32,2函数模型的应用实例
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、例题分析 例1、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认 识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提 供依据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出 了自然状态下的人口增长模型: y=yo 其中t表示经过的时间,y表示0时的人口数,r 表示人口的年平均增长率
例1、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认 识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提 供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出 了自然状态下的人口增长模型： 一、例题分析 其中 t 表示经过的时间，y0表示 t=0 时的人口数，r 表示人口的年平均增长率。 0 rt y y e =
下面是1950~1959年我国的人口数据资料: 年份19501951195219531954 人数(万)5519656300574825879660266 年份1955196195719581959 人数万)6145662828645636599467207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验 所得模型与实际人口数据是否相符; (2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年我国的 人口达到13亿?
年份 人数(万) 年份 人数(万) 下面是1950~1959年我国的人口数据资料： 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模 型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验 所得模型与实际人口数据是否相符； 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 (2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口达到13亿？ 0 rt y y e =
解:(1设1951~1959年的人口增长率分别为r1,r2 由55196(1+r)=56300,可得1951年的人口增长率 为r1≈0.0200 同理可得, r2≈0.0210,r30.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197, r6≈0.0223,r7≈0.0276,r8≈0.0222,r0.0184 于是,1951~1959年期间,我国人口的平均增长 率为:r=(r1+r2+.r)÷9≈0.0221 令y0=55196,则我国1950-1959年期间的人口增长 模型为:y=55196c02t∈N) 根据数据做出散点图,并做出y=55196e00221 (t∈N)的图像
解：(1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1 ,r2 ,…,r9 由 55 196(1+r1 )=56 300，可得1951年的人口增长率 为r1≈0.020 0 同理可得， r2≈0.021 0， r3≈0.022 9， r4≈0.025 0，r5≈0.019 7， r6≈0.022 3， r7≈0.027 6，r8≈0.022 2， r9≈0.018 4 于是，1951~1959年期间，我国人口的平均增长 率为：r=(r1+r2+…+r9 )÷9 ≈0.022 1 令y0=55 196，则我国1950~1959年期间的人口增长 模型为：y=55 196e0.0221t（t∈N） 根据数据做出散点图，并做出y=55 196e0.0221t （t∈N）的图像
(2)将y=130000代y=55196e002(teN) 由计算器可得t38.76 所以,如果按照表格的增长趋势,那么大约在 1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已经达 到了13亿
（2）将 y=130000 代入 y=55 196e0.0221t（t∈N） 由计算器可得 t=38.76 所以，如果按照表格的增长趋势，那么大约在 1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已经达 到了13亿
、例题分析 例2、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成 本为200元,每桶水的进价是5元。销售单价与日均销 售量的关系如下表: 销售单价元6789101112 日均销售桶480440400360320280240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价 才能获得最大利润?
例2、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成 本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日均销 售量的关系如下表： 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价 才能获得最大利润？ 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售/桶 480 440 400 360 320 280 240 一、例题分析
、例题分析 解ε由表可得,销售单价每增加1元,日均销售量就 减少40桶。 设销售单价定为x元,日均销售利润为y元,而在 此情况下的日均销售量就为: 480-40(x-6)=720-40x(桶) 由x>5,且720-40x>0,即5<x<18,于是可得: y=(x-5)(720-40x)-200=40x2+920x-3800,5<x<18 易得,当x=115时,y有最大值 所以,只需将销售单价定为1元,就可获得最 大的利润
解：由表可得，销售单价每增加1元，日均销售量就 减少40桶。 设销售单价定为x元，日均销售利润为y元，而在 此情况下的日均销售量就为： 480-40(x-6)=720-40x（桶） 由x>5，且720-40x>0，即5<x<18，于是可得： y=(x-5)(720-40x) -200=-40x 2+920x-3800，5<x<18 易得，当x=11.5时，y有最大值。 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最 大的利润。 一、例题分析
、例题分析 解二:由表可得,销售单价每增加1元,日均销售量 就减少40桶。 设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元, 而在此情况下的日均销售量就为: 480-40(x-1)=520-40x(桶) 由x>0,且520-40x>0,即0<x<13,于是可得: y=(520-40x)x-200=40x2+520x200,0<x<13 易得,当x=6.5时,y有最大值。 所以,只需将销售单价定为1元,就可获得最 大的利润
解二：由表可得，销售单价每增加1元，日均销售量 就减少40桶。 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 而在此情况下的日均销售量就为： 480-40(x-1)=520-40x（桶） 由x>0，且520-40x>0，即0<x<13，于是可得： y=(520-40x)x-200=-40x 2+520x-200，0<x<13 易得，当x=6.5时，y有最大值。 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最 大的利润。 一、例题分析