3.1.1两角的余弦公式
、新课引入 请同学们思考:某城市的电视发射 D 塔建在市郊的一座小山上。如图所示, 在地平面上有一点A,测得A、C两点间 距离约为60米,从A观测电视发射塔的 视角(∠CAD)约为45°,∠CAB=15 求AD长度。 60 0 B
一、新课引入 D A B 60 C 45° 150 请同学们思考：某城市的电视发射 塔建在市郊的一座小山上。如图所示， 在地平面上有一点A，测得A、C两点间 距离约为60米，从A观测电视发射塔的 视角(∠CAD)约为45° ，∠CAB=15o 。 求AD长度
二、基础知识讲解 用向量方法探究cos(a-B的值 如右图,在平面直角坐标系 xO内作单位圆O,以Ox为始 边作角a,B,它们的终边与 B 单位圆O的交点分别为A,B. (1)、结合图形,明确应选择 哪几个向量,它们怎么表示? (2量O,O硝夹角是什么? 与角a,B是什么关系?
二、基础知识讲解 用向量方法探究cos( ) − 的值 (1)、结合图形，明确应选择 哪几个向量，它们怎么表示? β α A B O x y . xOy O Ox O A B 如右图，在平面直角坐标系 内作单位圆 ，以 为始 边作角 ， ，它们的终边与 单位圆 的交点分别为 ， ( ) , 2 OA OB 向量 的夹角是什么？ 与角 ， 是什么关系？
二、基础知识讲解 用向量方法探究cos(a-B的值 OA=(cos a, sin a)OB=(cos B, sin B)y OA0B=coS a cos B+sin a sin B 设O4与O硝夹角为e, (1)当a-B∈0,时,则0=a-B 0A.0B=OA. OB cos(a-B) cos(a-B) 于是cos(a-B)= cos acos B+ sin asin B
= OA OB cos cos sin sin + ( ) [ , ] 1 0 当 − − 时,则 = OA OB 于是 cos( ) cos cos sin sin − = + β α A B O x y 二、基础知识讲解 用向量方法探究cos( ) − 的值 OA =(cos ,sin ) OB = (cos ,sin ) = − cos( ) = − | | | | cos( ) OA OB 设OA OB 与 的夹角为
二、基础知识讲解 用向量方法探究cos(a-B)的值 (2)当a-B[0,丌时, 设O4与OB夹角为,则 0A.OB=oA OB cos 8=cos 6 B cos a cos B+sin a sin B. 第一种情况:a=2kz+β+θ. 于是a-B=2k丌+0,k∈Z. 所以cos(a-B)=cos9 coS(a-B)=cos a cos B+sin asinlB
| || | cos cos cos cos sin sin . OA OB OA OB = = = + 2 2 . , . k k k Z = + + − = + 第一种情况： 于是 2 0 - OA OB （ ）当 ［ ， ］时， 设 与 的夹角为 ，则 所以 cos( ) cos − = 即 cos( ) cos cos sin sin − = + 二、基础知识讲解 用向量方法探究cos( ) − 的值 β α A B O x y
二、基础知识讲解 用向量方法探究cos(a-)的值 (2)当a-Bg[0,x]时, 设O4与O硝夹角为6,则 0A OB=oA OB cos 6=cos 6 cos a cos B+sin a sin B 第二种情况:a=2kx+B-0. 于是a-B=2kx-0,k∈Z. 所以cos(a-)=cos0 Ep cos(a-B)=cos a cos B+sin asin B
| || | cos cos cos cos sin sin . OA OB OA OB = = = + 2 0 - OA OB （ ）当 ［ ， ］时， 设 与 的夹角为 ，则 二、基础知识讲解 用向量方法探究cos( ) − 的值 2 2 . , . k k k Z = + − − = − 第二种情况： 于是 所以 cos( ) cos − = 即 cos( ) cos cos sin sin − = + α β B A O x y
二、基础知识讲解 用向量方法探究cos(a-B)的值 于是,对于任意角、β都有 /cos(a-B)=cos a cos B+sin a sin B 两角差的余弦公式Ca-B ①任意角 ②同名积 ③符号反
于是，对于任意角α、β都有 C( ) − cos cos cos sin sin （ − = + ） ①任意角 ②同名积 ③符号反 两角差的余弦公式 二、基础知识讲解 用向量方法探究cos( ) − 的值
例题分析 例l、求值:cos15,c0s75,sin15 分析:怎样把15°表示成两个特殊角的差? 解:cos15°=c0s(45°-309) =cos45°c0s30°+sin45°sim30 √2√3√216+2 十 2222 应用公式的逆用 cosacosB+sinasinB-=cos(a-B) 求cos270cos120+sim27sim12的值。 求 cosX cost(x+150)+ -sInx sin(x+15)的值
例1、求值：cos ,cos sin . 15 75 1 ， 5 = + cos cos sin sin 45 30 45 30 2 3 2 1 6 2 2 2 2 2 4 + = + = 解：cos cos( ) 15 45 30 = − 分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？ 应用 公式的逆用 cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) 求 cos270 cos120 +sin270 sin120 的值。 求 cosx cos(x+150 ) +sinx sin(x+150 )的值。 三、例题分析
例题分析 例2、已知sina c∈ ,兀|ycos B 5 2 13 β是第三象限角,求c0s(a-月)的值。 分析由Ca,和本题的条件,要计算cos(),应求什么? 解:由sina=,a∈ 丌得: 2 4 cOS a=-vl-sin a= 又由cosB 13’是第三象限角,得 12 SIn cos B 13 13
( ) 4 2 5 5 2 13 sin , cos cos = = − − 已知 ， ， ， 是第三象限角， 例 求 、 的值。 三、例题分析 分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β), 应求什么？ 4 5 2 sin , = 解：由 ， 得： 2 2 4 3 1 1 5 5 cos sin = − − = − − = − 5 13 又由cos = − ， 是第三象限角，得 2 2 5 12 1 1 13 13 sin cos = − − = − − − = −
例题分析 5 例2、已知sina=,a∈,z,cosB 2 13 β是第三象限角,求cos(a-B)的值 cos a B)=cosa cos B+sina sin B (3y(+3(B 33 65 若将例2中的条件a∈(,x)去掉, 对结果和求解过程会有什么影响?
− = + cos cos cos sin sin ( ) 3 5 4 12 33 5 13 5 13 65 = − − + − = − ( ) 4 2 5 5 2 13 sin , cos cos = = − − 已知 ， ， ， 是第三象限角， 例 求 、 的值。 三、例题分析 若将例2中的条件 去掉， 对结果和求解过程会有什么影响？ 2 （ ， ）