平面向量的坐标运算 及共线的坐标表示
、复习回顾 平面向量基本定理 如果e12是同一平面内的两个 不共线的向量,那么对于这 两向量的夹角 平面内的任一向量a,有且只有 平面向量的正交分解对实数几、几,可使 A1e1+12 平面向量的坐标表示 对应 向量a 点4坐标(x,y A(x
平面向量基本定理 平面向量的正交分解 平面向量的坐标表示 1 1 2 2 a e e = + 两向量的夹角 1 2 1 2 e e a 如果 、 是同一平面内的两个 线的向量，那么对于这一 平面内的任一向量 ，有且只有 一对实数 、 ，可使 不共 一一对应 向量 a 点A坐标( x , y ) 一、复习回顾 x y o (x, y) i j a A
、知识回顾 2、平面向量的坐标运算: 若=(x1,y),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b(x1-x2,y1-y2) 两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标 的和(差) a=(礼x1,y1) 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量 的相应坐标 若4(x,y),B(x2,y)则向量AB=(x2-x,y2-y) 个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标
1 1 2 2 若a x y b x y ＝( , ) ( , ) ，= ，则 1 2 1 2 a b x x y y + + + ＝( , ) 1 2 1 2 a b x x y y − ＝( - , - ) 一、知识回顾 1 1 a x y = ( , ) 两个向量和（差）的坐标等于这两个向量相应坐标 的和（差） 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量 的相应坐标． 2、平面向量的坐标运算： 1 1 2 2 2 1 2 1 若A x y B x y AB x x y y ( , ) ( , ) =( - , - ) ， ，则向量 。 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去始点的坐标．
、例题分析 例1、设点P是线段PP2上的一点,P1、P2的坐标分 别是(x11),(x22) (1)当点P是线段PP2的中点时,求点P的坐标; (2)当点P是线段PP2的一个三等分点时,求点P的坐 标 解:(1)OP=(OP+OP2) +X2y1+y2 所以,点P的坐标为 x,tx, yit y 2
例1、设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分 别是(x1 ,y1 )，(x2 ,y2 ) ⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； ⑵当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐 标。 x y O P1 P2 P 二、例题分析 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( , ) OP OP OP x x y y = + + + = 解：（1） 所以，点P的坐标为 1 2 1 2 2 2 ( , ) x x y y + +
、例题分析 例1、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分 别是(x1y1),(x22) (1)当点P是线段PP2的中点时,求点P的坐标; 2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐 标
x y O P1 P2 P 例1、设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分 别是(x1 ,y1 )，(x2 ,y2 ) ⑴当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； ⑵当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐 标。 二、例题分析 x y O P1 P2 P
(2)如图2.3-15,当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,有两种情况,即PP2=2或PP2=2 如果 pp =2 那么 O=O+P卢=O+1P广 =O+1(O-O)=3O+1O 2x1+x22y1+ 3 3 即点P的坐标是(22,2y) 可m,如果是一2,那么点P的坐标是 x1+2x2y+2y2 3 3
变式:当PP=PP时,P点的坐标是什么? x1+x2y1+y2 1+A1+4 P1
变式：当P P PP P 1 2 = 时， 点 的坐标是什么 ？ x yO P1 P2 1 2 1 2 P , 1 1 x x y y + + + +
三、基础知识讲解 1、平面向量共线的坐标表示 向量共线定理:a(a≠0)//分b=a 思考:如何用坐标表示平面向量共线定理? 设a=(x,y1),b=(x2,y2),a≠0 即x,y中,至少有一个不为0,则由b=n得 (x2,y2)=A(x,y1)=(礼x1,xy1) =nx (1)×y1-(2)xx1: =xy1…(2) V1-ly2=n,yi-ny 这就是说:a//b(b≠0)冷xy2-x2=0
思考：如何用坐标表示平面向量共线定理? 1 1 2 2 设a x y b x y a = = ( , ), ( , ), 0 即x y 1 1 , 中，至少有一个不为0，则由b a = 得 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y = = 2 1 2 1 (1) (2) x x y y = = …… …… 1 1 (1) (2) : − y x 2 1 1 2 1 1 1 1 x y x y x y y x − = − = 0 1 2 2 1 这就是说： a b b x y x y / / ( ) − = 0 0 三、基础知识讲解 向量共线定理： 1、平面向量共线的坐标表示 a a b b a ( ) . = 0 //
三、基础知识讲解 2、平面向量共线的表示(两种形式) (1)a//b(a≠0)分b=m; (2)a//b(a=(x1,y1),b=(x2,y2)a≠0), 分xy2-x2y1=0 练习、已知=(4,2),b=(6,y),且a//b,求y 解::a/b,∴4y-2×6=0
2、平面向量共线的表示 （两种形式） 1 1 2 2 1 2 2 1 1 0 2 0 0 ( ) / / ( ) ; ( ) / / ( ( , ), ( , ) ), a b a b a a b a x y b x y a x y x y = = = − = ， 三、基础知识讲解 练习、已知a b y a b y = = ( , ), ( , ), / / , 4 2 6 且 求 。 解： a b y y / / , - = = 4 2 6 0 3
、例题分析 例2、已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)。 求证:A,B,C三点共线。 证明::AB=(1-(-1),3-(-1)=(2,4) AC=(2-(-1),5-(-1)=(3,6) 又∵2×6-3×4=0 C AB//AC 直线AB、直线AC有公共点A A、B、C三点共线
例2、已知A(-1,-1)，B(1,3)，C(2,5)。 求证：A，B，C三点共线。 又∵2×6－3×4=0 ∵直线AB、直线AC有公共点A ∴A、B、C三点共线 y O x 证明： AB = − − − − = ( ( ), ( )) ( , ) 1 1 3 1 2 4 AB AC / / ( ( ), ( )) ( , ) AC = − − − − = 2 1 5 1 3 6 A B C 二、例题分析