两角和与的王球、余、正加公式 1鼎
、基础知识回顾 请同学们回顾前面学习的和角、差角公式 两角和的余弦公式:c0s(a+B)= cos a cos B- sin a sin B 两角差的余弦公式:c0s(a-B)= cos a cos B+ sin a sin B 两角和的正弦公式sin(a+B)= sin a cos B+ cos sin 两角差的正弦公式:sin(a-B)= SIna c0sB- cos a sin B 两角和与差的正切公式: tana+tan B 元 tan(a+B) (a,B,a+B≠+k,k∈Z) 1-tan a tan B tan a-tan tan(a-B) B 元 1+tana tan B (a,B,a-B≠+kx,k∈Z)
一、基础知识回顾 请同学们回顾前面学习的和角、差角公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin + − = 两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin − + = 两角和的正弦公式 sin( ) sin cos cos sin + + = : 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin − − = 1 tan tan tan( ) tan tan + + = − 1 tan tan tan( ) tan tan − − = + 2 ( , , , ) k k Z + + 2 ( , , , ) k k Z − + 两角和与差的正切公式:
二、典型例题剖析 3: 例5:已知coa+D)=5,ca-D)=-5,2<a+B<2m, 2a-B<,求 cos2a的值 分析: 由2a=(+B)+(a-B得cos2a=cos(a+)+(a-B) 通过两角和的余弦公式可算得c0s2a 7 25
例 5：已知 cos(α＋β)＝ 4 5，cos(α－β)＝－ 4 5， 3π 2 ＜α＋β＜2π， π 2＜α－β＜π，求 cos 2α 的值． 分析： 由2 ( ) ( ) cos2 cos[( ) ( )] = + + − = + + − 得 7 cos2 25 通过两角和的余弦公式可算得 = − 二、典型例题剖析
二、典型例题剖析 求角a+B的大 S,Sin B.v10 例6、已知sina= 且a,B∈|(0z 10 分析:对于求角的问题可考虑先求该角的某 角函数值;由已知条件可求该角的正弦或余弦值 解: SIna= 5 yIn 10,.且a,B∈(0) 10 2√5 CoSC= SIn a= 5,CosB=V1-sin'B= vlo 10 .cos(a+B)=cos a cos B-sin a sin B 2√5305√10√2 105102 又由已知可得a+B∈(0,),a+B 4
5 10 0 5 10 2 6 sin ,sin , , , , . = = + 已知 且 角 例 求 的大小 、 分析：对于求角的问题可考虑先求该角的某一三 角函数值；由已知条件可求该角的正弦或余弦值. 2 5 3 10 5 10 5 10 5 10 + = − cos( ) cos cos sin sin = − 2 2 2 5 3 10 1 1 5 10 = − = = − = cos sin ,cos sin 5 10 0 5 10 2 sin ,sin , 解： = = 且 ， （ ， ） 2 2 = 0 4 ( , ), 又由已知可得 + + = 二、典型例题剖析
二、典型例题剖析 例6、已知sina=,sinB 10 ,且a,B∈0 10 求角a+B的大小 变式:设tna,tanB是方程x2+33x+4=0的两根, 4兀 且a,B∈ ,z,则a+B 2
5 10 0 5 10 2 6 sin ,sin , , , , . = = + 已知 且 角 例 求 的大小 、 二、典型例题剖析 2 3 3 4 0 2 tan , tan , , , , __________; x x + + = + = 变 设 是方程 的两根 且 则 式： 4 3
二、典型例题剖析 求角a+的大S,siB√0 例6、已知sina= 1o°,且a,i/ 变式:在△ABC中A是锐角,且smA=5 5 10 sin b= ,求角C 10 分析:由cosC=Cos[z-(4+B)=c0s(4+B) 及例2结果可得Cs、√ 3丌 又∵C∈(0,兀),∴C 4
5 5 10 10 : , sin , sin , . ABC A A B C = = 变式 在 中 是锐角，且 求角 分析:由cos cos ( C A B = − + ) 2 2 2 及例 . cos , 结果可得 C = − = − + cos( ) A B 0 3 4 C C ( , ), 又 = 5 10 0 5 10 2 6 sin ,sin , , , , . = = + 已知 且 角 例 求 的大小 、 二、典型例题剖析
二、典型例题剖析 例7、化简:(1)sin+C0s=sin(+ 元 26 (2)V3 sin -cos x 2 2 解:(2)原式=2(3sinx-c0sx 元 +12=2=2(sin-cos cos-SIn 6 26 2 sin( 26
(2) 3 sin cos 2 2 x x − 3 1 2 2 2 2 2 2 :( ) si s n co x x 解 原式 = − （ ） 2 2 6 2 6 (sin cos cos sin ) x x = − 2 2 6 sin( ) x = − ( ) 2 2 3 1 2 + = 3 1 1 2 2 2 2 7 ( ) si c n os x x 例 、化简： + 2 6 sin( ) x = + 二、典型例题剖析
方法归纳 重点! asin+bc0sx(a,b∈R,mb≠0) =√a2+b2 b sInx+ cos x √a2+b 2 a+b ↓平方和刊↓ a+b(sin x cos p +cos x sin o =G+bsn(x+9)(其中m= 也可化为:a+b6cos(x-9)(其中ng= b
( ) 2 2 = + + a b x x sin cos ➢方法归纳 a x b x a b R ab sin cos ( , , ) + 0 2 2 2 2 2 2 sin cos a b a x b b a a x b = + + + + 平方和等于1 cos sin ( ) 2 2 = + + a b x sin tan b a = 其中 也可化为: ( ) 2 2 a b x + cos − tan a b = 其中 重点！！
三、针对性练习 、化简:3√15sin2x+3√5cos2x 分析;5+(3√5)=80=65 解:原式=6√5( √3 sin 2x+-cos 2x) 2 2 6v5(sin 2x cos+coS 2xsin) 6 6 6√5sin(2x+) 2、函数y=c0sx+o{x+z的最大值是3
1 3 15 2 3 5 2 、化简： sin cos . x x + 3 1 6 5 2 2 2 2 解 : sin cos 原式 = + （ x x） ( ) ( ) 2 2 分析： 3 15 3 5 180 6 5 + = = 6 5 2 2 6 6 (sin cos cos sin ) x x = + 6 5 2 6 sin( ) x = + 2 3 y x x cos cos _______ . = + + 、函数 的最大值是 3 三、针对性练习
四、课时小结 通过本节课的学习,我们应熟练记忆两角和与差 的三角函数公式,注意公式的灵活运用: (1)注意已知式子的结构特征,灵活运用公式(如 逆用公式); (2)掌握形如 a sinr+ bcos x(a,b∈R,mb≠0)的式子 如何化为一个角的一种三角函数的形式; (3注意知识的综合运用,如结合同角三角函数的 基本关系式、诱导公式进行转化,结合三角函数 的图象和性质解决相关问题
通过本节课的学习,我们应熟练记忆两角和与差 的三角函数公式,注意公式的灵活运用: ( ) , ( 1 ); 注意已知式子的结构特征 灵活运用公式 如 逆用公式 ( ) sin cos ( , , ) 2 0 ; 掌握形如a x b x a b R ab + 的式子 如何化为一个角的一种三角函数的形式 ( ) , 3 , . 注意知识的综合运用 如结合同角三角函数的 基本关系式、诱导公式进行转化 结合三角函数 的图象和性质解决相关问题 四、课时小结