经全国中小学教材审定委员会 2005年初审通过 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-1 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人人 版
本册导引 我们根据《普通高中数学课程标准(实验)》编写了这套实验教科书.本书是高中数 学选修课程系列2中的选修2-1,包括“常用逻辑用语”“圆锥曲线与方程”“空间向量与 立体几何”三章内容 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质.无论是进行思考、交流, 还是从事各项工作,都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维.在本模块中,同学们将 在义务教育阶段的基础上,学习常用逻辑用语,体会逻辑用语在表述和论证中的作用,利 用这些逻辑用语准确地表达数学内容,从而更好地进行交流 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,同学们将学习圆锥曲线与 方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与 方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想 用空间向量处理立体几何问题,提供了新的视角.空间向量的引入,为解决三维空间 中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.在本模块中,同学们将在学习 平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面 位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想象能力和几 何直观能力 学习始于疑问.在本书中,我们将通过适当的问题情境,引出需要学习的数学内容, 然后在“观察”“思考”“探究”等活动中,引导同学们自己发现问题、提出问题,通过亲 身实践、主动思维,经历不断的从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动来理解和掌 握数学基础知识,打下坚实的数学基础 学而不思则罔.只有通过自己的独立思考,同时掌握科学的思维方法,才能真正学会 数学.在本书中,我们将利用数学内容之间的内在联系,特别是蕴涵在数学知识中的数学 思想方法,启发和引导同学们学习类比、推广、特殊化、化归等数学思考的常用逻辑方 法,使大家学会数学思考与推理,不断提高数学思维能力 学习的目的在于应用.在本书中,我们将努力为同学们提供应用数学知识解决各种数 学内外问题的机会,以使同学们加深对数学概念本质的理解,认识数学知识与实际的联 系,学会用数学知识和方法解决一些实际问题.另外,我们还开辟了“观察与猜想”“阅 读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目,为大家提供选学素材,有兴趣 的同学可以自主选择其中的一些内容进行探究
本书部分数学符号 pAq p且q pVq p或q p p的否定;非p 若p则q peg p→q,且q→>p;p等价于q x∈M,p(x) 对每一个属于M的x,p(x)成立 彐x0∈M,p(xo) 存在M中的元素x0,使p(x0)成立 向量a 向量a的长度或模 la, b, ch 空间向量的一个基底 li, j,k) 空间向量的单位正交基 a·b 向量a,b的数量积 Or 空间直角坐标系
祝愿同学们通过本册书的学习,不但学到更多的数学知识,而且在数学能力、用数学 解决问题的能力等方面都有较大的提高,并培养起更高的数学学习兴趣,形成对数学的更 加全面的认识
目录 第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 和*****+*+"++++++++++· 129 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 阅读与思考“且”“或”“非”与“交”“并”“补”…19 1.4全称量词与存在量词 ………21 小结 2 复习参考题 30 第二章圆锥曲线与方程 2.1曲线与方程…… 34 2.2椭圆 探究与发现为什么截口曲线是椭圆… 信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆……50 2.3双曲线 探究与发现为什么y=士x是以曲线一=1的
渐近线 2.4拋物线 64 探究与发现为什么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象是抛物线………74 阅读与思考一、园锥曲线的光学性质及其应用……75 阅锥曲线的离心率与统一方程 76 小结 78 复习参考题 第三章空向向量与立体儿何 3.1空间向量及其运算…………………84 阋读与思考向量概念的推广与应用 99 3.2立体几何中的向量方法……………102 小结………… ……………115 复习参考题 117
逻輯是研究思维形式和规律的 科学,“数学是思维的科学”逻辑与 数学有着天然的联系
第一章 常用逻辑用语 命题及其关系 充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 在我们日常交往、学习和工作中,逻辑 用语是必不可少的工具正确使用逻輯用语 是现代社会公民应具备的基本素质, 数学是一门逻辑性很强的学科,表述数 学概念和结论、进行推理和论证,都要使用 逻辑用语,学习一些常用逻辑用语,可以使 我们正确理解数学概念、合理论证数学结 论、准确表达数学内容 本幸中,我们将学习命题及四种命题之 间的关系、克分条件与必要条件、简单的逻 辑联结词、全称量词与存在量词等一些基 本知识,通过学习和使用常用逻辑用语,掌 握常用逻辚用语的用法,纠正出现的逻輯 错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内 容的准确性、简洁性
原命题 命题 命 通否命题 命题及其关系 11.1命题 愚考 下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除 可以看到,这些语句都是陈述句,并且可以判断真假.其中语句(1)(3)(5)判 断为真,语句(2)(4)(6)判断为假 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表 达的,可以判断真假的陈述句叫做命题( proposition) 对于含变量的命题,如 其中判断为真的语句叫做真命题( true proposition), 思考”中的(4),若变量 的取值范围为R,则可省略 判断为假的语句叫做假命题( false proposition). 不写.后面,我们会专门研 所以,在上面的语句中,(1)(3)(5)是真命题,究含变量的命题 (2)(4)(6)是假命题 例1判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数0,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? 0大于1.除1和自身之外没有其他正因数的整数
第一章常用逻辑用语 第一章 (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; (5)√(-2)2=2; (6)x>15. 分析:判断一个语句是不是命题,就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真 假”这两个条件 解:上面6个语句中,(3)不是陈述句,所以它不是命题;(6)虽然是陈述句,但因 为无法判断它的真假,所以它也不是命题;其余4个都是陈述句,而且都可以判断真假, 所以它们都是命题,其中(1)(5)是真命题,(2)(4)是假命题 容易看出,例1中的命题(2)(4)具有 ‘若p,则q 这种形式的命题也可写 的形式.在本章中,我们只讨论这种形式的命题 成“如果p,那么q”“只要 p,就有q”等形式 通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件, 叫做命题的结论 例2指出下列命题中的条件p和结论q: (1)若整数a能被2整除,则a是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分 解:(1)条件p:整数a能被2整除,结论q:整数a是偶数. (2)条件p:四边形是菱形,结论q:四边形的对角线互相垂直且平分. 数学中有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的 两个平面平行”,但是把它的表述作适当改变,就可以写成“若p,则q”的形式: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行 这样,它的条件和结论就很清楚了 例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假: (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等 解:(1)若两条直线垂直于同一条直线,则这两条直线平行 它是假命题 (2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数. 它是真命题 (3)若两个角是对顶角,则这两个角相等 它是真命题 量3