普通高中课程标准实验教科书 数学 选修34 对称与群 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心孝 ③人》唐从社
目录 引言… 第一讲平面图形的对称群 平面刚体运动 1.平面刚体运动的定义 2.平面刚体运动的性质 思考题 二对称变挟…… 1.对称变换的定义 2.正多边形的对称变挟 3.对称变换的合成 4.对称变换的性质 5. 对称变换的逆变 nuum2 思考题
三平面图形的对称群 第二讲代数学中的对称与抽象群的概念…27 一n元对称群Sn 思考题 多项式的对称变换 思考题 抽象群的概念…… 1.群的一般概念 885868 2.直积 思考题 第三讲对称与群的故事 带饰和面饰 二化学分子的对称群 三晶体的分类… 四伽罗瓦理论 学习总结报告 附录一… 附录二…
引言 观察我们身边的事物,可以发现,对称是现实世界和日常生活中大量存在的现象 如图0-1中,人体具有轴对称性;蝴蝶的翅膀、昆虫的触角都有轴对称性;飞机、天平 剪纸图案等也具有轴对称性 士 图0-1 如图0-2中,花朵、时钟、雪花、风车、齿轮等具有中心对称性 8⑥幽 画國 图0-2 一1晶
若通高中课程标准实教科书数学(选修34)对称与群 因为“对称”是一种非常普遍的自然现象,因而它在物理学、 化学和生命科学中得到广泛的研究和应用;同样地,在数量关系 你能再举 空间形式中“对称”现象也大量存在,因面它也是数学中重要的 些具有轴对 对称的事物吗? 对象,不但得到深入研究,而且形成了系统的数学理论;对称的 和谐形态总是给人以强烈的美感,因此被大量应用于建筑、造 艺术、绘画和工艺美术中,我们从许多著名的中、外建筑古、今的艺术珍品中都能找 到具有对称性的事物(图0-3) 图0 实际上,对称这个概念对我们来说并不陌生,在初中平面几何中,我们就学过下面 两个关于对称图形的定义 定义1如果一个平面图形沿着平面上一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重 合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线称为它的对称轴 定义2把一个平面图形绕平面上某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原 来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点称为它的对称中心 我们还接触过大量具有轴对称和中心对称的图形.如图0-4,等腰三角形、等腰梯 形和正五边形等都是轴对称图形 2
等腰三角形 等腰梯 正五边形 如图0-5.平行四边形、正六边形等都是中心对称图形 平行四边形 正六边形 图0-5 如图0-6,圆、正方形等既是轴对称图形,又是中心对称图形 图 正是根据过 国心的任意直 1.试找出上述7个图形的对称轴或对称中心 都是圆的对称轴 2.将正五边形绕它的中心至少旋转多少度才能与原来的:绕圆心数转任意 图形重合?正六边形呢? 商度都与原来的 重合,古希 :3.圆的对称轴有多少条?把圆绕它的圆心旋转多少度就:毕达哥拉断学派 能够与原来的圆重合 |认为。圆是平面 上最宠美的图形 对“对称性”的研究常常可以使我们加深对物体性质的认识.在本专题中,我们将 借助数学工具来研究各种各样的“对称性”,介绍关于“对称”的数学理论 3
第一讲 平面图形的对称群 平面刚体运动 1.平面刚体运动的定义 现在我们换一个角度来考察引言中的定义1和定义2 按照定义1,等腰三角形是一个轴对称图形,如图1-1,把一个 等腰△ABC沿它的对称轴/折叠,则直线l两旁的部分完全重合 观骤 如图1-2所示,在一张纸(平面)上画一个等腰△ABC,在它的底边的垂直平 分线AD处放一面“双面镜”,并使镜面与纸面垂直,在镜面的反射下,△ABC被 映成了什么图形?这个图形与△ABC有什么关系? 从“双面镜”中可以看到,点B被映到了点C,点C被映到了点 B,△ABC被映到了△ACB,而且△ACB与△ABC是全等的 由于镜面垂直于纸面,因此上述△ABC关于镜面的反射可以看成 na是△ABC关于它的底边垂直平分线AD的反射 图12 如图1-3,任意作一个等腰三角形ABC.任取△ABC 上一点P,作点P关于△ABC底边垂直平分线AD的对称 :点P.那么,A、B、C关于直线AD的对称点分别是什么?: △ABC变成了什么图形?这个图形与△ABC有什么关系? 4
