2.2平面向量的线性运算 习题课
、复习回顾 l、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意向量a,b,以及任意实数2,1,2,恒有 A(Aa±1b=a±12b 化简: b 4a-3b+b--6a-7b 318 34
1、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意向量 a b, ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 1 2 ( ) a b = 一、复习回顾 1 2 a b ( ) ( ) 2 1 1 4 3 6 7 3 3 4 a b b a b − + − − = 化简： 5 11 3 18 a b −
、复习回顾 2、向量共线定理: 向量与共线,当且仅当有唯一一个实数入,使得 b=na 3、定理的应用: (1证明向量共线 (2证明三点共线: 4B=BC分A,B,C三点共线 (3证明两直线平行: AB= AB与CD不在同一直线上
⑶证明两直线平行： 3、定理的应用： ⑴证明向量共线 ⑵证明三点共线： AB BC = A，B，C三点共线 AB CD AB CD = / / AB与CD不在同一直线上 直线AB//直线CD 一、复习回顾 2、向量共线定理： 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b a =
例题分析 例1、如图,ABCD的两条对角线相交于点M,且 AB=a,AD=b你能用a,表示MA,MB,MC和MD 解:在口ABCD中, .AC=AB+AD=a+b, DB=AB-AD=a-b ∴MA=-=AC=-=(a+b)=--a-=b MB=DB=-(a-b)=a-b M MC=-AC=-a+-b B MD=-MB I DB 01-2 a+=b
A B C M a b D 1 , ABCD M AB a AD b a b MA MB MC MD = = 如图， 的两条对角线相交于点 ，且 ，你能用 ，表示 ， ， 、 和 例 。 : ABCD AC AB AD a b DB AB AD a b = + = + = − = − 解 在 中， ， 1 1 1 1 2 2 2 2 = − = − + = − − MA AC a b a b ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 MB DB a b a b = = − = − ( ) 1 1 1 2 2 2 MC AC a b = = + 1 1 1 1 2 2 2 2 MD MB DB a b a b = − = − = − − = − + ( ) 二、例题分析
例题分析 变式、如图,以OA=a,OB=b为边作□OADB, BM=BC,CN=CD,用a、b表示 OMONMNM D Bb0 N A 题结: 本题考查了向量的线性运算,明确点M、N将AB和 CD所分成的比例关系,是用a、b来表示向量的关键
二、例题分析 M N AB CD a b 本题考查了向量的线性运算，明确点 、 将 和 所分 题结： 成的比例关系，是用 、来表示向量的关键。 1 1 3 3 OA a OB b OADB BM BC CN CD a b OM ON MN = = = = 变式 如图，以 ， 为边作 ， ， ，用 、表示 、 、 、 。 a b
练习 1、在三角形ABC中,已知D是AB边上一点, 若AD=2DB,CD=C4+aCB,则2=(A) B D 2、O是三角形ABC内的一点,且OA+OB+OC=0, 则O是三角形的(C) A、内心B、外心C、重心D、垂心
2 O , + + = 0 O ( ) B C D ABC OA OB OC A、 是三角 形 内 的 一 点,且 则 是三角 形 的 、内心 、外 心 、重 心 、垂 心 C 1 2 3 2 1 1 2 3 3 3 3 1 , , ( ) . . . - . - ABC D AB AD DB CD CA CB A B C D = = + = 、 在 三 角 形 中 已 知 是 边 上 一 点， 若 ， 则 A 练习
二、例题分析 例2、设两个非零向量a与b不共线 ()若AB=+b,BC=20+8b,CD=3(a-6) 求证:A、B、D三点共线; (2)试确定实数k,使得ka+b和+k硖共线
( ) ( ) (2) 2 1 2 8 3 a b AB a b BC a b CD a b A B D k ka b a kb = + = + = − + + 设两个非零向量 与 不共线。 若 ， ， 。 求证： 、 、 三点共线； 试确定实数 ，使得 和 例 、 共线。 二、例题分析
练习 3、设e,e2是两个不共线的向量,而e1-42和2e1+ke2 共线,求实数k的值. 解:∵向量e-4e2和2e1+ke2共线 存在实数λ使得2e+ke2=(e1-4e2) =2 由向量相等的条件,得 =-42 =-8
1 2 1 2 1 2 3 4 2 . e e e e e ke k 、设 ，是两个不共线的向量，而 − + 和 共线，求实数 的值 1 2 1 2 解： 向量e e e ke − + 4 2 和 共线 1 2 1 2 + = − 存在实数 , ( ) 使得2 4 e ke e e = − k 8 2 4 , k = = − 由向量相等的条件 得 练习
例题分析 例3、(利用向量证明中位线定理) 如图所示,已知△ABC中, D,E分别是AB,AC的中点, E B 求证:DE//BC且DE=BC。 证明:D,E分别是AB,AC的中点 AD=-AB. AE=-AC . DE=AE-AD=-AC--AB=-(AC-AB)=-BC 2 而D,B不重合, DE//BC且DE=-BC
A B C D E 1 3 2 / / ABC D E AB AC DE BC DE BC = 如 图 所 示，已 知 中， ， 分别是 ， 例 、（利用向量 的中 点， 求证： 且证明中位线 定 理 ） 。 二、例题分析 证 明： D E AB AC ， 分别是 ， 的 中 点 1 1 2 2 = = AD AB AE AC , 1 1 1 1 2 2 2 2 = − = − = − = DE AE AD AC AB AC AB BC ( ) 而D B ， 不重合，12 = DE BC DE BC / / 且
例题分析 例3、(利用向量证明中位线定理) 如图所示,已知△ABC中, D,E分别是AB,AC的中点, 求证:DE//BC且DE=BC。 2 练习:已知ABCD是一个四边形,且E,F,G,H 分别是AD,AB,BC,CD的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形
A B C D E 1 3 2 / / ABC D E AB AC DE BC DE BC = 如 图 所 示，已 知 中， ， 分别是 ， 例 、（利用向量 的中 点， 求证： 且证明中位线 定 理 ） 。 二、例题分析 ABCD E F G H AD AB BC CD EFGH 已 知 是一个 四 边形，且 ， ， ， 分别是 ， ， ， 练 的中 习： 点。 求证：四边形 是平行四边形