2.5.1圆几何的向量方法
一、复习回顾 (1)向量共线的条件: d//b冷a=2b(∈R,b≠0 a=(x,y1,b=(x2,y2) a//b (2)向量垂直的条件: a⊥b分→a·b=0(≠0,b≠0 a=(x,,J), b=(x2, 2+VV2=0/ a⊥b
一、复习回顾 （1）向量共线的条件： a b / / = a b R b ( , 0) （2）向量垂直的条件： a b a b a b ⊥ = 0 0 0 ( , ) 1 1 2 2 ( , ) ( , ) / / a x y b x y a b = = ， 1 1 2 2 a x y b x y ( , ) ( , ) a b = = ⊥ ， 1 2 2 1 = x y x y 1 2 1 2 + = x x y y 0
、复习回顾 (3)两向量相等条件: a=b分a=b,且方向相同。 a=(x,y)b=(x2,y2)∫ 今 =b VI=y (4)平面向量基本定理a=e+2e2 其中ee2不共线,,气2为唯一确定的常数
（3）两向量相等条件： a b = 且方向相同。 1 1 2 2 a x y b x y ( , ) ( , ) a b = = = ， （4）平面向量基本定理 1 2 1 2 a e e = + 一、复习回顾 a b = , 1 2 1 2 x x y y = = 1 2 1 2 其中e e，不共线, ， 为唯一确定的常数
三、例题分析 例1、证明平行四边形四边平 方和等于两对角线平方和。 寸q 已知:平行四边形ABCD。 求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2 解:设AB=a,AD=b则AC=a+形转向量 JAC=ACAC=(a+b).(a+b)=a+2a.b+ 6 (1) 同理|DB|=a2-2ab+|bP2(2) 由()+(2)得 向量的运算 1AC+ DB=2(a+b)=20AB+AD AB+ Bc+cD+DA=ac+ BD 翻译
例1、证明平行四边形四边平 方和等于两对角线平方和。 A B D C 已知：平行四边形ABCD。 2 2 2 2 2 2 求证：AB BC CD DA AC BD + + + = + 三、例题分析 b a 解：设AB a AD b = = , ，则 AC a b DB a b = + = − , 2 2 2 | | ( ) ( ) | | | | AC AC AC a b a b a a b b = = + + = + + • • • 2 (1) 2 2 2 同理 | | | | | | ( ) DB a a b b = − + 2 2 • 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) | | | | (| | | | ) (| | | | ) AC DB a b AB AD + + = + = + 由 得 2 2 2 2 2 2 + + + = + AB BC CD DA AC BD 形转向量 翻译 向量的运算
>方法小结 利用向量法解决平面几何问题的基本思路: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉 及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究集合元素之间的关系,如距离、 夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素
利用向量法解决平面几何问题的基本思路： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究集合元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 ➢方法小结
三、例题分析 例2、证明直径所对的圆周角是直角 已知:如图所示,已知⊙O,AB为直 B 径,C为⊙O上任意一点。 O 求证:∠ACB=90° 证明:设AO=a,OC=b 思考:能否用向量 则AC=a+b,CB=-b 坐标形式证明? 由此可得:ACCB=(a+b)a-b a -b b =0 即:ACCB=0,∴∠ACB=90°
例2、证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 已知：如图所示，已知⊙O，AB为直 径，C为⊙O上任意一点。 求证：∠ACB=90° 证明： 设AO a OC b = = , 则AC a b CB a b = + = − , 由此可得：AC CB a b a b = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 = − = − a b a b 2 2 =−= r r 0 即： AC CB = 0， ∴∠ACB=90° 三、例题分析 思考：能否用向量 坐标形式证明？
三、例题分析 例3、如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你 能发现AR、RT、TC之间的关系吗? 猜想:AR=RT=TC B 证法 连接BD交AC于O,则R为三角形ABD的重心,所 以AR=2RO,同理CT=2TO
A B D C E F R T 猜想：AR=RT=TC 例3、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、BF分别与AC交于R、T两点，你 能发现AR 、RT、TC之间的关系吗？ 三、例题分析 连接BD交AC于O，则R为三角形ABD的重心，所 以AR=2RO，同理CT=2TO 证法一
解:设AB=a,AD=b,则AC=a+b 由于AR与AC共线 E人R 故设AR=n(a+b),n∈R 又因为ER与EB共线, B 所以设ER=mEB=m(-b) 因为AR=AE+ER所以AR=b+m(n-b) 2 因此n(a+b)=b+m(a-b) 2 mn 即(n-m)d+(n+ )b=0解得:n=m 2 所以AR=AC,同理TC=AC,于是RT=AC 3 3 故AT=RT=TC
解：设AB a AD b = = ， ,则 AC a b = + 1 2 所以设ER mEB m a b = = − ( ) 因为AR AE ER = + ， 1 1 2 2 所以AR b m a b = + − ( ) 1 1 2 2 因此n a b b m a b ( ) ( ) + = + − 由于AR AC 与 共线， 又因为ER EB 与 共线， A B D C E F R T 故设AR n a b n R = + ( ), 1 0 2 ( ) ( ) m n m a n b − 即 − + + = 1 3 解得：n m= = 1 1 1 3 3 3 所以AR AC TC AC RT AC = = = , , 同理 于是 故AT=RT=TC
针对性练习 △ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点 BF与CD交于O两点,设AB=a,AC=b 证明A、O、E三点共线,且40=B0=CO=2 OE OF OD C E
ΔABC中，点D、E、F分别是AB、BC 、CA边的中点， BF 与CD交于O两点，设 针对性练习 AB a AC b = = , 2 AO BO CO A O E OE OF OD 证明 、 、 三点共线，且 = = = A B C E D F O
四、课时小结 利用向量法解决平面几何问题的基本思路: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题 中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问 题 (2)通过向量运算,研究集合之间的关系,如距离、 夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 形到向量向量的运算向量和数到形
利用向量法解决平面几何问题的基本思路： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问 题； （2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、 夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 形到向量 向量的运算 向量和数到形 四、课时小结