第一讲平面图形的对称群 c的则思△C坡笔等的B甲△个,的点C 现在,代替等腰三角形,我们考察整个平面关于“双面镜”的反射 我们知道,一个平面可以看成是点的集合,就像我们把直线看成点的集合一样.设 a是一个由平面内的所有点组成的集合,t是这个平面内的一条直线,定义点集(平面) a到其自身的一个映射 r:P→P r把平面a内的任意一点P映到点P关于直线l的对称 点P(图1-4).我们把这个映射称为平面a关于直线 的反射( reflection).数学上,把这样定义的反射称 为平面a的一个反射变换 图 可以知道,在反射变换r的作用下,平面 我们把平面 内的点被映到点,平面a内的图形被映到了 那么平面内的图 与它全等的图形(图1-5 形就是由它的边 这时,如果一个平面图形(如等腰三角 界上的点构成的形)在映射r的作用下仍与原来的图形重合 我们就称这个平面图形是一个轴对称图形 图1-5 按照这个定义,引言中的等腰梯形、正五边形都是轴对称图形吗?这 个定义与引言中的定义1是等价的吗? 按照引言中的定义2,正方形是一个中心对称图形 如图1-6,正方形ABCD绕它的中心O逆时针旋转180°后 得到的图形与原来的图形重合,其中,A、B、C、D分别被转到 了C、D、A、B的位置 现在,代替正方形,我们考虑整个平面绕平面内一个固定点 逆时针转180°的旋转,准确地说,设a是一个平面内所有点构成 的集合,O是平面a内的一个固定点,定义点集(平面)a到其自 身的一个映射 1-6 P:P→P, p把平面a内的任意一点P绕点O旋转180后映到点P(图1-7),这个映射称为以点O 为中心转180的旋转( rotation) 再看一下正方形的旋转.如图1-8,取正方形ABCD的中心O为固定点,设P是以 温量5
CHAPTER 通高中课拦标准实验教科书数竽(远修34)对称与群 点O为中心转180°的旋转.那么,在P的作用下,正方形上任意一点P被映到了正方形 上另一点P',正方形的顶点A、B、C、D依次被映到点C、D、A、B,正方形ABCD 被映到正方形CDAB,显然这两个正方形重合 若没有特别 说转的方 是指逆时针 图1-7 图1-8 一般地,如果一个平面图形在映射P(以点O为中心转180°的旋转)的作用下仍与 原来的图形重合,我们就称这个平面图形是一个中心对称图形 按照这个定义,引言中的平行四边形、正六边形、圆都是中心对称图· 形吗?这个定义与引盲中的定义2是等价的吗? 我们可以对以点O为中心转180°的旋转进行推广,请同学们自己定义一个映射,表 示平面以一个固定点P为中心转任意给定角度的旋转,这样定义的映射在数学上称为旋 转变换 旋转角度为0的旋转变换把平面上的所有点映到它自身。这个映射使整个平面上的 每个点都保持不动,所以称为恒等变换( identity transformation 操 P、Q是平面内的任意两点,在旋转(或反射)变换的作用下,它们的对应 点分别是P、Q.P到Q的距离与P到Q的距离有什么关系? 探索在某种变 可以发现,反射变换和旋转变换有一个共同的特点,即所谓 换下的不变量或不“保距性”也就是说,对于平面内的任意两点P和Q,在反射 变关系,是批学研(或旋转)变换的作用下的对应点是P和Q,那么P到Q的距离 究的重要问题 等于P到Q的距离,借用物理学中的一个名词,我们把这类“保
第一讲平面图形的对称群 持距离不变”的映射称为平面刚体运动 为了方便,今后我们将不再区分平面a和其内的所有点组成的集合a,即a既是一个 平面的符号,又是一个平面内所有点组成的集合的符号 定义设a是一个平面,映射 0如采映射 m:平面a→平面a 满足:(1)A中 是一个一一映射·,若m保持平面。内任意两点间的距离不变,不同的去在B 则称m是一个平面刚体运动( the rigid motions of the plane) 中有不同的象 (2)B中任意 下面我们对上述定义作一个简单的解释任意一个平面刚体个元素,在A 运动m:平面a→平面a,都满足下面四条 有一个原象 (1)对于平面a内的任意一点P,在平面a内存在唯一的一 么这个映射就叫 点P与之对应,记作P=m(P),P叫做P在m作用下的象 (2)任取平面a内的一点P,存在平面a内的点P,使得 是P在变换m作用下的象 (3)任取平面a内的两点P1、P2,如果P1≠P2,那么它们的象也是不同的,即m (P)≠m(P2); (4)任取平面a内的两点P、Q,它们在m下的象是P、Q,即P=m(P),Q= m(Q),那么PQ1=PQ,即点P、Q之间的距离与点P、Q之间的距离相等 实际上,我们在过去的学习中碰到过许多平面刚 体运动.例如,我们熟悉的平移( translation)就是 一类平面刚体运动 你能举出一些平面刚 体运动的例子吗 设a是一个平面,点O是a内的一个定点,v是 一个以O为起点的定向量,平移是指平面内一个点到 点的映射 t;P→P t把平面内的任意一点P映到点P,且满足OF=O+v (图1-9) 这个映射在数学上称为平移变换在平移变换t的作用 下,平面内的所有点沿定向量v的方向,移动了距离|v 图1-9 2.平面刚体运动的性质 平面刚体运动m:平面a·平面a有哪些性质呢?保持距离不变是m的一个很强的 性质.可以证明,只要知道不共线的3个点A、B、C在m下的象A'、B、C,m就完 全确定下来了(参见附录一) 下面我们再来证明:在平面刚体运动m的作用下,正n边形的大小和形状都保持不 变,为了证明这个结论,我们先来证明下面这个命题 7