3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
复习引入 两角和(差)的正弦、余弦、正切公式 C(atB): cos(atA)=cos a cos sin a sin B SatB) sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B (a±):tan(a±B)= tana±tanB 1千 tan a tan F 填空:若a,B为第二象限角且sina=,c03 4 则sin(a+B)=-1 cOsC= 453-5 sin B= 24 探究1:若第二象限角a满足sina=,则sin2a=25 2sin a cosa
( ) C : cos( ) cos cos sin sin = ( ) S : sin( ) sin cos cos sin = 1 ( ) tan tan : tan( ) tan tan T = 两角和(差)的正弦、余弦、正切公式 3 3 5 5 : , , sin ,cos sin( )=____; = = − + 若 为第二象限 , 则 填空 角 且 −1 4 5 sin = 4 5 cos , = − sin( ) sin cos cos sin + = + 3 1 2 5 探究 :若第二象限角 满足sin sin = = ，则 ____ . = 2sin cos 24 25 − 一、复习引入
利用SaB、C(aB、Ta尝试推导下公式: sin za 2sin a cos al sin( a+a= sin a cos a +cos asina cos 20= cos a-sin a =cos(a+ a= cos a cos a-sin asina 2 tan a tan 2a 1-tan a tan a+ tan a =tan(a+a)= 1-tan a tan a 二倍角公式: S2a sin 2a=2sin a cos a a∈R C,, cos 2a=cos a-sin a c∈R 2 tan a 2a tan 2a= kx丌 1-tan a ≠+且a≠k丌+ 兀(k∈
sin2 =sin( + ) = + sin cos cos sin = 2sin cos cos2 2 2 = − cos sin =cos( + =) cos cos sin sin − tan2 2 2tan 1 tan = − = + = tan( ) tan tan 1 tan tan + − 利用S C T （ ） 、 （ ） 、 （ ） 尝试推导下公式： R sin2 2sin cos = R 2 2 cos 2 cos sin = − 2 2tan tan 2 1 tan = − 二倍角公式： 2 4 k + ( ) 2 且 k k Z + C2 S2 T2
注1、二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达 二倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角 函数之间的互化问题。 注2、二倍角公式不仅限于2Q是Q的二倍的形式,其它 如4是2的二倍,Q2是a4的二倍,30是32的二倍, 03是0/6的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式 因此,要理解“二倍角”的含义,即当=2β时, Q就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应 用二倍角公式。 注3、二倍角公式是从和角公式中,取两角相等时推导 出来,记忆时可联想相应和角公式
注1、二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达 二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角 函数之间的互化问题。 注2、二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它 如4α是2α的二倍，α/2是α/4的二倍,3α是3α/2的二倍， α/3是α/6的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。 因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时， α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应 用二倍角公式。 注3、二倍角公式是从和角公式中，取两角相等时推导 出来，记忆时可联想相应和角公式
二倍角公式: s2a lsin 2a= 2sin a cos a a∈R C, cos 2a=cos a c∈R 2 tan a 2a tan 2a 1-tan a a≠+且a≠kz+n(k∈2) 探究2:若cosa=,则cos2a ∴c0s2a=1-sin2a :coS a-sin a=l-2sin a-7 25 cos 2a=2 cos a-1
2 5 2 3 探究 :若sin , cos _______ __ = = 则 _ 。 2 2 − = cos sin 7 25 2 1 2 − = sin 2 2 cos 1 sin = − 3 5 cos = 2 cos cos 2 2 1 = − R sin2 2sin cos = R 2 2 cos 2 cos sin = − 2 2tan tan 2 1 tan = − 二倍角公式： 2 4 k + ( ) 2 且 k k Z + C2 S2 T2
