为a,宽均为b, 它们面积的和是 用+S形T=2ab 矩形BCGH和矩形JCDI的公共部分是正方形 a,b JCK,它的边长等于b,其面积与正方形CEFG 图1.1-2 相等.所以,上述两个矩形面积的和2ab就等于 图中阴影部分的面积,它不大于正方形ABCD与正方形CEFG面积的和,即 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时,两个矩形成为两个正方形,阴影部分面积等于正方形ABCD与正方形 CEFG面积的和 +h=2ab 将定理1作简单的恒等变形,就可以得到以下的基本不等式( basic inequality 定理2(基本不等式)如果a,b>0,那么 a+b 2 5
CHAPTER 通离中课程标准实验教科书数学(选修45)不等式选讲 当且仅当a=b时,等号成立 证明:因为a+b=(a)2+(b)2≥2a·=2√ab,所以 + 当且仅当a=b,即a=b时,等号成立 如果a,b都是正数,我们就称“为a,b的算术平均( arithmetic mean),√ab为a b的几何平均( geometric mean).于是,基本不等式可以表述为 两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均 下面我们讨论基本不等式的几何意义,在图1.1-3中,CD是Rt△ABC中斜边AB上 的高,OC是斜边AB上的中线,AD=a,BD=b.于是, (X=AB=#(a+b) 因为∠DCA+∠A=90°,∠B+∠A=90° 所以∠DCA=∠B. 于是Rt△ DCAoRt△DBC 从而 AD CD CD CD h 图1.1-3 所以CD=√ab 当a≠b时,在R△XD中,斜边(O大于直角边CD,所以√a 当a=b时,R△AC斜边AB上的中线(O和高CD重合,所以士b=√b 综上所述可知,基本不等式的几何意义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜边上 的高 /操宠 你能给出基本不等式的其他几何解释吗? 例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短 分析:设矩形的长为x,宽为y.那么该矩形的周长为2(x+y).面积为xy.这样, 题就转化为 (1)如果2(x+y)(从而x+y)为定值,那么正数x,y有什么关系时xy最大? (2)如果xy为定值,那么正数x,y有什么关系时2(x+y)(从而x+y)最小? 由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之间的数量关系,所以可以考虑利用基本不等 式进行证明. 1161
第一讲不等式和怒对顶不等式 第持 证明:设矩形的长为x,宽为y (1)设矩形周长为定值l,即2x+2y=4为定值.根据基本不等式 可得 y 于是,矩形的面积 当且仅当x=y时,等号成立,即当且仅当矩形是正方形时,面积xy取得最大值i6 (2)设矩形面积为定值S,即xy=S为定值.根据基本不等式 矩形的周长 2(x+y)≥4√xy=4√S, 当且仅当x=y时,等号成立,即当且仅当矩形是正方形时,周长2(x+y)取最小值4S 一般地,从基本不等式可以得到下面结论:对两个正实数x,y,如果它们的和S是定 值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;如果它们的积P是定值,则当且仅当 x=y时,它们的和S取得最小值 利用基本不等式可以解决一些最大(小)值问题 例4某居民小区要建一座八边形的体闲场所,它的主体造型 平面图(图1.1-4)是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的 B 面积为200平方米的十字型地域。计划在正方形MNPQ上建一座 花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影 部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角(图 图1.1-4 中四个三角形)上铺草坪,造价为每平方米80元 (1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式; (2)当x为何值时,S最小?并求出这个最小值 解:(1)设DQ=y米,则x2+4xy=200,从而 200-x2 Lr 于是 S=4200x2+210×4xy+80×2y2 =4200x2+210×4x200-x+80×2/200 7