231-2平面向量基理 多分解,坐参示
一、探究 思考:图中哪些向量可以用表示出来? =2 ------+ -----1 向量共线定理:向量b与非零向量a共线 当且仅当有唯一一个实数,使b=a
e1 b c a d a d 向量b a 与非零向量 共线 当且仅当有唯一一个实数，使 向量共线定理： 1 思考：图中哪些向量可以用e 表示出来？ 1 = 2e 1 = −e 一、探究 b a =
、探究 思考:给定平面内两个不共线的向量e12,则 平面内的任一向量a能否用e1、e2表示? M 12e2 iNI ∴如图OC=OM+ON OM=MOA=Me ON=n,OB=a,e ∴OC=A1e1+A2e2 即a=e1+2
1 e 2 e O C A B M N = + 如图 OC OM ON OM OA e = = 1 1 1 = + OC e e 1 1 2 2 1 1 2 2 即 + a e e = ON OB e = = 2 2 2 a 1 2 1 2 e e a e e 给定平面内两个不共线的向量 、 ，则 平面内的给定向量 能否用 、 思考： 表示？ 1 1 e 2 2 e 任一向量 一、探究
二、基础知识讲解 1、平面向量基本定理 如果e2,是同一平面内的两个不共线的向量,那么 对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 λ、λ2,可使a=1e1+2e2 我们把不共线向量e、e 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底 注:①给定一组基底之后,任一向量的表示法由该组 基底唯一确定;即λ1、λ2唯一确定 ②基底的选取不唯一,只要不共线即可
1 2 1 2 e e a 如果 、是同一平面内的两个 线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，可使 不共 我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量 的一组基底 1 e 2 e 1、平面向量基本定理 1 1 2 2 a e e = + 二、基础知识讲解 1 1 e 2 2 e 3 3 e 4 4 e a O C 注：①给定一组基底之后，任一向量的表示法由该组 基底唯一确定；即λ1、λ2唯一确定 ②基底的选取不唯一，只要不共线即可
二、基础知识讲解 2、两向量的夹角 0°≤≤180°)B 已知两个非零向量a和b如图: 作OA=a,OB=b 同一起点BA 则∠AOB=b叫做向量a与b的夹角。O 注:(1)0=0时,与向。=180时,与硕向 (2)0=90时,则a与垂直,记作a⊥b 3、正交基:两个互相垂直的非零向量所构成的基底 4、平面向量的正交分解 把一个向量在正交基下分解为两 个互相垂直的向量,叫作把向量正 交分解
已知两个非零向量a b 和 ，如图： 注：( )1 0 180 ＝ 时，a b a b 与 同向。 ＝ 时，与 反向． ( ) . 2 90 ＝ 时，则a b a b 与 垂直，记作 ⊥ 2、两向量的夹角 作OA a OB b = = ， ， 叫做向量 a b 与 的夹角。 O a A b B ( 0 180 ) 则 = AOB 同一起点 把一个向量在正交基下分解为两 个互相垂直的向量，叫作把向量正 交分解 4、平面向量的正交分解 3、正交基：两个互相垂直的非零向量所构成的基底 O G G 1 G2 二、基础知识讲解
、例题分析 例、已知向量,e2,求作向量-251+3e2 作法:1、如图,任取一点O 作OA=-2.5e1,OB=3e2 2、作□OACB.则OC就是所求的向量 C B 3 2.5O
1 2 1 2 例1、已知向量e e e e , . ，求作向量− + 2 5 3 1 e A O 2、作 OACB. C B 1 −2 5. e 1、如图，任取一点O 3 2 e 1 作OA e = −2 5. , 则OC就是所求的向量 2 . OB e = 3 2 e 作法： 三、例题分析
、例题分析 变式:已知平面内两个互相垂直的单位向量云j。 求作:()量3+4;(2涧向量-2i+3j (-2,3)\3 y43 OC=3i+41 O o i OD=-2i+3 2 Oi1
: ( ) ( ) 1 3 4 2 2 3 i j i j i j + + 已知平面内两个互相垂直的单位向量 、 。 求作 向量 ； 向量－ 变式： 。 i j -2i 3 j 3i 4 j D C O O (-2,3) (3,4) OC i j = + 3 4 OD i j =－2 3 + O 4 y 3 -2 i 1 x j i j -i j 三、例题分析
二、基础知识讲解 5、平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系内 (1)取基底: 分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量ij作为基底 (2)实数对: (x,y) 任作一向量(a1,由平面向量基 本定理,有且只有一对实数x,y, 使得a=x+y,我们把(x,y) 叫做向量的坐标,记作a=(x,y) 其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标
( , ) x y x y 任作一向量 ，由平面向量基 本定理，有且只有一对实数 ， ， 使得 ，我们把 叫做向量 的坐标，记作 x y o j i 5、平面向量的坐标表示： x y i j 分别取与 轴、 轴 的两个单位向量 、 作为基底 (1)取基底： (2)实数对： OAOA 在平面直角坐标系内 A (x, y) y j xi a y j xi OA x y = ( , ) 方向相同 OA xi y j = + a a xi y j = + a a x y = ( , ) 其中x y x y 、 分别叫做 在 轴、 轴上的坐标 二、基础知识讲解 a
二、基础知识讲解 5、平面向量的坐标表示: 思考:(1)a=(x,y),则a的终点 坐标一定就是点(x,y)? (2)如何理解a=(x,y)? 判断正误: (x,y) 若a=(3,4),则下列说法正确的是:0 (1)d的终点坐标为3,4);错 (2)必是以O为起点,A(3,4)为终点的向量错 (3)与以O为起点,4(3,4)为终点的向量相等对
x y o j i 5、平面向量的坐标表示： A (x, y) y j xi a y j xi 二、基础知识讲解 (1) ( , ) , ( , ) (2) ( , ) a x y a x y a x y = = 则 的终点 坐标一定就是点 ？ 思 如何理解 ？ 考： (3,4), (1) (3,4); (2) (3,4) (3) (3,4) a a a O A a O A 若 = 则下列说法正确的是： 的终点坐标为 必是以 为起点， 为终点的向量 与以 为起点， 判断正 为终点的向量相 ： 等 误 对 错 错
二、基础知识讲解 5、平面向量的坐标表示: 如图:O4=a=xi+yj 则4的坐标(x,y)就是d的坐标 A(,y) 向量←一对应点4的坐标(x)j 注:i=(0),j=(O,),0=(0,0) 设a=(x,y1),b=(x,y2) =b V1=y 练习:设a=(3,4,b=(x-y,2y),若a=b,则x=5,y=2
x y o (x, y) i j 如图：OA a = a 则A x y a 的坐标( , )就是 的坐标 a b = 一一对应 点A的坐标(x,y) 1 1 2 2 设a x y b x y = = ( , ), ( , ) = + xi y j 注：i j = = = (1 0 0 1 0 0 0 ，)， ( ，)， ( ，) A 1 2 1 2 x x y y = = 练习:设a b x y y a b x y = = = = = ( , ), ( - , ) __, __ . 3 4 2 ,若 ,则 5 2 a x y = ( , ） 向量a 5、平面向量的坐标表示： 二、基础知识讲解