二倍角公式 s2a lsin 2a= 2sin a cos a a∈R C, cos 2a=cos a c∈R T2a tan 2a 2 tan a kx兀 c≠ 1-tan a +A且≠kz+(k∈2) C2其他表示形式 cos 20=1-2 sina cos 20=2 a-1 例、若in2a=,a∈(,),求sin4a,cos4a,an4a的值。 13 解:由 元 <c< 得 <20<x 12 sin 2a ∴cos2a=-y1-sin2a 13 13
C2 其他表示形式2 cos sin 2 1 2 = − 2 cos cos 2 2 1 = − 5 sin2 , ( , ) sin4 cos4 ,tan4 1 4 1 3 2 例 、若 = ，求 ， 的值。 4 2 , 解：由 得 2 2 2 12 2 1 2 13 = − − = − cos sin 5 2 13 sin , = R sin2 2sin cos = R 2 2 cos 2 cos sin = − 2 2tan tan 2 1 tan = − 二倍角公式： 2 4 k + ( ) 2 且 k k Z + C2 S2 T2
例题分析 例、若in2a=,a∈(,,求sin4ax,cos4a,tan4a的值。 13 解:由 元 <a 得 <20<兀 5 Sm∠c= cos 2a=-v1-sin 2a 13 13 120 sin4 a=2sin2acos2a= 169 cosa=1-2sin42a= 169 sIn 4a 120、169120 and (一,) cos 40l 169119119
cos4 = tan4 = 2sin2cos2 = 120 169 − 2 119 1 2sin 2 169 − = 4 4 sin cos 120 169 120 169 119 119 = − = − ( ) ∴sin4 = 三、例题分析 5 sin2 , ( , ) sin4 cos4 ,tan4 1 4 1 3 2 例 、若 = ，求 ， 的值。 4 2 , 解：由 得 2 2 2 12 2 1 2 13 = − − = − cos sin 5 2 13 sin , =
例题分析 例、若in2a=,a∈(,,求sin4ax,cos4a,tan4a的值。 13 变式:若 c.元 cOS ∈ ,丌),求sina,cosa,tana的值。 2522 元c 解: ∵<<兀,coS 3 22 ∴SIn cos sina=2sin cos =242 25 25 7 coSa= 2 cos 25 sIna 24 tand cos ac 7
4 cos , ( , ) sin ,cos tan 2 5 2 2 : 变式 若 = − ，求 ， 的值。 ∴cos = tan = 2 3 sin 1 cos 2 2 5 = − = 24 25 − 2 7 2 1 2 25 cos − = sin cos 解： 2 2 , 4 2 5 cos , = − 24 7 = − ∴sin=2sin cos = 2 2 三、例题分析 5 sin2 , ( , ) sin4 cos4 ,tan4 1 4 1 3 2 例 、若 = ，求 ， 的值
例题分析 例2、在AABC中,c0sA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值。 24+2B与A,B之间能构成怎样的关系? 提示: 思路一:cosA→tanA→tan2A →tanQ2A+2B) tanB→>tan2B 思路二:cosA→tanA >tan (A+B)>tan [2(A+B) tan
5 2 4 例 、在ABC A B A B 中，cos ,tan tan( ) = = + 2 2 2 ，求 的值。 cos tan A A → 提示： 思路一： → + tan（2 2 A B） cosA tanA tanB 思路二： → → + tan[ ( ) 2 A B ] tanB tan2B → →tan2A → + tan（A B） 2A+2B与A，B之间能构成怎样的关系? 三、例题分析
三、例题分析 例2、在AABC中,c0sA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值。 解法一:在△ABC中, 由c034=4,0<A<花得simA=-c0°4=3, sin a 3 5 3 tana= COs A 5 4 4 2 tan A 24 tan 2A= 1-tan2 7 由tanB=2,得tan2B= 2 tanB 4 I-tan-b 3 244 tan 2A+ tan 2B 于是tan(2A+2B)= 1-tan2Atan2B,24.4117
4 0 5 : , cos , , ABC A A = 解法一 在 中 由 得 2 3 1 5 sin cos , A A = − = 3 5 3 5 4 4 sin tan , cos A A A = = = 2 2 24 2 1 7 tan tan , tan A A A = = − 2 2 4 2 2 1 3 tan tan , tan , tan B B B B = = = − − 由 得 2 2 2 2 1 2 2 tan tan tan( ) tan tan A B A B A B + + = − 于是 24 4 7 3 44 24 4 117 1 7 3 . − = = − − 5 2 4 例 、在ABC A B A B 中，cos ,tan tan( ) = = + 2 2 2 ，求 的值。 三、例题分析