经全国中小学教材审定委员会 2007年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修3-3 球面上的几何 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人人“社 版
主编寄语 同学们,欢迎大家使用这套普通高中数学教科书,希望它能够成为你们学习数学的好 朋友 作为这套教科书的主编,在大家开始用这套书学习数学之前,对于为什么要学数学 如何才能学好数学等问题,我有一些想法与你们交流 为什么要学数学呢?我想从以下两个方面谈谈认识 数学是有用的在生活、生产、科学和技术中,在这套教科书中,我们都会看到数学 的许多应用.实际上,“数量关系与空间形式”,在实践中,在理论中.在物质世界中,在 精神世界中,处处都有,因而研究“数量关系与空间形式”的数学,处处都有用场.数学 就在我们身边,它是科学的语言.是一切科学和技术的基础,是我们思考和解决问题的 工具 学数学能提高能力.大家都觉得,数学学得好的人也容易学好其他理论.实际上,理 论之间往往有彼此相通和共同的东西,而“数量关系与空间形式”,逻辑结构及探索思维 等正是它们的支架或脉络,因而数学恰在它们的核心处.这样,在数学中得到的训练和修 养会很好地帮助我们学习其他理论,数学素质的提高对于个人能力的发展至关重要 那么,如何才能学好数学呢?我想首先应当对数学有一个正确的认识 数学是自然的.在这套教科书中出现的数学内容,是在人类长期的实践中经过千锤百 炼的数学精华和基础,其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的 如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成过 程,它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的 产物,不仅合情合理,甚至很有人情味.这将有助于大家的学习 数学是清楚的。清楚的前提,清楚的推理,得出清楚的结论,数学中的命题,对就是 对,错就是错,不存在丝毫的含糊、我们说,数学是易学的,因为它是清楚的,只要大家 按照数学规则,按部就班地学,循序渐进地想,绝对可以学懂;我们又说,数学是难学
的,也因为它是清楚的,如果有人不是按照数学规则去学去想,总想把“想当然”的东西 强加给数学,在没有学会加法的时候就想学习乘法,那就要处处碰壁,学不下去了 在对数学有一个正确认识的基础上·还需要讲究一点方法 学数学要摸索自己的学习方法。学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条,每个 人都可以有与众不同的数学学习方法,做习题、用数学解决各种问题是必需的,理解概 念,学会证明、领会思想、掌握方法也是必需的,还要充分发挥问题的作用,问题使我们 的学习更主动、更生动、更富探索性.要善于提问,学会提问,“凡事问个为什么”用自 已的问题和别人的问题带动自己的学习.在这套书中,我们一有机会就提问题,希望“看 过问题三百个,不会解题也会问”类比地学、联系地学,既要从一般概念中看到它的具 体背景,不使概念“空洞”,又要在具体例子中想到它蕴含的一般概念,以使事物有“灵 魂” 同学们,学数学趁年轻.你们正处在一生中接受数学训练、打好数学基础的最佳时 期.这个时期下点功夫学数学,将会终生受益.我们构建了这片数学天地,期盼它有益于 大家的成长.你们是这片天地的主人,希望大家在学习的过程中能对它提出宝贵的改进意 见.预祝同学们愉快地生活在这片数学天地中
目录 引言 …………………1 第一讲从欧氏儿何看球面 ,.,, 3 一平面与球面的位置关系…………3 二直线与球面的位置关系和球幂定理 三球面的对称性…… 466 嗯考题 第二讲球面上:的距离和角………………7 球面上的距离 7 球面上的角 思考题
第三讲球面上的基本图形…12 极与赤道 …………………………12 二球面二角形… 14 球面三角形 1.球面三角形……………………………15 2.三面角 15 3,对顶三角形…………………………16 4.球极三角形 16 忠考题 18 第四讲球面三角形……… ………19 球面三角形三边之间的关系 19 球面“等腰”三角形………2 三球面三角形的周长……………2l 四球面三角形的内角和…………………22 思考题………………………………25 第五讲球面三角形的全等……… 26 1.“边边边”(s.s.s)判定定理………………26 2.“边角边”(sa.s)判定定理…………………27 3.“角边角”(asa)判定定理…………27 4.“角角角”(a,a.a)判定定理 +2 思考题 28 第六讲球面多边形与欧拉公式 20 球面多边形及其内角和公式 …29 二简单多面体的欧拉公式…………………30 三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式 30 思考题 …32
第七讲球面三角形的边角关系……………33 一球面上的正弦定理和余弦定理…33 二用向量方法证明球面上的余弦定理………36 1.向量的向量积 ……………36 2.球而上余弦定理的向量证法……………37 三从球而上的正弦定理看球面与平面…38 四球面上余弦定理的应用——求地球上 两城市间的距离…………………39 思考題 第八讲欧氏儿何与非儿何……………42 平面几何与球面几何的比较…………42 二欧氏平行公理与非欧几何模型 庞加莱模型……………………43 三欧氏几何与非欧几何的意义… 45 阅读与思考非欧几何简史…………46 学习总结报告…………………………48 附永… ………50
