普通高中课程标准实验教科书 数学 选修1-2 人民教育出版社课程教材研究所编著 中学数学课程教材研究开发中心 人人点“慎社 版
本册导引 我们根据《普通高中数学课程标准(实验)》编写了这套实验教科书.本书是高中数 学选修课程5个模块中的一个,包括“统计案例”“推理与证明”“数系的扩充与复数的引 入”和“框图”四章内容 在必修课程中,同学们已经学习了最基本的获取样本数据的方法,从样本数据中提取 信息的一些统计方法,其中包括用样本估计总体分布及数字特征、线性回归等内容.在本 书的第一章中,同学们将通过对典型案例的讨论,了解一些最常用的统计思想方法和统计 模型,如回归分析和独立性检验等,进而体会统计思想在解决实际问题中的作用.理解和 利用这些统计思想方法和统计模型,对同学们处理未来生活和工作中的某些问题是非常有 用的 第二章将通过生活实例和数学实例,介绍合情推理和演绎推理的涵义,并学习如何利 用合情推理去猜测和发现一些新结论,探索和提供解决一些问题的思路和方向,如何利用 演绎推理去进行一些简单的推理,证明一些数学结论,等等.这一章还将介绍证明的两类 基本方法—直接证明和间接证明,通过数学实例说明它们的思考过程和特点等.通过这 一章的学习,同学们不仅可以学到如何猜测,也可以学到如何证明 在第三章中,同学们将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学 习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用. 在必修课程中,同学们已经学习了程序框图,了解了程序框图是表达算法的一种重要 方法.实际上,一般意义下的框图在实际生活和科学技术上有着更广泛的应用.框图包括 流程图和结构图,流程图通常用来描述动态过程,结构图一般用来表达系统结构.在第四 章中,同学们将通过丰富的实例,进一步学习和了解框图,体会它在直观清晰地表达和交 流思想过程中的重要作用 学习始于疑问.在本书中,我们将通过适当的问题情境,引出需要学习的数学内容, 然后在“观察”“思考”“探究”等活动中,引导同学们自己发现问题、提出问题,通过亲 身实践、主动思维,经历不断的从具体到抽象、从特殊到一般的抽象概括活动来理解和掌 握数学基础知识,打下坚实的数学基础 学而不思则罔.只有通过自己的独立思考,并掌握科学的思维方法才能真正学会数 学.在本书中,我们将利用数学内容之间的内在联系,特别是蕴涵在数学知识中的数学思 想方法,启发和引导同学们学习类比、推广、特殊化、化归等数学思考的常用逻辑方法, 使大家学会数学思考与推理,不断提高数学思维能力 量
学习的目的在于应用.在本书中,我们将努力为同学们提供应用数学知识解决各种数 学内外问题的机会,以使同学们加深对数学概念本质的理解,认识数学知识与实际的联 系,并学会用数学知识和方法解决一些实际问题.另外,我们还开辟了“观察与猜想” 阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目,为大家提供选学素材,有 兴趣的同学可以自主选择其中的一些内容进行探究 祝愿同学们通过本册书的学习,不但学到更多的数学知识,而且在数学能力、用数学 解决问题的能力等方面都有较大的提高,并培养起更高的数学学习兴趣,形成对数学的更 加全面的认识
本书部分数学符号 残差 虚数单位 C 复数集 z, a+bi 复数z,实部为a,虚部为b的复数
目录 第一章统计案例… 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 …… 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用……10 实习作业……… ………17 小结 ………………18 复习参考题 19 第二章推理与证明 21 2.1合情推理与演绎推理 阅读与思考科学发现中的推理 2.2直接证明与间接证明 小结 45 复习参考题 46
第三章数系的扩充与复数的引人…49 3.1数系的扩充和复数的概念………… 6 3.2复数代数形式的四则运算 小结……………………………………62 复习参考题 63 第四章框图…5 4.1流程图 66 4.2结构图………74 G 信息技术应用用Word2002绘制流程图 结 82 复习参考题 ,,,,,,,,, 3
身高和体重之间有什么样 的美系?吸烟与患肺癌有关系 吗?……统计方法将帮助我们给出答 案
第一 统计案例 回归分析的基本思想及其初步应用 独立性检验的基本思想及其初步应用 在现实中,我们经常会遇到类似下面的 问题:肥胖是影响人类健康的一个重要因 素,标准的身高和休重之间是否存在线性相 关关系?肺癌是严重威胁人类生命的一种疾 病,吸烟与患肺癌有关系吗?等等, 为了回答这些问题,必须明确问题涉及 的对象(总休)是什么,用怎样的量来描逑 要解决的问题,并确定获取变量值(数据)的 方法,然后用恰当的统计方法分析数据,以 得到最可靠的结论 在必修模块中,我们学习过抽样、用样 本估计总体、线性回归等基本知识.本章中, 我们将在此基础上,通过对典型案例的讨 论,进一步学习线性回归分析方法及其应用, 并初步了解独立性检验的基本思想,认识统 计方法在决策中的作用
55 回归分析的基本思想及其初步应用 我们知道,函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.回归 分析( regression analysis)是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方 法.在《数学3》中,我们利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行 了研究,其步骤为画出两个变量的散点图,求回归直线方程,并用回归直线方程进行 预报.下面我们通过案例,进一步学习回归分析的基本思想及其应用 例1从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示 表1-1 编号12345678 身高/cm165165157170175165155170 体重/k46570s46414858 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为172cm的女大学生 的体重 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量x,体重为因变 量y.作散点图(图1.1-1): 65 55 45 150155160165170175180 身高/cm 图1.1-1 从图1.1-1中可以看出,样本点呈条状分布,身高和体重有比较好的线性相关关 系,因此可以用回归直线y=bx+a来近似刻画它们之间的关系 由《数学3》的知识可知,未知参数b和a的最小二乘估计分别为和,其计算 公式如下:
第一章统计案例 第一章 ∑(x,-x)( a=y-b r, 回归直线过 其甲mx,y=ny,(x,y)称为样本点的中心 样本点的中心 在本例中,根据上面的公式,可以得到 b=0.849,a=-85.712 于是得到线性回归方程 j=0.849x-85.712. b=0.849是回归直线的斜率的估计值,说明身高x每增加一个单位,体重y就增加 0.849个单位,这表明体重与身高具有正的线性相关关系 所以,对于身高为172cm的女大学生,由回归方程可以预报其体重为 j=0.849×172-85.712=60.316(kg) 究 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗?如果 不是,你能解释一下原因吗? 显然身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg,但一般可以认为她的体重 在60.316kg左右.图1.1-2中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点 45 150155160165 170175180 身高/cm 图1.1-2 从散点图中还看到,样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上,所以不 能用一次函数 y=brta 来描述它们之间的关系.这时我们把身高和体重的关系用下面的线性回归模型 y=brtate 来表示,其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差( random error). ■3