3.1.1方程的根与函数的零点
基础知识讲解 思考:观察下列方程与对应的函数之间的关系 方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0 函数y=x-=2x-3y=x2=2x+1y=x2-2x+3 函 上述方程的不相等的根的个数与相对应的函数 数国图象与x轴交点的个数相同。 的考:上述关系对一般的一元二次方程 图 象ax2+bxc=0(a≠0)及其相应的二次函数 根的y=ax2+bx+c(a≠0也成立吗?图像 情况 交点(-1,0)、(3,0)(1,0) 无交点
方程 函数 函 数 的 图 象 根的 情况 交点 2 x x − − = 2 3 0 2 y x x = − − 2 3 2 x x − + = 2 1 0 2 y x x = − + 2 1 2 x x − + = 2 3 0 2 y x x = − + 2 3 1 2 x x = − = 1 3 , 1 2 x x = =1 无实数根 ( , ),( , ) −1 0 3 0 ( , ) 1 0 无交点 x y x y x y 一、基础知识讲解 思考：观察下列方程与对应的函数之间的关系 上述方程的不相等的根的个数与相对应的函数 图象与 x 轴交点的个数相同。 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ax bx c a y ax bx c a + + = = + + 上述关系对一般的一元二次方程 及其 思考 相应的二次函数 ： 也成立吗？ 图像
基础知识讲解 方程的根判别式和函数图像与x轴交点的关系 判别式A△>0 △=0 △<0 方程根的有两个不等有两个相等没有实数根 情况 的实根xx2|的实根x=x2 函数的图象 交点 (x1,O)(x20)(x1,0) 无交点
判别式 方程根的 情况 函 数 的 图 象 交点 1 2 ( , 0), ( , 0) x x 1 ( ,0) x 无交点 方程的根判别式和函数图像与x轴交点的关系 0 = 0 0 1 2 x x, 1 2 x x = 没有实数根 x y x y x y 有两个不等 的实根 有两个相等 的实根 一、基础知识讲解
、基础知识讲解 零点的定义: 对于函数y=x),我们把使fx)=0的实数x 叫做函数y=fx)的零点 思考:零点是不是一个点? 2、有关函数零点的三个等价关系 方程∫(x)=0有实数根 令函数y=fx)的图像与x轴有交点 令>函数y=fx)有零点
2、有关函数零点的三个等价关系： 函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点 1、零点的定义： 对于函数 y=f(x) ，我们把使 f(x)=0 的 实数x 叫做函数 y=f(x) 的零点。 函数 y=f(x) 有零点 一、基础知识讲解 ➢思考：零点是不是一个点？ 方程 f(x)=0 有实数根
练习 l、函数y=-x2-x+20的零点为(D) A.-5B.(-5,0)C.(4,0),(-5,0)D.-5,4 2、判断正误 (1)、函数y=x2-2x-3在(0,2有零点(×) (2)、函数y=x2-2x-3在(2,4内有2个零点(√)
2 1 20 . .( , ) .( , ),( , ) 5 5 0 4 0 5 0 5 4 . , y x x A B C D = − − + − − − − 、函数 的零点为（ ） 练习 D 22 2 2 3 0 2 2 3 (1) ( , ) (2) (-2,4) 2 y x x y x x = − − = − − 、判断正误 、函数 在 内 有零 点 （ ） 、函数 在 内有 个零点（ √ ） ×
、基础知识讲解 函数 区间′思考:一定吗? 还有其他条件 结论 y=x2-2x-3(a,b) 吗 图像 f(a)f(b)<0 连续不断 则函数 在区间 0 b x (a,b内 有零点
一、基础知识讲解 函数 y = x 2 - 2x - 3 区间 (a,b) 有没 零点 结论 图像 (-2 , 1) (0 , 2) (2 , 4) (4 , 5) (-2 , 5) x y 有 没有 有 没有 有 - + - + + 则函数 在区间 (a,b)内 有零点 f(a)f(b)<0 x y 0 a b 连续不断 -1 3 f(a)*f(b) 的符号 （+或-） 思考：一定吗？ 还有其他条件 吗?
、基础知识讲解 3、零点存在性的判定定理: 如果函数y=fx)在区间[a,上的图像是连续不 断的一条曲线,并且有fa)fb)0,是否可以判断函数 y=f(x)在(a,b)内没有零点?
3、零点存在性的判定定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图像是连续不 断的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)0 ，是否可以判断函数 y=f(x) 在 (a,b) 内没有零点？
二、倒题分析 例2、已知函数y=nx+2x-6的对应值表如下 x12 3 5 6 7 fxy)4|-130110339561779995 判断函数的零点所在的大致区间是什么? 解:由表可知,f(2)0,则f(2)·∫(3)<0 这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点 思考:已知方程Ix+2x-6=0的零点个数为多少?
例2、已知函数y x x = + − ln 2 6的对应值表如下 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -4 -1.30 1.10 3.39 5.61 7.79 9.95 2 0 3 0 2 3 0 2 3 ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( , ) f f f f f x 解：由表可知, 则 , 这说明函数 在区间 内有零点. 二、例题分析 判断函数的零点所在的大致区间是什么？ 思考：已知方程ln =0 x x + − 2 6 的零点个数为多少？
二、倒题分析 例2、求f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。 3 5 6 7 fx)-4-1.301.10339561779995 思考:已知方程nx+2x-6=0的零点个数为多少? 由表和图可知,f(2)0,则 f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间(2,3内 有零点由于函数f(x)在定义域(0,+∞内是 增函数,所以它仅有一个零点
例2、求f x x x ( ) ln = + − 2 6的零点的个数。 2 0 3 0 2 3 0 2 3 0 ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ( , ) f f f f f x f x + 由表和图可知, 则 ,这说明函数 在区间 内 有零点.由于函数 )在定义域 内是 增函数,所以它仅有一个零点. 二、例题分析 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -4 -1.30 1.10 3.39 5.61 7.79 9.95 思考：已知方程ln =0 x x + − 2 6 的零点个数为多少？
二、倒题分析 思考:已知方程Ix+2x-6=0的零点个数为多少? 解二:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+o∞) y=lmx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数 ∴f貿(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数, 又∵f(2)=ln2+2×2-60 则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在 区间(2,3)内有零点 由于函数f(x)在定义域(0,+是 增函数,所以它仅有一个零点
二、例题分析 解二：由已知，函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞)。 ∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数， ∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 又∵f(2)=ln2+2 ×2－6 f(3)=ln3+2 ×3－6 0 2 3 0 2 3 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ( , ) f f f x f x + 则 ,这说明函数 在 区间 内有零点. 由于函数 )在定义域 内是 增函数,所以它仅有一个零点. 思考：已知方程ln =0 x x + − 2 6 的零点个数为多少？