在《数学2》中,我们学习过球体,它是以半圆的直径所在 直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.包围球体的曲面 叫做球面.半圆的圆心叫做球心,半圆的半径叫做球的半径,半 圆的直径叫做球的直径(图0-1). 球面既可看成半圆以它的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲 面,又可看成与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点 的集合.本专题将研究球面上的几何(以后简称球面儿何).考 察球面上的点、线以及某些几何图形的性质和度量等等 球面几何与人类的生产、生活息息相关.我们生活的地球可 图0-1 近似看成一个球,航海、航空、卫星定位等都离不开球面几何的 知识 球面与平而虽然都是几何图形,但是两者之间有很大的不同,同时又存在紧密的联 系.研究球面几何离不开欧氏几何,欧氏几何是研究球面几何的基础.我们可以通过类比 欧氏几何的一些结论,猜想球面几何的相关结论;也可以通过这种类比,得到球面几何的 研究方法.比如,在地球这样半径极大的球面上,从非常小的范围来看,大地好像一个平 而.我们站在操场上,感觉操场是很平的.这就好比半径很大的一个圆上的一段小圆弧可 近似看成线段一样.对地球表面面积非常小的局部区域,我们可以从欧氏几何的角度进行 研究、也就是说,把地球表面非常小的局部区域看成平面区域,这种观点就是所谓局部 “欧氏化”,此时所得结论与实际情况基本相符.但是,从大的范围看,如航海、航空、卫 星定位等实际问题,采用“欧氏化”的研究方法所得出的结论就可能产生很大的误差,这 时球面几何的知识就很有用了 类比是学习本专题的重要思想方法.类比欧氏几何的研究问题和研究方法,主要是平 面三角形的有关知识,提出球面几何的问题,研究球面上的图形,特别是球面三角形的有 关性质 本专题首先从我们熟悉的欧氏儿何出发,回顾平面、直线与球面的位置关系,得出与 圆幂定理类似的球幂定理.然后从距离和角出发,进入球面几何的学习.我们知道,距离 和角是平面上描述位置的基本慨念,类似地,球面上的距离和角是球面上描述位置的基本 概念.球面上的距离是本专题的核心概念,我们将学习球面上的距离和角的度量方法,并 在此基础上,引进球面上的基本图形.与三角形是欧氏儿何的研究重点一样,球面三角形 是球面几何的研究重点.我们将研究它的内角和,两个球面三角形全等的判定,球面三角 1
通高中课程标准实验教科书、数学(逃修33)球面上的几何 形的边角关系正弦定理、余弦定理等.在球面三角形的基础上,进一步学习球面多边 形的概念,并用球而多边形的内角和定理推导简单多面体的欧拉公式,体会球面几何与拓 扑学的联系,最后将系统地归纳欧氏几何与球面儿何等非欧儿何的联系与差异 通过本专题的学习,希望同学们在学会球面儿何基础知识的同时,认真体会球面儿何 在实践中的作用,学会用球面几何的知识解决一些简单的实际问题.从中感受球面几何是 描述客观世界的一类非常重要的数学模型,更好地了解我们生活的地球,更深入地认识客 观世界
B 赤道 第一饼 从欧氏几何看球面 我们以前学习的平面儿何和立体儿何统称欧儿里得儿何(简称欧氏儿何).本讲我们 从欧氏几何的角度,即把平面和球面都放到三维欧氏空间中,利用已学过的立体儿何知识 研究平面、直线与球面的位置关系及其几何性质,主要介绍平面与球面的位置关系、直线 与球面的位置关系、球幂定理以及球面的对称性 平面与球面的位置关系 类比直线与圆的位置关系,结合图1-1,我们知道,平面与球面有三种位置关系: 图11 1.平面与球面相交 用任意一个平面去截一个球,截面是圆面,平面与球面 你能证明这个结论 吗?试一试! 的交线是一个圆 当平面与球面相交时,球心到平面的距离小于球的半 径r 2.平面与球面相离 平面与球而不相交,没有交点,此时球心到平面的距离大于球的半径r. 3.平面与球面相切 平面与球面相交,且只有一个交点。此时球心到平面的距离等于球的半径r 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球 心的截面截得的圆叫做小圆 你能证明小圆的半 径小于大圓的半径吗? 如图1-2,当我们把地球看作一个球时,经线就是球面 试一试! 上从北极到南极的半个大圆,它以北极和南极为端点.国际 3
CHAPTER 蔷週高中课惺标准实验教科书数学(逃修33)球面上的几何 上,以过格林尼治天文台的经线为0°经线,向东叫做东经,向西叫做西经.地球球面上一 点的经线的经度是过该点的经线所在半平面与0°经线所在半平面所成的二面角的大小.例 如,点A的经度就是二面角ANSB的大小,即∠BOC的大小 G 赤道 0经线 图1-2 图13 赤道是一个大圆.与赤道所在平面平行的平面截地球表面所得的小圆叫做纬线,过地 球球面上一点的纬线的纬度是该点与球心的连线与赤道平面所成的角的大小.赤道以北叫 做北纬,赤道以南叫做南纬.赤道为0纬线.除赤道以外的其他纬线都是小圆.如图1-3 的纬线是北纬60° 很明显,地球表面上任意一点由经度和纬度唯一确定 如果没有特别说明,以后我们把地球看成球,把地球表面看成球面 二、直线与球面的位置关系和球幂定理 如图1-4,同样,直线与球面也有三种位置关系 1.直线与球面相交:直线与球面有两个交点,这条直线叫做球面的割线.此时球心到 直线的距离小于球的半径r; 2.直线与球面相离:直线与球面没有公共点。此时球心到直线的距离大于球的半 径 3.直线与球相切:直线与球面有且只有一个公共点,这个公共点叫做切点,这条直线 叫做球面的切线.此时球心到直线的距离等于球的半径r P 图1-4 图1-5 4