3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2a=2 sin a cos a cos 2a= cos a-sin a=2cos a-1=1-2sin a 2 tan a 丌kx tan 2a a≠+且a≠+k,k∈ 1-tan'a 42 2 随堂练习.(填空) sin zal sin a cos a=sin 2a 2cos a sInal 1+sin 2a=(sin a+ cos a)1-sin 2a=(sina-cos a 1+cos 2a 2 cos 2a cos a sIn a 2 2
sin cos = 1 sin 2 + = 1 sin2 2 2 (sin cos ) + 随堂练习.(填空) 2sin cos cos2 = 2 2tan 1 tan − sin2 2cos = sin 1 cos 2 2 + = 1 cos 2 2 − = 2 sin 2 cos 1 sin 2 − = 2 (sin cos ) − sin2 = 2 2 cos sin − 2 2 = − = − 2cos 1 1 2sin tan2 = , 4 2 2 k k k Z + + 且
sin 2a= 2sin a cos a cos 2a=cos a-sin a=2cos a-1=1-2sin' a 2 tan a tan 2a 1-tan a 公式的常见变形及逆用 1+cos 2a cos a 1+cos 2a=2cos a 2 1-cos 2a SIn c= 1-cos 20=2 sin a 2 降幂升角公式 升幂降角公式 l±sin2a=(sina±cosa)2
sin2 2sin cos = 2 2 2 2 cos 2 cos sin = − = − = − 2cos 1 1 2sin 2 2tan tan 2 1 tan = − 公式的常见变形及逆用 降幂升角公式 升幂降角公式 2 1 2 2 + = cos cos 2 1 2 2 − = cos sin 2 1 2 2 cos cos + = 2 1 2 2 cos sin − = 2 1 2 = sin (sin cos )
例题分析 例2、在AABC中,c0sA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值。 24+2B与A,B之间能构成怎样的关系? 提示: 思路一:cosA→tanA→tan2A →tanQ2A+2B) tanB→>tan2B 思路二:cosA→tanA >tan (A+B)>tan [2(A+B) tan
5 2 4 例 、在ABC A B A B 中，cos ,tan tan( ) = = + 2 2 2 ，求 的值。 cos tan A A → 提示： 思路一： → + tan（2 2 A B） cosA tanA tanB 思路二： → → + tan[ ( ) 2 A B ] tanB tan2B → →tan2A → + tan（A B） 2A+2B与A，B之间能构成怎样的关系? 三、例题分析
三、例题分析 例2、在AABC中,c0sA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值。 解法一:在△ABC中, 由c034=4,0<A<花得simA=-c0°4=3, sin a 3 5 3 tana= COs A 5 4 4 2 tan A 24 tan 2A= 1-tan2 7 由tanB=2,得tan2B= 2 tanB 4 I-tan-b 3 244 tan 2A+ tan 2B 于是tan(2A+2B)= 1-tan2Atan2B,24.4117
4 0 5 : , cos , , ABC A A = 解法一 在 中 由 得 2 3 1 5 sin cos , A A = − = 3 5 3 5 4 4 sin tan , cos A A A = = = 2 2 24 2 1 7 tan tan , tan A A A = = − 2 2 4 2 2 1 3 tan tan , tan , tan B B B B = = = − − 由 得 2 2 2 2 1 2 2 tan tan tan( ) tan tan A B A B A B + + = − 于是 24 4 7 3 44 24 4 117 1 7 3 . − = = − − 5 2 4 例 、在ABC A B A B 中，cos ,tan tan( ) = = + 2 2 2 ，求 的值。 三、例题分析
三、例题分析 例2、在AABC中,c0sA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值。 解法二:在△ABC中, 由cosA=4,0<A<n,得sinA=1-c0s2A=3, taD、SinA353 又tanB=2 c0sA5^44 3 tan a+tan B +2 tan (A+B= 4 1-tan Atan 3 2 4 于是tan(2A+2B)=tan2(4+B) 2 tan(A+ B) 44 I-tan (A+ B) 117 2
解法二:在 ABC中, 2 3 1 5 sin cos , A A = − = 3 5 3 5 4 4 sin tan , cos A A A = = = 1 tan tan tan( ) tan tan A B A B A B + + = − 又tanB = 2 3 2 11 4 3 2 1 2 4 . + = = − − 于是tan( ) tan[ ( )] 2 2 2 A B A B + = + 2 2 1 tan( ) tan ( ) A B A B + = − + 2 11 2 2 44 11 117 1 2 − = = − − 5 2 4 例 、在ABC A B A B 中，cos ,tan tan( ) = = + 2 2 2 ，求 的值。 三、例题分析 4 0 5 由cos , , A A = 得
变式、少图在等腰△ABC中, 已知sinC=,求tanA的值。 10 B 解:在等腰三角形4BC中,C为底角,0<C< 2 √2 cos C sin C tan c sin C 10 cosC 7 ∵B=C∴A=丌-(B+C)=丌-2C 2 tan c tan A=tan(r-20)=-tan2C= 1-tan' 24 B
A B C 2 10 sin tan ABC C A = 变式、如图，在等腰 中， 已知 ，求 的值。 2 7 2 cos 1 sin , 10 = − = C C : , 0 2 ABC C C 解 在等腰三角形 中 为底角, sin 1 tan cos 7 C C C = = B C= = − 2C = − tan tan( 2 ) A C = −tan2C 2 2tan 7 1 tan 24 C C = − = − − A B C A B C = − + A B C ( )
三、例题分析 例3、已知c0a-B)=-1,sim(-B)=2,且x <c<兀 32 0<B< 求cos(a+B) 2
三、例题分析 1 2 2 9 2 3 2 0 2 cos( ) ,sin( ) , , , cos 3 ( ) − = − − = + 例 已知 且 求
随堂练习 已知sina+sinB=,c0sa+c0s月=,求cos 的值 2 59 分析:由sina+siB=,0sa+c0B=得cos(a-B)= 72 故CO3a-B1+co(-B)_131 144
随堂练习 1 1 2 2 3 2 sin sin ,cos cos , cos − 已知 + = + = 求 的值 1 1 59 2 3 72 分析：由sin sin ,cos cos cos( ) + = + = − = 得 2 1 131 2 2 144 cos( ) cos − + − 故 = =